Geometria Espacial Parte 1 Cursinho Popular Paulo Freire

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Geometria Espacial Parte 1 Cursinho Popular Paulo Freire Jaquicele Ap. da Costa. Graduanda em

Geometria Espacial Parte 1 Cursinho Popular Paulo Freire Jaquicele Ap. da Costa. Graduanda em Matemática- UFV E-mail: jaquicele. costa@ufv. br

Reflexão “Tenha em mente que tudo que você aprende na escola é trabalho de

Reflexão “Tenha em mente que tudo que você aprende na escola é trabalho de muitas gerações. Receba essa herança, honre-a, acrescente a ela e, um dia, fielmente, deposite-a nas mãos de seus filhos. ” Albert Einstein

Poliedros Poliedro é um sólido geométrico cuja superfície é formada por polígonos que são

Poliedros Poliedro é um sólido geométrico cuja superfície é formada por polígonos que são suas faces e possuem dois a dois um lado comum. Um poliedro é considerado convexo quando: ØDuas a duas das suas faces poligonais não são coplanares; ØCada lado da face poligonal é comum a duas, e somente, duas, faces poligonais;

Ø O plano que contém cada face poligonal divide o espaço de tal forma

Ø O plano que contém cada face poligonal divide o espaço de tal forma que todas as outras faces poligonais ficam num único semi-espaço. Ex: Polígono não-convexo Polígono convexo

Elementos de um poliedro Ø Faces: São os polígonos; Ø Arestas: são os lados

Elementos de um poliedro Ø Faces: São os polígonos; Ø Arestas: são os lados polígonos; Ø Vértices: são os vértices dos polígonos.

Teorema de Euler Considere um polígono convexo com os seguintes elementos: üF: número de

Teorema de Euler Considere um polígono convexo com os seguintes elementos: üF: número de faces üA: número de arestas üV: número de vértices É válida a seguinte relação: V-A+F=2

Exemplo 1: Determinar o número de vértices de um poliedro convexo que tem 2

Exemplo 1: Determinar o número de vértices de um poliedro convexo que tem 2 faces quadrangulares e 8 faces triangulares

Soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo Considerando um poliedro convexo com

Soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo Considerando um poliedro convexo com número V de vértices, é válida a seguinte relação: S=(V-2). 360° Exemplo 2 Determinar a soma das medidas dos ngulos das faces de um poliedro convexo com 30 arestas e 12 faces.

Poliedros de Platão Para que um poliedro seja considerado de Platão é necessário que:

Poliedros de Platão Para que um poliedro seja considerado de Platão é necessário que: ØTodas as suas faces tenham o mesmo número (n) de arestas; ØDos vértices parta o mesmo número (m) de arestas.

Existem 5 classes de poliedros de Platão

Existem 5 classes de poliedros de Platão

Poliedros regulares Um poliedro é considerado regular se: Ø As faces são polígonos regulares

Poliedros regulares Um poliedro é considerado regular se: Ø As faces são polígonos regulares e congruentes; Ø Os seus ângulos poliédricos são congruentes;

 • Todo poliedro convexo regular é um poliedro de Platão mas nem todo

• Todo poliedro convexo regular é um poliedro de Platão mas nem todo poliedro de Platão é convexo regular

Existem 5 tipos de Poliedros regulares

Existem 5 tipos de Poliedros regulares

PRISMA É um poliedro convexo tal que duas faces são polígonos congruentes situados em

PRISMA É um poliedro convexo tal que duas faces são polígonos congruentes situados em planos paralelos e as demais faces são paralelogramos, por isso tem-se as arestas laterais congruentes.

Elementos de um prisma • bases: as regiões poligonais R e S • altura:

Elementos de um prisma • bases: as regiões poligonais R e S • altura: a distância h entre os planos • arestas das bases: os lados (dos polígonos) • arestas laterais: os segmentos • faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A

Classificação de um prisma Conforme a inclinação das arestas laterais podem ser: -Retos -Oblíquos

Classificação de um prisma Conforme a inclinação das arestas laterais podem ser: -Retos -Oblíquos As arestas laterais são perpendiculares ás bases(as faces laterais são retângulos) As arestas laterais não são perpendiculares ás bases(as fazes laterais são paralelogramos)

Prisma reto X Prisma oblíquo

Prisma reto X Prisma oblíquo

Classificação de um prisma Pelo número de arestas de uma das faces:

Classificação de um prisma Pelo número de arestas de uma das faces:

Prisma regular Quando um prisma é reto e suas bases são regulares, ele é

Prisma regular Quando um prisma é reto e suas bases são regulares, ele é chamado de prisma regular. Prisma regular octogonal

Área da superfície total do prisma reto É calculada somando -se as áreas das

Área da superfície total do prisma reto É calculada somando -se as áreas das bases com a área da superfície lateral, isto é, AT=2. AB+AL Onde: AB =área da superfície da base AL =área da superfície da lateral

Volume do prisma reto O volume é calculado pelo produto da área da base(AB

Volume do prisma reto O volume é calculado pelo produto da área da base(AB ) pela altura (b), isto é: V=AB. h v. No prisma reto a altura tem a mesma medida que a aresta lateral

Compreensão da fórmula do volume do prisma reto- Princípio de Cavalieri Considere dois sólidos

Compreensão da fórmula do volume do prisma reto- Princípio de Cavalieri Considere dois sólidos com bases num plano. Se qualquer planos , paralelo a e secante aos sólidos, determinar nos mesmos superfícies com áreas iguais, podemos afirmar , pelo Principio de Cavalieri , que os dois sólidos têm o mesmo volume.

Diagonais do paralelepípedo retângulo

Diagonais do paralelepípedo retângulo

CUBO

CUBO

Cubo-Prisma regular limitado por 6 quadrados

Cubo-Prisma regular limitado por 6 quadrados

Exercício Determine qual é o cubo que corresponde à planificação:

Exercício Determine qual é o cubo que corresponde à planificação:

Quizz da Matématica 1 -(Cesesp- PE)Considere os seguintes poliedros: A 1: tetraedro A 2:

Quizz da Matématica 1 -(Cesesp- PE)Considere os seguintes poliedros: A 1: tetraedro A 2: dodecaedro A 3: icosaedro Assinale, entre as seguintes alternativas , a falsa: a)O poliedro A 1 tem as faces triangulares b)O poliedro A 2 tem 12 faces c) O poliedro A 3 tem as faces triangulares d) O poliedro A 2 tem as faces em forma de dodecágono e) O poliedro A 3 tem 20 faces

2 -(PUC-SP)O poliedro que contém 20 vértices, 30 arestas e 12 faces denomina-se: a)Tetraedro

2 -(PUC-SP)O poliedro que contém 20 vértices, 30 arestas e 12 faces denomina-se: a)Tetraedro b)Icosaedro c)Hexaedro d)Dodecaedro e)octaedro

3 -(Enem 2011)A resistência das vigas de dado comprimento é diretamente proporcional à largura

3 -(Enem 2011)A resistência das vigas de dado comprimento é diretamente proporcional à largura (b) e ao quadrado da altura (d ) conforme a figura. A constante de proporcionalidade k varia de acordo com o material utilizado na sua construção.

Considerando-se S como a resistência, a representação algébrica que exprime essa relação é

Considerando-se S como a resistência, a representação algébrica que exprime essa relação é

4 -(Unesp) Se dobrarmos convenientemente as linhas tracejadas da figura, obteremos uma figura espacial

4 -(Unesp) Se dobrarmos convenientemente as linhas tracejadas da figura, obteremos uma figura espacial cujo nome é: a)Pirâmide de base pentagonal b)paralelepípedo c)octaedro d)tetraedro e)prisma

5 -(PUC-SP)O número de vértices de um poliedro convexo que possui 12 faces triangulares

5 -(PUC-SP)O número de vértices de um poliedro convexo que possui 12 faces triangulares é: a)4 b)12 c)10 d)6 e)8

6 -(FAAP-SP)Noticiou o Suplemento Agrícola do jornal O Estado de S. Paulo, em 6/9/2011,

6 -(FAAP-SP)Noticiou o Suplemento Agrícola do jornal O Estado de S. Paulo, em 6/9/2011, que a Secretaria de Agricultura e Abastecimento determinou que os produtores de tomates enviem a mercadoria ao Ceagesp usando caixas padronizadas do tipo K, cujas dimensões internas são 495 mm de comprimento, 355 mm de altura e 220 mm de largura. Cada medida tem uma tolerância , para mais ou para menos de 3 mm. A diferença entre o volume máximo e o volume mínimo de cada caixa (em milímetros cúbicos) é: a)1 097 832 b)1 078 572 c)2 176 404 d)2 160 000 e)2 700 000

7 -Qual das seguintes alternativas é verdadeira? a)Num poliedro convexo com 8 vértices triédricos

7 -Qual das seguintes alternativas é verdadeira? a)Num poliedro convexo com 8 vértices triédricos encontramos 10 arestas. b)Num poliedro convexo com 8 faces triangulares encontramos 10 arestas. c)Num poliedro convexo com 8 faces triangulares encontramos 10 arestas. d)Num poliedro convexo com 10 vértices sendo 4 pentáedricos e 6 triédricos, encontramos 9 faces. e)n. d. a

8 -(Vunesp)O volume de ar contido em um galpão com a forma e dimensões

8 -(Vunesp)O volume de ar contido em um galpão com a forma e dimensões dadas pela figura abaixo é: a)288 b)384 c)480 d)360 e)768

9 -(PUC-SP)Um tanque de uso industrial tem a forma de um prisma cuja base

9 -(PUC-SP)Um tanque de uso industrial tem a forma de um prisma cuja base é um trapézio isósceles. Na figura a seguir , são dadas as dimensões do prisma em metros: O volume desse tanque em metros cúbicos é: a)50 b)60 c)80 d)100 e)120

10 -(ENEM 2010)Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico, seguindo o modelo

10 -(ENEM 2010)Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado a seguir. O cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que é interno, mede 8 cm. O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de a)12 cm 3 b)64 cm 3 c)96 cm 3 d)1216 cm 3 e)1728 cm 3

Gabarito 1) D 2) E 3) C 4) D 5) E 6) C 7)

Gabarito 1) D 2) E 3) C 4) D 5) E 6) C 7) B 8) B 9) D 10) D

Referências • http: //www. lago. com. br/colecoes/vitoriaregia/p df_medio/ma/Dia_a_dia. pdf • http: //calculomatematico. vilabol. uol.

Referências • http: //www. lago. com. br/colecoes/vitoriaregia/p df_medio/ma/Dia_a_dia. pdf • http: //calculomatematico. vilabol. uol. com. br/geo espacial. htm • http: //dc 143. 4 shared. com/img/j. KEo. Imjh/previe w. html • http: //www. algosobre. com. br/matematica/geo metria-plana-prisma. html