Teselaciones o como embaldosar el plano Planteamiento del

Teselaciones (o como embaldosar el plano)

Planteamiento del problema o Las teselaciones o recubrimientos del plano más simples se construyen a partir de piezas, todas de la misma forma, que encajan sin dejar huecos ni solaparse. Cuando las piezas son polígonos, hablamos de recubrimientos poligonales, y si además son regulares, de recubrimientos regulares.

Teselaciones regulares o El caso más sencillo, por ser el que más vemos, es el recubrimiento por cuadrados. He aquí dos ejemplos: Tipo 1 Tipo 2

Teselaciones regulares o Solamente nos ocuparemos de recubrimientos del primer tipo, en los que los polígonos se adosan unos a otros de manera que los lados coincidentes lo hacen en su totalidad (lado a lado). Cada vértice presenta una configuración que se llama figura en el vértice, constituida por los polígonos que en él se juntan.

Teselaciones regulares o o Exigiremos que las figuras en los vértices sean iguales. Puesto que en cada vértice se han de juntar polígonos regulares iguales, sin huecos ni solapamientos, esto obliga a que tales polígonos no puedan ser más que triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos regulares. La razón de este hecho es la siguiente:

Ángulos interiores Ángulo interior Ángulo exterior

Ángulos en polígonos regulares o Todos los ángulos exteriores de un polígono regular suman 360 grados. Por tanto cada uno de ellos, al ser todos iguales entre sí, mide 360 dividido por el número de lados.

Ángulos en polígonos regulares o Como cada ángulo exterior, con el correspondiente interior, suma 180 grados, el ángulo interior de un polígono regular de n lados tiene como medida, en grados,

Ángulos en los vértices o Si en cada vértice del recubrimiento regular coinciden m polígonos, cada uno de n lados, debe cumplirse que Esta ecuación se puede escribir, tras un poco de cálculo, de esta forma más simple:

¿Cuántas teselaciones regulares existen? o m y n deben ser números naturales, y además mayores o iguales que 3. Solo hay tres posibilidades: m 6 4 3 n 3 (triángulos) 4(cuadrados) 6(hexágonos)

¿Cuántas teselaciones regulares existen? o Por tanto solamente existen tres teselaciones regulares, constituidas por triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos.

Teselación triangular

Teselación cuadrada

Teselación hexagonal

Teselaciones duales o Si en una de las tres teselaciones anteriores unimos los centros de los polígonos ¿qué obtenemos? Tomemos la hexagonal:

Teselación dual

Teselación dual o o o Ha resultado una teselación triangular que se llama dual de la hexagonal. Si se parte de una hexagonal, se obtiene como dual una triangular. La teselación cuadrada tiene como dual otra cuadrada.

Teselaciones semirregulares o Si se mantienen las restricciones de seguir usando como teselas polígonos regulares, que los recubrimientos sean lado a lado, y que las figuras en los vértices sean iguales, pero se admite que puedan utilizarse polígonos de diferente número de lados ¿cuántas teselaciones distintas existen?

Teselaciones semirregulares o La respuesta es ocho. Estas son:

Teselaciones semirregulares

o Una obra de Salvador Dalí:

Teselación “Cairo” o Esta es una teselación con pentágonos, pero no son regulares. Es dual de la que aparece a su lado.

Teselaciones con polígonos irregulares o ¿Con qué tipo de polígonos irregulares se podrá teselar el plano, manteniendo que se adosen lado a lado y que todos sean de la misma forma y tamaño? He aquí un resultado: Cualquier paralelogramo permite teselar el plano.

Teselaciones con polígonos irregulares

Teselaciones con polígonos irregulares o Consecuencia inmediata del hecho anterior es este otro: Cualquier triángulo permite teselar el plano. Pues dos copias del triángulo dado pueden unirse para formar un paralelogramo, y se aplica lo anterior.

Teselaciones con polígonos irregulares o ¿Será posible teselar el plano con cuadriláteros cualesquiera? La respuesta es afirmativa. Para verlo, tomamos el punto medio de uno cualquiera de los lados del cuadrilátero, y hallamos la figura simétrica del mismo respecto de dicho punto.

Teselaciones con polígonos irregulares

Teselaciones con polígonos irregulares o La figura resultante es un hexágono que tiene los lados opuestos paralelos e iguales entre sí. Tal hexágono tesela el plano. ¿Qué ocurre si el cuadrilátero del que se parte no es convexo? El método sigue siendo válido.

Teselaciones con polígonos irregulares

Teselaciones con polígonos irregulares o o Una vez vistos los casos de triángulos y cuadriláteros ¿qué se puede decir de la posibilidad de teselar el plano con polígonos irregulares convexos de mayor número de lados? K. Reinhardt demostró en 1927 que es imposible recubrir el plano con teselas poligonales convexas de siete o mas lados.

Teselaciones con hexágonos o En su tesis doctoral de 1918, el ya citado K. Reinhardt demostró que se puede recubrir el plano con hexágonos irregulares convexos de tres tipos distintos, que deben verificar unas condiciones referidas a sus lados y a sus ángulos.

El curioso caso de los pentágonos o Fue de nuevo Reinhardt el que estudió los pentágonos convexos y encontró cinco clases de ellos que pueden teselar el plano, pero no probó que no hubiera otros. En 1968, R. B. Kershner descubrió tres clases más, y manifestó que estaba seguro de haber cerrado el problema, aunque no lo demostró.

El curioso caso de los pentágonos o En julio de 1975 se publicó en Scientific American la clasificación aparentemente completa de los pentágonos convexos que teselan el plano. Poco tiempo después, un lector descubrió una nueva clase -¡y ya van nueve!- y un ama de casa, Marjorie Rice, sin más bagaje matemático que el estudiado en educación secundaria, descubrió cuatro clases más.

El curioso caso de los pentágonos o En 1985, un doctorando en matemáticas halló una nueva clase. Desde entonces no se ha descubierto ninguna nueva, pero no se ha demostrado que las halladas son todas las posibles.