La probabilit matematica In generale parliamo di eventi

La probabilità matematica In generale parliamo di eventi probabili o improbabili quando non siamo sicuri se si verificheranno. DEFINIZIONE. Un evento (E) si dice casuale, o aleatorio, quando il suo verificarsi dipende unicamente dal caso. DEFINIZIONE. Un evento si dice: • certo quando è possibile stabilire con assoluta certezza il suo verificarsi; • impossibile quando non potrà mai realizzarsi; • incerto negli altri casi. La probabilità 1

La probabilità matematica Definiamo in termini matematici la probabilità dell’evento E: << esce il numero 5 >>. ESEMPI § Consideriamo il lancio di un dado. Poiché i possibili esiti del lancio sono 1, 2, 3, 4, 5, 6, e uno solo è il caso favorevole diremo che la probabilità dell’evento è . § Se consideriamo lo stesso evento nell’estrazione di un numero della tombola, dobbiamo considerare 90 possibili esiti e uno solo favorevole; in questo caso la probabilità è . § Calcoliamo la probabilità dello stesso evento nell’estrazione di una carta da un mazzo di 40 carte. Il numero complessivo di esiti è 40, mentre quello di esiti favorevoli è 4 (uno per ogni seme) quindi la probabilità dell’evento è La probabilità oppure, semplificando la frazione, . 2

La probabilità matematica In generale: DEFINIZIONE. La probabilità p(E) di un evento E è data dal rapporto fra il numero f di casi favorevoli all’evento e il numero complessivo n dei casi possibili. In simboli: PROPRIETÀ. La probabilità di un evento certo è sempre uguale a 1. PROPRIETÀ. La probabilità di un evento impossibile è sempre uguale a 0. PROPRIETÀ. La probabilità di un evento casuale è sempre un numero compreso fra 0 e 1. In simboli: La probabilità 3

Il teorema della probabilità totale (eventi incompatibili) DEFINIZIONE. Due eventi E 1 e E 2 si dicono incompatibili quando il verificarsi del primo esclude il verificarsi del secondo ovvero i due eventi non si possono verificare contemporaneamente. TEOREMA. La probabilità di due o più eventi incompatibili è uguale alla somma delle probabilità di ciascun evento. In simboli: ESEMPIO Mettiamo in un sacchetto una pallina rossa, tre palline nere e due palline verdi e calcoliamo la probabilità di estrarre una pallina rossa o una pallina nera. Probabilità di estrarre una pallina rossa La probabilità Probabilità di estrarre una pallina nera 4

Il teorema della probabilità totale (eventi compatibili) DEFINIZIONE. Due eventi E 1 e E 2 si dicono compatibili quando il verificarsi del primo non esclude il verificarsi del secondo ovvero è possibile che i due eventi si verifichino contemporaneamente. ESEMPIO Calcoliamo la probabilità che nell’estrazione di una carta da un mazzo di 40 carte essa sia una figura (Ef) oppure una carta di denari (Ed). In questo caso i due eventi sono compatibili perché bisogna conteggiare anche l’evento che la carta estratta sia una figura di denari I casi favorevoli ai singoli eventi sono: 12 per Ef (3 per ogni segno), pertanto 10 per Ed (le dieci carte di denari nel mazzo), pertanto Continua La probabilità 5

Il teorema della probabilità totale (eventi compatibili) I casi favorevoli all’evento totale (Et <<esce una figura o una carta di denari>>) sono 19 (le dodici figure + le altre sette carte di denari), quindi: In questo caso la probabilità totale pt è uguale alla somma delle probabilità dei due eventi (pf + pd) diminuita della probabilità dell’evento comune ai due eventi (pc). cioè: In generale: TEOREMA. La probabilità di due eventi compatibili è uguale alla somma delle probabilità di ciascun evento diminuita della probabilità dell’evento comune ai due eventi. In simboli: La probabilità 6

Il teorema della probabilità totale (eventi complementari) DEFINIZIONE. Due eventi E 1 e E 2 si dicono complementari quando il verificarsi del primo esclude il verificarsi del secondo ma sicuramente uno dei due eventi si verificherà. ESEMPIO Vogliamo calcolare la relazione tra la probabilità con cui, da un mazzo di 40 carte, venga estratta una figura (Ef) e la probabilità con cui venga estratta una carta contrassegnata da un numero (En). La loro somma è La probabilità 7

Il teorema della probabilità totale (eventi complementari) In generale: REGOLA. La somma delle probabilità di due eventi complementari è sempre uguale a 1. In simboli: Dalla regola precedentemente definita è facile dedurre il seguente: TEOREMA (DELLA PROBABILITÀ CONTRARIA). Se p è la probabilità di un evento E 1, allora la probabilità del suo evento complementare E 2 è data dalla formula La probabilità 8

La probabilità composta DEFINIZIONE. Un evento E si dice composto se il suo verificarsi è legato al verificarsi contemporaneo (o in successione) degli eventi E 1, E 2 … che lo compongono. Consideriamo il lancio consecutivo di due monete e calcoliamo la probabilità che esca contemporaneamente testa su entrambe le monete. • se con il lancio della prima moneta esce testa, con la seconda si può ottenere testa o croce: (T; T) e (T; C) • se con il lancio della prima moneta esce croce, con la seconda si può ottenere testa o croce: (C; T) e (C; C) Complessivamente i casi possibili sono quattro: (T; T) La probabilità (T; C) (C; T) (C; C) 9

La probabilità composta Consideriamo l’estrazione di due assi da un mazzo di 40 carte senza rimettere la carta estratta nel mazzo: • il numero complessivo di carte della prima estrazione (40) è diverso da quello della seconda (39); • se alla prima estrazione è stato estratto un asso significa che nella seconda estrazione il numero complessivo di assi è 3. Rispetto all’esempio della diapositiva precedente, questo esempio presenta una differenza notevole: § nel primo esempio l’esito del primo lancio non influenza quello del secondo; § nel secondo esempio la seconda estrazione è dipendente dalla prima. DEFINIZIONE. § Due eventi composti si dicono indipendenti se il verificarsi di uno qualsiasi di essi non modifica la probabilità del verificarsi dell’altro evento. § Due eventi composti si dicono dipendenti se il verificarsi di uno qualsiasi di essi modifica la probabilità del verificarsi dell’altro evento. La probabilità che si verifichi l’evento E 2 nell’ipotesi che l’evento E 1 si sia già realizzato è detta probabilità condizionata ed è indicata con la scrittura p(E 2/E 1). La probabilità 10

Eventi indipendenti Consideriamo il lancio di una moneta e calcoliamo la probabilità che su due lanci esca entrambe le volte testa. Per ogni lancio esiste una probabilità su due che venga testa. Per calcolare la probabilità che esca due volte testa consecutivamente dobbiamo quindi calcolare quanti sono nel complesso i casi possibili e quanti quelli favorevoli. 1 lancio 2 lancio Testa Croce Nel nostro caso TEOREMA (DELLA PROBABILITÀ COMPOSTA). La probabilità di un evento E, costituito da due eventi indipendenti E 1 ed E 2, si ottiene effettuando il prodotto delle probabilità di ciascun evento. In simboli: La probabilità 11

Eventi dipendenti Consideriamo un’urna contenente 15 palline rosse e 5 bianche e calcoliamo la probabilità di ottenere, in due estrazioni consecutive, prima una pallina rossa poi una bianca: • per l’evento E 1 “estrazione di una pallina rossa” abbiamo • per l’evento E 2 “estrazione di una pallina bianca” abbiamo In questo caso, la probabilità dell’evento composto E “viene estratta prima una pallina rossa poi una bianca” è data dal prodotto TEOREMA (DELLA PROBABILITÀ COMPOSTA). La probabilità di un evento E, costituito da due eventi dipendenti E 1 ed E 2, si ottiene moltiplicando la probabilità dell’evento E 1 per la probabilità condizionata dell’evento E 2 (nell’ipotesi che il primo evento si sia verificato); in simboli: La probabilità 12

La probabilità frequentista Si parla di probabilità frequentista nel caso in cui si ha a disposizione un numero molto grande di osservazioni che avvengono sempre nelle stesse condizioni. DEFINIZIONE. Sia n il numero di prove eseguite, tutte uguali e nelle medesime condizioni, ed f il numero degli esiti favorevoli. La probabilità frequentista p(E) di un evento E è data dalla frequenza relativa dell’evento, cioè dal rapporto tra f e n In generale: TEOREMA (LEGGE DEI GRANDI NUMERI O LEGGE EMPIRICA DEL CASO). Se sottoponiamo un evento casuale ad un numero elevato di prove, mantenendo sempre le condizioni iniziali, otteniamo una frequenza che si avvicina molto alla probabilità teorica; aumentando il numero di prove, la frequenza tende a coincidere sempre più con la probabilità teorica. La probabilità 13

La probabilità soggettiva misura la fiducia che un individuo, basandosi su conoscenze e opinioni in merito a una determinata situazione, ripone nell’avverarsi di un evento. Si tratta di una scommessa la cui valutazione di esito dipende esclusivamente dal giudizio personale di chi scommette. Nel caso di una partita di calcio, ad esempio, un certo individuo può valutare la probabilità che si verifichi l’evento della vittoria di una squadra sull’altra al 60%; giudica equo pagare € 60 per riceverne in cambio 100 (guadagnandone così 40); un altro individuo potrebbe assegnare allo stesso evento una probabilità diversa. DEFINIZIONE. La probabilità soggettiva p(E) di un evento E è il rapporto tra il prezzo P che un individuo è disposto a pagare e la somma S che vuole ricevere in caso si verifichi l’evento. La probabilità 14