Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade
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Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz” Universidade de São Paulo LCE 0220 – Cálculo II Profa. Dra. Andreia Adami deiaadami@terra. com. br
Equações diferenciais ü Equação diferencial: equação que contém uma função desconhecida e algumas de suas derivadas.
Equações diferenciais ü Modelos para crescimento populacional: o modelo de crescimento populacional baseia-se na hipótese de que a população cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho. Essa hipótese é razoável para uma população de bactérias ou animais em condições ideais – meio ambiente ilimitado; nutrição adequada; ausência de predadores, imunidade e doenças.
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Equações diferenciais ü Avaliando qualitativamente a equação diferencial logística observamos que; P(t) = 0 e P(t)= M são soluções porque em qualquer um dos casos, um dos fatores do lado direito da equação é zero. O que implica que, se a população for 0 ou estiver na capacidade de suporte (M), ela se mantém nesse nível. ü Essa duas soluções constantes são chamadas soluções de equilíbrio.
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Equações diferenciais ü Exemplo: Comparação da função de crescimento exponencial com a função de crescimento logístico ü Na década de 30, o biólogo G. F. Gause realizou uma experiência com o protozoário paramécio e usou uma equação logística para modelar seus dados. ü A Tabela a seguir fornece suas contagens diárias da população de protozoário ü Ele estimou uma taxa de crescimento de 0, 7944 e capacidade de suporte de 64.
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Equações diferenciais ü Tabela
Equações diferenciais ü Gráfico
Equações diferenciais ü Exercício: Um população cresce de acordo com um modelo logístico, com capacidade de suporte 6. 000 e k=0, 0015 por ano. ü a) Escreva uma equação diferencial logística para esses dados. ü b) Se a população inicial for 1000, escreva a fórmula usada para obter o tamanho dessa população após t anos.
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