Identificando Linguagens No Regulares Linguagens regulares podem ser

Identificando Linguagens Não Regulares • Linguagens regulares podem ser finitas; • Uma linguagem é regular sss, em processando qualquer cadeia, a informação a ser armazenada em qualquer estágio é estritamente limitada.

• Exemplo: A linguagem L={ an bn|n 0} não é regular. • Suponha que L é regular. Então existe um AFD M=(Q, {a, b}, S, q 0, F) que a reconhe-ce. Seja k o número de estados de M. Consideremos o funcionamento de M na entrada anbn, onde n k

aaaaabbbbb q 0 n n r • Como n k, deve existir algum estado p tal que M está em p mais de uma vez enquanto percorrendo a parte inicial da sequência de a’s (princípio da casa dos pombos).

• Quebre anbn em 3 pedaços u, v, w onde v é a cadeia de a’s percorrida entre duas ocorrências de p. aaaaaa q 0 u aaaa bbbbb p v p w r

• Seja j=|v|>0 (j=4, no exemplo) * (q 0, u) = p * (p, v) = p * (p, w) = r F • Logo podemos remover v o que resultaria numa cadeia ser erroneamente aceita:

*(q 0, uw) = *( *(q 0, u), w) = *(p, w) =r F aaaaaa q 0 u bbbbb p w r

Lema do Bombeamento (Pumping Lemma) TEOREMA: Seja L uma linguagem regular. Então existe um inteiro positivo m, tal que w L com |w| m pode ser decomposta como w= xyz com |xz| m e |y| 1 tal que wi=xyiz está também em L para todo i = 0, 1, 2, . . .

Prova • Sejam q 0, q 1, …, qn os estados do AFD que reconhece L. Agora tome uma cadeia w L tal que |w|=k m=n+1. • Seja q 0, qi, qj, … , qf o conjunto de estados do autômato no reconhecimento de w. Como esta cadeia tem no mínimo n+1 entradas, pelo menos um estado deve ser repetido, e tal repetição não deve começar após o n-ésimo movimento.

• Portanto, a sequência deve ter a seguinte forma q 0, qi, qj, … , qr, …, qf • indicando que devem existir subcadeias x, y, z de w tal que *(q 0, x)=qr, *(qr, y)=qr, *(qr, z)=qf com |xz| n+1 = m e |y| 1. • Donde segue imediatamente que *(q 0, xz)=qf, *(q 0, xy 2 z)=qf, *(q 0, xy 3 z)=qf. . . q. e. d

Gramáticas • Gramática uma ferramenta comum e poderosa para definir linguagens. • Definição: Uma gramática G é uma quádrupla G=(V, T, S, P) onde: – V é um conjto finito de variáveis ou símbolos não-terminais; – T é um conjunto finito de símbolos terminais; – S V é um símbolo especial chamado de símbolo inicial ou variável de início; – P é um conjunto finito de produções

• As regras de produção são da forma x y, onde x é um elemento de (V T)+ e y está em (V T)*. • As produções são aplicadas como segue: – dada uma cadeia w da forma w=uxv, dizemos que a produção é aplicável a esta cadeia e podemos usá-la para trocar x por y, obtendo assim uma nova cadeia z=uyv • Isto é escrito por w z (w deriva z ou z é derivada de w ou z deriva de w).

• Se w 1 w 2. . . wn, dizemos que w 1 deriva wn e escrevemos w 1 *wn • * indica que foi tomado um número não-especificado de etapas (incluindo zero) para derivar wn de w 1. Logo w *w sempre se dá. • Para indicar que pelo menos uma produção foi aplicada, escrevemos w +v

• Aplicando as regras de produção em ordens diferentes, uma gramática pode gerar muitas cadeias. O conjunto de todas tais cadeias é a linguagem definida ou gerada pela gramática.

Linguagem Gerada • Definição: Seja G = (V, T, S, P) uma gramática. Então o conjunto L(G) = {w T* | S *w} é a linguagem gerada por G. • Se w L (G), então a sequência S w 1 w 2 … wn w é uma derivação da sentença (ou palavra) w.

Exemplo • G = <{S}, {a, b}, S, P> onde P é dado por S a. Sb e S • Então S a. Sb aa. Sbb aabb • Logo podemos escrever S *aabb • Uma gramática define completamente L(G), porém pode não ser fácil obter uma descrição explícita da linguagem a partir da gramática. • Neste exemplo, no entanto, não é difícil conjecturar que L(G)={anbn|n 0}

Gramáticas Regulares • Uma gramática G = <V, T, S, P> diz-se linear à direita se todas as produções são da forma A x. B ou A x onde A, B V, e x T*. • e linear à esquerda se todas as produções são da forma A x. B A x

• Uma gramática regular é uma que é ou linear à direita ou linear à esquerda. • Observe que numa gramática regular no máximo aparece uma variável no lado direito de qualquer produção. Além disso, essa variável está mais à esquerda ou mais a direita de qualquer produção.

Exemplos • G 1 = ({s}, {a, b}, S, P 1), P 1: S ab. S|a é linear à direita. • S ab. S ababa • L (G 1) é a linguagem L((ab)*a) • G 2 = ({S, S 1, S 2}, {a, b}, S, P 2), com produções S S 1 ab, S 1 ab|S 2, S 2 a é linear à esquerda. • S S 1 abab S 2 abab aabab • L(G 2) é a linguagem L(a(ab)*)

Cuidado! A gramática G=({S, A, B}, {a, b}, S, P) com produções S A A a. B| B Ab não é regular!

Gramáticas Lineares À Direita Geram Linguagens Regulares • Construir um AFND que simula as derivações de uma gramática linear à direita. Ab…c. D Ab…cd. E por D d. E • O AFND vai do estado D para o estado E quando o símbolo d for encontrado.

Teorema. Seja G = (V, T, S, P) uma gramática linear à direita. Então L(G) é uma linguagem regular. Prova. Assumir V={V 0, V 1, …, Vp}, com S=V 0 e que temos produções da forma V 0 v 1 Vi, Vi v 2 Vj, …, ou Vn vl, …

• Se w é uma cadeia em L(G), então por causa das formas das produções em G, a derivação deve ter a forma da equação acima. V 0 v 1 Vi v 1 v 2 Vj * v 1 v 2… vk Vn v 1 v 2… v k v e = w

• O autômato a ser construído reproduzirá a derivação, consumindo cada um desses v’s. • O estado inicial do autômato será rotulado V 0, e para cada Vi existirá um estado não final rotulado Vi. • Para cada Vi a 1 a 2…am. Vj definiremos tal que *(Vi, a 1 a 2…am)=Vj • Para cada Vi a 1 a 2…am , *(Vi, a 1 a 2…am)=Vf, onde Vf é um estado final. Os estados intermediários não são de interesse e podem ser dados rótulos arbitrários.

vi a 1 a 2 . . . am vj representa Vi a 1 a 2…am. Vj vi a 1 a 2 representa Vi a 1 a 2…am … am vf

• Suponha agora que w L (G). No AFND existe uma aresta de V 0 a Vi rotulada v 1, de Vi a Vj rotulada v 2, etc. , tal que Vf *(V 0, w), e w é aceita por M. • Inversamente, suponha que w é aceita por M. Para aceitar w o autômato tem de passar pela sequência de estados V 0, Vi, …, Vf usando caminhos rotulados v 1, v 2, …, vl

• Portanto, w deve ter a forma w=v 1 v 2…vkvl e a derivação V 0 v 1 Vi v 1 v 2 Vj *v 1 v 2…vk. Vk v 1 v 2…vkvl é possível. Logo W está em L(G), e assim o teorema está provado.

Exemplo • Construir um autômato que aceita a linguagem gerada pela gramática V 0 a. V 1 ab. V 0 |b • começamos do grafo de transição com vértices V 0, V 1 e Vf.

• A primeira regra de produção cria uma aresta rotulada a entre V 0 e V 1. Para segunda regra, precisamos introduzir um vértice adicional tal que existe um caminho rotulado ab entre V 1 e V 0.

• Finalmente, precisamos adicionar uma aresta rotulada b entre V 1 e Vf a v 0 b v 2 v 1 b vf a • A linguagem gerada pela gramática e reconhecida pelo autômato é a linguagem regular L ((aab)*ab)

Gramáticas Lineares À Direita Para Linguagens Regulares • Começamos agora do AFD para a linguagem e invertemos a construção do teorema anterior • Os estados do AFD tornam-se as variáveis da gramática, e • Os símbolos que causam as transições tornam-se os terminais nas produções

• Teorema: Se L é uma linguagem regular sobre o alfabeto , então existe uma gramática linear à direita G = (V, , S, P) tal que L = L(G).

• Prova: Seja M = (Q, , , q 0, F) um AFD que aceita L. Assumiremos que Q = {q 0, q 1, …, qn) e = {a 1, a 2, …am}. • Vamos construir uma gramática linear à direita G = (V, , S, P) com V = {q 0, q 1, …, qn} e S = q 0. • Para cada transição (qi, aj) = qk de M, colocamos em P a produção qi ajqk. • Além disso, se qk está em F, acrescentamos a P a produção q .

• Primeiro mostramos que G definida dessa maneira pode gerar toda cadeia em L. Considere w L da forma w = aiaj…akal. • Para M aceitar essa cadeia ele deve se movimentar via (q 0, ai) = qp, (qp, aj) = qr, . . . (qs, ak) = qt, (qt, al) = qf F

• Por construção, a gramática terá uma produção para cada um desses ’s. Portanto, podemos fazer a derivação q 0 aiqp aiajqr *aiaj…akqt aiaj…akalqf aiaj…akal com a gramática G, e w L(G).

• Inversamente, se w L(G), então sua derivação deve ter a forma da equação acima, mas isto implica que (q 0, ai, aj…akal) = qf, completando a prova. q. e. d.

Equivalência Entre Linguagens Regulares E Gramáticas Regulares • Os resultados anteriores estabelecem a conexão entre linguagens regulares e gramáticas lineares à direita. • Podemos fazer uma conexão análoga entre linguagens regulares e gramáticas lineares à esquerda, mostrando assim, a equivalência de gramáticas e linguagens regulares.

Teorema. Uma linguagem é regular se e somente se existe uma gramática regular G tal que L = L(G).