Geometria Espacial Parte 1 Cursinho Popular Paulo Freire
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Geometria Espacial Parte 1 Cursinho Popular Paulo Freire Jaquicele Ap. da Costa. Graduanda em Matemática- UFV E-mail: jaquicele. costa@ufv. br
Reflexão “Tenha em mente que tudo que você aprende na escola é trabalho de muitas gerações. Receba essa herança, honre-a, acrescente a ela e, um dia, fielmente, deposite-a nas mãos de seus filhos. ” Albert Einstein
Poliedros Poliedro é um sólido geométrico cuja superfície é formada por polígonos que são suas faces e possuem dois a dois um lado comum. Um poliedro é considerado convexo quando: ØDuas a duas das suas faces poligonais não são coplanares; ØCada lado da face poligonal é comum a duas, e somente, duas, faces poligonais;
Ø O plano que contém cada face poligonal divide o espaço de tal forma que todas as outras faces poligonais ficam num único semi-espaço. Ex: Polígono não-convexo Polígono convexo
Elementos de um poliedro Ø Faces: São os polígonos; Ø Arestas: são os lados polígonos; Ø Vértices: são os vértices dos polígonos.
Teorema de Euler Considere um polígono convexo com os seguintes elementos: üF: número de faces üA: número de arestas üV: número de vértices É válida a seguinte relação: V-A+F=2
Exemplo 1: Determinar o número de vértices de um poliedro convexo que tem 2 faces quadrangulares e 8 faces triangulares
Soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo Considerando um poliedro convexo com número V de vértices, é válida a seguinte relação: S=(V-2). 360° Exemplo 2 Determinar a soma das medidas dos ngulos das faces de um poliedro convexo com 30 arestas e 12 faces.
Poliedros de Platão Para que um poliedro seja considerado de Platão é necessário que: ØTodas as suas faces tenham o mesmo número (n) de arestas; ØDos vértices parta o mesmo número (m) de arestas.
Existem 5 classes de poliedros de Platão
Poliedros regulares Um poliedro é considerado regular se: Ø As faces são polígonos regulares e congruentes; Ø Os seus ângulos poliédricos são congruentes;
• Todo poliedro convexo regular é um poliedro de Platão mas nem todo poliedro de Platão é convexo regular
Existem 5 tipos de Poliedros regulares
PRISMA É um poliedro convexo tal que duas faces são polígonos congruentes situados em planos paralelos e as demais faces são paralelogramos, por isso tem-se as arestas laterais congruentes.
Elementos de um prisma • bases: as regiões poligonais R e S • altura: a distância h entre os planos • arestas das bases: os lados (dos polígonos) • arestas laterais: os segmentos • faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A
Classificação de um prisma Conforme a inclinação das arestas laterais podem ser: -Retos -Oblíquos As arestas laterais são perpendiculares ás bases(as faces laterais são retângulos) As arestas laterais não são perpendiculares ás bases(as fazes laterais são paralelogramos)
Prisma reto X Prisma oblíquo
Classificação de um prisma Pelo número de arestas de uma das faces:
Prisma regular Quando um prisma é reto e suas bases são regulares, ele é chamado de prisma regular. Prisma regular octogonal
Área da superfície total do prisma reto É calculada somando -se as áreas das bases com a área da superfície lateral, isto é, AT=2. AB+AL Onde: AB =área da superfície da base AL =área da superfície da lateral
Volume do prisma reto O volume é calculado pelo produto da área da base(AB ) pela altura (b), isto é: V=AB. h v. No prisma reto a altura tem a mesma medida que a aresta lateral
Compreensão da fórmula do volume do prisma reto- Princípio de Cavalieri Considere dois sólidos com bases num plano. Se qualquer planos , paralelo a e secante aos sólidos, determinar nos mesmos superfícies com áreas iguais, podemos afirmar , pelo Principio de Cavalieri , que os dois sólidos têm o mesmo volume.
Diagonais do paralelepípedo retângulo
CUBO
Cubo-Prisma regular limitado por 6 quadrados
Exercício Determine qual é o cubo que corresponde à planificação:
Quizz da Matématica 1 -(Cesesp- PE)Considere os seguintes poliedros: A 1: tetraedro A 2: dodecaedro A 3: icosaedro Assinale, entre as seguintes alternativas , a falsa: a)O poliedro A 1 tem as faces triangulares b)O poliedro A 2 tem 12 faces c) O poliedro A 3 tem as faces triangulares d) O poliedro A 2 tem as faces em forma de dodecágono e) O poliedro A 3 tem 20 faces
2 -(PUC-SP)O poliedro que contém 20 vértices, 30 arestas e 12 faces denomina-se: a)Tetraedro b)Icosaedro c)Hexaedro d)Dodecaedro e)octaedro
3 -(Enem 2011)A resistência das vigas de dado comprimento é diretamente proporcional à largura (b) e ao quadrado da altura (d ) conforme a figura. A constante de proporcionalidade k varia de acordo com o material utilizado na sua construção.
Considerando-se S como a resistência, a representação algébrica que exprime essa relação é
4 -(Unesp) Se dobrarmos convenientemente as linhas tracejadas da figura, obteremos uma figura espacial cujo nome é: a)Pirâmide de base pentagonal b)paralelepípedo c)octaedro d)tetraedro e)prisma
5 -(PUC-SP)O número de vértices de um poliedro convexo que possui 12 faces triangulares é: a)4 b)12 c)10 d)6 e)8
6 -(FAAP-SP)Noticiou o Suplemento Agrícola do jornal O Estado de S. Paulo, em 6/9/2011, que a Secretaria de Agricultura e Abastecimento determinou que os produtores de tomates enviem a mercadoria ao Ceagesp usando caixas padronizadas do tipo K, cujas dimensões internas são 495 mm de comprimento, 355 mm de altura e 220 mm de largura. Cada medida tem uma tolerância , para mais ou para menos de 3 mm. A diferença entre o volume máximo e o volume mínimo de cada caixa (em milímetros cúbicos) é: a)1 097 832 b)1 078 572 c)2 176 404 d)2 160 000 e)2 700 000
7 -Qual das seguintes alternativas é verdadeira? a)Num poliedro convexo com 8 vértices triédricos encontramos 10 arestas. b)Num poliedro convexo com 8 faces triangulares encontramos 10 arestas. c)Num poliedro convexo com 8 faces triangulares encontramos 10 arestas. d)Num poliedro convexo com 10 vértices sendo 4 pentáedricos e 6 triédricos, encontramos 9 faces. e)n. d. a
8 -(Vunesp)O volume de ar contido em um galpão com a forma e dimensões dadas pela figura abaixo é: a)288 b)384 c)480 d)360 e)768
9 -(PUC-SP)Um tanque de uso industrial tem a forma de um prisma cuja base é um trapézio isósceles. Na figura a seguir , são dadas as dimensões do prisma em metros: O volume desse tanque em metros cúbicos é: a)50 b)60 c)80 d)100 e)120
10 -(ENEM 2010)Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado a seguir. O cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que é interno, mede 8 cm. O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de a)12 cm 3 b)64 cm 3 c)96 cm 3 d)1216 cm 3 e)1728 cm 3
Gabarito 1) D 2) E 3) C 4) D 5) E 6) C 7) B 8) B 9) D 10) D
Referências • http: //www. lago. com. br/colecoes/vitoriaregia/p df_medio/ma/Dia_a_dia. pdf • http: //calculomatematico. vilabol. uol. com. br/geo espacial. htm • http: //dc 143. 4 shared. com/img/j. KEo. Imjh/previe w. html • http: //www. algosobre. com. br/matematica/geo metria-plana-prisma. html
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