Eventi aleatori Un evento aleatorio casuale quando non

Eventi aleatori • Un evento è aleatorio (casuale) quando non si può prevedere con certezza se avverrà o meno • I fenomeni (eventi) aleatori sono studiati attraverso la teoria della probabilità Probabilità di un evento semplice Un evento può risultare: • Certo (si verifica sempre) -estrazione di una pallina nera da un’urna contenente solo palline nere • Impossibile(non si verifica mai) -estrazione di una pallina bianca da un’urna contenente solo palline nere • Probabile(può verificarsi o no) -estrazione di una pallina bianca da un’una contenente sia palline nere che bianche

Eventi e probabilità impossibile certo probabile P=0 0<P<1 P=1 Se E indica un evento l’evento corrispondente al non verificarsi di E rappresenta l’evento complementare E con la relazione P(E) = 1 – P(E) La prova genera l’evento con una certa probabilità

Spazio campionario • Lo spazio campionario associato al lancio di due monete comprende 4 punti che rappresentano i possibili risultati • TT • TC • CT • CC • Si chiama evento ogni sottoinsieme dello spazio campionario

Teoria e calcolo della probabilità • L’entità di successi in una serie di osservazioni (prove) può essere definita come frequenza relativa o (percentuale) calcolata come rapporto tra il numero di eventi favorevoli rispetto al numero di casi esaminati • Il grado di aspettativa circa il verificarsi di un evento E, ovvero la probabilità dell’evento P(E) è

Concezione classica della probabilità La probabilità di un evento E è il rapporto tra il numero di casi favorevoli al verificarsi di E(n) e il numero di casi possibili (N), purché siano tutti equi - probabili Es: probabilità di estrarre un asso da un mazzo di 52 carte = 4/52 = 0. 08 probabilità di ottenere testa nel lancio di una moneta =1/2 = 0. 5

Applicazioni della concezione classica • Probabilità uscita testa p= • Probabilità faccia 6 dado p= • Qual è la probabilità che lanciando due volte una moneta si presenti prima la faccia testa poi la faccia croce 1°- TT 2°- TC 3°- CT 4°- CC p=

Concezione frequentista della probabilità • La probabilità di un evento è la frequenza relativa di successo in una serie di prove tendenti all’infinito, ripetute sotto identiche condizioni • Nella concezione frequentista la probabilità è ricavata a posteriori dall’esame dei dati Frequenza relativa su un gran numero di prove Es: qual è la probabilità post-operatoria dopo l’intervento xyz ? I dati su un decennio in un territorio presentano 30 morti su 933 interventi Frequenza relativa = 30/933= 3. 22% = Probabilità di mortalità post-operatoria

Legge dei grandi numeri • P(E): ripetendo la prova un gran numero di volte si osserva che il rapporto f= m/n (frequenza relativa) dove m= numero di successi ed n= numero di prove tende ad avvicinarsi sempre più alla probabilità P(E) La frequenza relativa f al crescere del numero delle prove, tende, pur oscillando, verso un valore costante (stabilità della frequenza)

Elementi di statistica • La statistica è un’estensione del calcolo delle probabilità – Si parte dai concetti fondamentali – Si estende la definizione di probabilità – Si introducono delle nuove variabili

Estensione del concetto di probabilità • Si suppongono valide tutte le leggi delle probabilità già stabilite • Non si può più definire la probabilità come rapporto fra casi favorevoli e casi possibili

Le variabili aleatorie • Una variabile aleatoria è una variabile. . . –. . . reale –. . . discreta o continua –. . . associata ad una probabilità

• In ogni caso vale la condizione di normalizzazione • . . . ed in generale un valore atteso (“speranza matematica”) vale. . .

Le distribuzioni in generale • Quasi sempre di una distribuzione si fornisce – La media – La standard deviation – La moda : massima frequenza di una distribuzione (valore + probabile)

Le principali distribuzioni discrete • Veramente importanti solamente due – Distribuzione di Bernoulli e binomiale – Distribuzione di Poisson, o degli eventi rari

Le variabili aleatorie discrete • Una variabile aleatoria discreta – Assume i valori. . . –. . . con probabilità

• Esempio classico: il dado – Variata: un numero da 1 a 6 – Probabilità associata: 1/6

Il dado xk Pk 1 0. 167 2 0. 167 3 0. 167 4 0. 167 5 0. 167 6 0. 167

La distribuzione binomiale • Caso tipico: – Estraiamo da un’urna una palla • Bianca: probabilità p • Nera: probabilità q=1 -p – Probabilità di estrarre k palle bianche su n estrazioni, rimpiazzando ogni volta la palla

La distribuzione binomiale • Legge della distribuzione • Introduciamo una variata che valga 1 per successo e 0 per insuccesso – Quindi – Su n prove

La distribuzione binomiale • All’aumentare della probabilità (da 0. 1 a 0. 3) la distribuzione diviene più simmetrica – Se aumentiamo n (numero delle ripetizioni) nella distribuzione binomiale essa assomiglia sempre più ad una distribuzione gaussiana …

La distribuzione continua • Veramente importante quella di GAUSS

La distribuzione gaussiana La funzione di distribuzione continua di Gauss (che possiamo vedere come caso limite di quella binomiale in cui n ∞ ) : • Media • Varianza

La distribuzione gaussiana • Normalizzazione:

La distribuzione gaussiana • In realtà a noi serve

Curva di Gauss Caratteristiche • E’ simmetrica rispetto alla media: la probabilità di un valore superiore alla media di una quantità prefissata è uguale alla probabilità di un valore inferiore per la stessa quantità • L’area compresa tra la funzione e l’area delle ascisse ( da + a - ) sia = 1 così da esaurire lo spazio campionario • Esiste la probabilità al 100% che la misura sia inclusa nella distribuzione • La frazione di area compresa tra due valori della variabile è assimilabile alla probabilità di riscontrare casualmente una misura entro tale intervallo

Le aree sottese alla curva normale • Spesso è necessario determinare la probabilità di riscontrare casualmente una misura entro tale intervallo • Proprietà della curva normale: l’area sottesa alla porzione di curva che vi è tra le media e una ordinata posta a una distanza data, determinata in termini di una o più deviazione standard, è costante