Credit Risk Management MathematischStatistische Verfahren des Risikomanagements SS

Credit Risk Management. Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 1

Einführung (I) Die drei Kernbereiche des Credit Risk Management Kreditprozesse vertriebswegedeterminiert Kreditprozesse liefern die notwendigen Daten für die Portfoliosteuerung. Kreditportfoliosteuerung gesamtbankdeterminiert Effiziente Risikoanalyse nur bei effizienten Prozessen Ausfallwahrscheinlichkeiten Scoring & Rating kundendeterminiert Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 2

Einführung (II) Gesamtbankorientierte Steuerung von Kreditrisiken Kundenansprache Bonitätsanalyse Segment spezifisches Kalkulation Ermittlung des Risikostatus Individuelle Kalkulation Aggregierte Einzelrisiken Diversifiziertes Kreditportfolio Handel von Kreditrisiken Berücksichtigung von Diversifikations effekten Einsatz von Kreditderivaten Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 3

Baseler Prinzipien für das Kreditgeschäft (I) Baseler Ausschuss für Bankenaufsicht Ziel von Basel die internationalen Finanzsysteme zu stabilisieren die Kreditvergabe anhand von nachvollziebaren Kriterien transparent zu machen Basel I 1988 Banken müssen ab 1992 mindestens 8% der Kreditsumme mit Eigenkapital hinterlegen d. h das die Kreditvolumen ist maximal das 12, 5 -fache des haftenden Eigenkapitals Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 4

Baseler Prinzipien für das Kreditgeschäft (II) Baseler Ausschuss für Bankenaufsicht Basel II, Standardansatz 2001 Standard-Ansatz 8% der Kreditsumme mit Eigenkapital hinterlegen Einbeziehung des Kreditrisikos: AA- und besser 20% vom Standard-Ansatz, d. h. 1, 6 % A+ bis A- 50% vom Standard-Ansatz, d. h. 4 % BBB+ bis B 100% vom Standard-Ansatz, d. h. 8 % B- und schlechter 150% vom Standard-Ansatz, d. h. 4 % Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 5

Baseler Prinzipien für das Kreditgeschäft (III) Baseler Ausschuss für Bankenaufsicht Basel II, Erweiterter Ansatz ab 2005 Messung des Kreditriskos durch „externes Bonitätsbeurteilungsinstitut“ (Rating-Agentur) Alternativ Bank-internes Ratingsystem 6 bis 9 kreditnehmerbezogene Risikoklassen für nicht notleidende Kredite Mindestens 2 Risikoklassen für notleidende Kredite Jedem Kreditnehmer muß zwingend ein Rating zugeordnet werden Die Banken müssen eine Ratinghistorie von mindestens 5 Jahren nachweisen Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 6

Kreditprozesse (I) Der Kreditprozess ist häufig durch Ineffizienzen geprägt Vertrieb Kundenidentifikation Annahme Kundenwunsch Kreditwürdigkeitsprüfung Sicherheitenverwaltung Geschäftsabschluss Engagementüberwachung Credit Risk Mgmt Kundenakte Weitere Kundendaten n ze ti No Kundenwunsch und Grunddaten Vertrag Finanzielle Verhältnisse Antragsbearbeitung Sicherheiten bewertung Vertragsgestaltung Bisheriges Engagement Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 7

Kreditprozesse (II) Die Kernforderungen der Baseler Prinzipien für das Kreditgeschäft Strategieentwicklung im Top-Mgmt. Umsetzung auf Bereichsebene Setzung klarer Rahmenbedingungen und Organisationsrichtlinien für das Kreditgeschäft Hohe Standards bei der Vergabe von Krediten sowie bei der Eindeutiges fortlaufenden Über. Kompetenz- & wachung und bei der Limitsystem Transparente Risikoermittlung Kredit- & Bonitätsanalyse Einrichtung eines soliden und durchdachten Kreditprozesses mit der Sicherstellung ausreichender Kontrollen. Einbindung Problemkreditorganisation Permanente Kreditprozessprüfung Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 8

Kreditprozesse (III) Interaktion der einzelnen Risikokomponenten. Makroökonomische Daten Unternehmens Daten Finanz- & Kreditstammdaten Rating Bestimmung Risikofaktoren Validierung Simulierte Risikofaktoren Pricing von Krediten Marktdaten Portfoliowert Definition der Risikofaktoren P/L-Estimation Portfoliodaten Kalibrierung Backtesting Va. R/CVa. R Portfolioentscheidung Simulierte Portfolioveränderung. Reporting Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 9

Rating (I) Definitionen Mit Rating bezeichnet man allgemein Verfahren, bei denen die Ausprägung bestimmter Merkmale anhand von vorgegebenen Kategorien eingeschätzt und in eine Rangordnung gebracht werden. Beim Unternehmensrating beschäftigen wir uns mit Ratingsystemen, die sich allgemein mit der Einschätzung der wirtschaftlichen Lage von gewerblichen Unternehmen anhand vorgegebener Kriterien beschäftigen. Mit Blick auf die am Markt befindlichen Ratingsysteme lassen sich das Credit-Rating eines Emittenten, das Credit-Rating eines Finanztitels, das Credit-Rating einer Kunden- bzw. Lieferantenbeziehung das Equity-Rating unterscheiden. Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 10

Rating (II) Credit-Rating als Unternehmensrating Dieses Rating umfaßt die ganzheitliche Analyse eines Unternehmens, unter Einbeziehung aller verfügbaren und als relevant erkannten Informationen, mit dem Ziel, eine Schätzung der Ausfallwahrscheinlichkeit gemäß der Basler Referenz. Ausfalldefinition vorzunehmen. Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 11

Rating (III) Basler Referenz-Ausfalldefinition “Ein bestimmter Schuldner ist als ausgefallen zu betrachten, wenn eines oder mehrere der folgenden Ereignisse eingetreten ist: es ist unwahrscheinlich, daß der Schuldner seine Zahlungsverpflichtungen (Zins, Tilgung oder Gebühren) voll erfüllen kann; Eintritt eines Kreditverlustes in Zusammenhang mit irgendeiner Zahlungsverpflichtung des Schuldners, wie Abschreibung, Einzelwertberichtigung oder Umschuldung notleidender Kredite in Zusammenhang mit Erlass oder Verschiebung von Zins-, Tilgungs- oder Gebührenzahlungen; der Schuldner ist mit irgendeiner Zahlungsverpflichtung mehr als 90 Tage im Verzug, oder Schuldner hat ein Konkursverfahren oder ein ähnliches Verfahren zum Schutz vor Gläubigern beantragt. ”. Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 12

Rating (IV) Die Komponenten des Ratings Bonitätskomponente Datenbasis Rating Privatkundenanalyse Personenbezogene Daten versch. Verfahren Fundamentalanalyse (jährlich) Bilanzdaten versch. Verfahren Laufende Überwachung (monatlich) Konto- & Gu. V-Daten Ökonomische Rahmenbedingungen (quartalsweise, halbjährlich) Makroökono-mische Daten Berücksichtigung weicher Faktoren Persönlicher Eindruck, Management versch. Verfahren Ökonometrische Verfahren Expertensysteme Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 13

Rating (V) Ratingkategorien und ihre Interpretation Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 14

Rating (VI) Marginale Ausfallraten AAA bis B Quelle: Moody‘s, Erhebungszeitraum 1970 - 1993 für Aaa - B Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 15

Rating (VII) Übergangswahrscheinlichkeiten Quelle: Standard & Poor‘s, 1998 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 16

Rating (VIII) Allgemeine Struktur eines Rating-Prozesses Input Auswahl und Erfassung von Informationen, die geeignet sind eine Aussage über die Bonität eines Unternehmens zu geben. Throughput. Verdichtung der Informationen zu einem Ratingurteil. I. A. kommen dabei mehrere Verfahren zur Anwendung, zunächst mathematischstatistische Verfahren und dann Expertenurteile Output Interpretation des Ratingergebnisses Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 17

Rating (IX) Informationsbereiche eines Rating-Prozesses ü Angaben zur Unternehmensidentität (Rechtsform, Sitz, Standorte, Gründungsdatum, Wirtschaftszweigklassifikation(en), Konzernzu gehörigkeit, Eigentümerstruktur, Bilanzsumme (3 Jahre), Umsatz (3 Jahre), Mitarbeiter (3 Jahre)) ü Informationen aus dem Rechnungswesen des Rating-Objektes (Kreis der einbezogenen Unternehmen, Rechtliche Grundlagen: . Abschlüsse nach HGB, IAS-Standards, GAAP-Standards etc. , Art der Abschlüsse, Testat/ Bescheinigung, Zeitraum) ü Andere monetäre Planungsdaten unter Angabe des Planungshorizonts (Umsatzpläne, Kundengruppen, Personalausgaben/-kosten, Materialaus gaben/-kosten, Finanzpläne, Investitionspläne, Kapitalkostenplanung) Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 18

Rating (X) Informationsbereiche eines Rating-Prozesses ü Nicht aus dem Rechnungswesen ersichtliche Potentiale (Absatzmarkt und Marktstellung des Ratingobjektes, Produktions- und Beschaffungspotentiale, Management, Personalwirtschaft, Standort/Umwelt) ü Risikoanalyse und Risikomanagement (Insolvenzrisiko, Performance-(Equity-)Risiko, bedeutende mögliche . Einzelrisiken, Risikoplanung vorhanden? , Instrumente und Organisation des Risikomanagements) ü Information über Vergleichsunternehmen zur Beurteilung des Ratingobjektes (Zeitvergleich, Einzelbetriebsvergleich, Benchmarking, Branchenvergleich, Inter-Branchenvergleich) Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 19

Rating (XI) Untersuchungsbereiche des CODEX Verfahrens Bonität Historische Ausfallrate Branchen. Rating Unternehmens. Rating Jahresabschlußanalyse Konzern. Rating Potential. Analyse Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 20

Rating (XII) Untersuchungsbereiche des CODEX Verfahrens Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 21

Rating (XIII) Untersuchungsbereiche des CODEX Verfahrens Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 22

Rating (XV) Kriterien zur Beurteilung der Qualität der Inputdaten Merkmalsauswahl gestützt auf Expertenwissen oder Datenanalyse. Qualität (i. S. von Glaubwürdigkeit) der Eingangsdaten ( Zwischenabschluß, vorläufiger Abschluß, testierter Abschluß, Planungs- und Prognosedaten, etc. ) Wie stark sind die vorliegenden Daten bereits verdichtet und manipuliert? Wie sind die Eingangsdaten skaliert (nominal, ordinal, metrisch)? Paßt die angenommene Skalierung zum betrachteten Merkmal und zur Erhebungsmethode? Sind einzelne Merkmale korreliert? Werden Plausibilitätsprüfungen durchgeführt? Aufbereitung der Eingangsdaten: Wie werden z. B. Daten- und Informationslücken behandelt? Wie werden Ausreißer behandelt? Wie werden die Daten eingegeben? Wie werden Eingabefehler vermieden? Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 23

Rating (XV) Meßskalen v Nominalskala: Einteilung der Objekte in Klassen. Keine mathematische Berechnung möglich. v Ordinalskala: Anordnung der Objekte in auf- oder abstei gender Reihenfolge. Wird die Ordnung durch Zahlen aus- gedrückt, so ist die Ordnung eindeutig bis auf monotone Transformationen. Es sind nur Größenvergleich erlaubt. v Kardinalskala (metrische Skala, Intervallskala): Die Anordnung der Objekte wird durch reelle Zahlen beschrie- ben und ist eindeutig bis auf lineare Transformationen. Addition, Subtraktion und Multiplikation sind erlaubt. v Verhältnisskala. Eine Kardinalskala mit festgelegtem Nullpunkt. Hier ist auch die Division-Bildung gestattet. Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 24

Rating (XV) Ratingagenturen Weltweit agierende Ratingagenturen (auf Großunternehmen fokusiert) § Fitch. Rating § Moody‘s Rating § Standard & Poor‘s Credit. Model Deutsche Ratingagenturen (auf mittelständische Unternehmen fokusiert) © © © Creditreform Rating Euro. Ratings AG HERMES Rating HVB Rating Advisory RS Rating Services AG URA Rating AG Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 25

Anforderungen an Credit Rating (I) Qualitatives Rating Aggregation der bonitätsrelevanten Kriterien zu einem Rating-Urteil durch einzelne Kreditexperten oder Rating. Teams ohne Darlegung der Verfahrensweise. Vorteil: • Es können beliebig skalierte Informationen verarbeitet werden. Nachteil: • Die Qualität des Rating-Urteils hängt von der subjektiven Erfahrung und der Intuition der einzelnen Kreditexperten ab. • Das Ergebnis ist nur bedingt objektiviert und für einen unbeteiligten Dritten nur schwer nachvollziehbar. • Menschen sind i. a. überfordert, wenn mehr als drei Kriterien zu aggregieren sind. Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 26

Anforderungen an Credit Rating (II) Quantitatives Rating Aggregation der bonitätsrelevanten Kriterien zu einem Rating. Urteil mit Hilfe von Informationsverarbeitungssystemen, die den Kreditexperten oder das Rating-Teams unterstützen. Bekannte quantitative Ratingverfahren sind: • Punktwertverfahren. • Mathematisch-Statistische Verfahren • Multivariate lineare Diskriminanzanalyse • Logistische Regression • Clusteranalyse • Entscheidungsbaumverfahren • Neuronale Netze • Expertensysteme, Fuzzy-Expertensysteme Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 27

Anforderungen an Credit Rating (III) Adäquate Bearbeitung von Kriterien Ein leistungsfähiges Ratingmodell sollte möglichst viele bonitätsrelevante Kriterien verarbeiten. Da quantitative Systeme meistens nur metrisch skalierte Daten verarbeiten können, sind sie oft nicht in der Lage, qualitative Kriterien („soft facts“) beim Rating-Urteil zu berücksichtigen. Diese werden normalerweise nur durch nominal oder ordinal skalierte Daten oder gar durch verbale Bewertungen beschrieben. Da qualitative Kriterien für das Rating-Urteil von großer Bedeutung sein können, ist deren Einbeziehung ein wichtiges Kriterium für die Bewertung quantitativer Rating-Verfahren. Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 28

Anforderungen an Credit Rating (IV) Nachvollziehbarkeit der Kreditentscheidung Der Kreditexperte muß in der Lage sein, daß „errechnete“ Rating-Urteil zu verstehen und es im Bedarfsfall auch zu ändern. Unter „Nachvollziehbarkeit“ der Kreditentscheidung wird die Möglichkeit verstanden, die mit Hilfe des quantitativen Verfahrens erzielten Ergebnisse ökonomisch zu interpretieren. Die Nachvollziehbarkeit ist u. a. dann gegeben, wenn Ú der Einfluss jedes Bonitätsmerkmals auf das Rating-Urteil angegeben werden kann Ú bei einer linearen Klassifikationsfunktion jedes Merkmal mit dem betriebswirtschaftlich richtigen Vorzeichen in der Funktion enthalten ist. Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 29

Punktwertverfahren (I) Das Punktwertverfahren ist ein multiples Verfahren zur Alternativenbewertung Das Verfahren ist eine heuristische Methode zur systematischen Entscheidungsfindung Beim Punktwertverfahren wird von einem Katalog von quantitativen und qualitativen Bewertungskriterien ausgegangen. Diese Punkte können in konfliktärer, komplementärer oder unabhängiger Beziehung zueinander stehen. Die Kriterien werden entsprechend ihrer Bedeutung für die zu beantwortende Fragestellung gewichtet. Die zu beurteilenden Kriterium werden auf der Basis einer vorgegebener Punktskala bewertet. Die Vergabe der Punkte kann sowohl von Experten oder durch Ermittlung von Kennzahlen erfolgen. Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 30

Punktwertverfahren (II) Die vergebenen Punkte werden unter Berücksichtigung der Gewichte aggregiert. Zur Entscheidungsfindung können die Ergebnisse beispielsweise in eine Ordinalskala überführt werden. Stattdessen kann auch ein Schwellenwert festgelegt werden, bei dessen Unterschreitung sich ein Bewertungsobjekt in einer Entscheidungssituation als nicht relevant ergibt. Punktwertverfahren werden bevorzugt im Privatkunden- geschäft eingesetzt ! Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 31

Punktwertverfahren (III) Beim Privatkundengeschäft sind die folgenden Kriterien von Bedeutung (in fallenden Reihenfolge): ¡ Schufa-Auskunft ¡ freies Einkommen ¡ Erfahrung mit früheren Krediten ¡ Anzahl und Höhe des bisherigen Kreditengagements ¡ Nettoeinkommen ¡ Dauer des Arbeitsverhältnisses ¡ Anzahl im Haushalt lebender unterhaltsbedürftiger Personen ¡ Alter ¡ Vermögenswerte ¡ Wohndauer an der angegebenen Adresse ¡ Wohnung (Eigentum oder Miete) ¡ Branche des Arbeitgebers ¡ Nationalität ¡ Familienstand Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 32

Diskriminanzanalyse (I) Die Diskriminanzanalyse ist eine Methode zur Analyse von Gruppenunterschieden, die es ermöglicht, zwei oder mehr Gruppen simultan hinsichtlich einer Mehrzahl von Merkmalsvariablen zu untersuchen. Insbesondere lassen sich mit Hilfe der Diskriminanzanalyse die beiden folgenden Fragestellungen untersuchen: “Unterscheiden sich die Gruppen signifikant? ” “Wie lassen sich die Gruppenunterschiede erklären? ” Ein zweites Anwendungsgebiet der Diskriminanzanalyse bildet die Klassifizierung: “In welche Gruppe ist ein Objekt, dessen Gruppenzugehörigkeit nicht bekannt ist, aufgrund seiner Merkmalsausprägungen einzuordnen? ” Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 33

Diskriminanzanalyse (II) Das Ziel diskriminanzanalytischer Verfahren ist es, eine Grundgesamtheit anhand aussagefähiger Merkmale in (möglichst überschneidungsfreie) Gruppen einzuteilen. Diskriminanzanalytische Verfahren lassen sich einteilen in verteilungsfreie und verteilungsabhängige Verfahren. Bei letzteren wird eine bestimmte Verteilung der unabhängige Variablen in den einzelnen betrachteten Gruppen unterstellt. Hier wird als Beispiel für eine verteilungsfreie die univariate und als Beispiel für eine verteilungsabhängige die lineare multivariate Diskriminanzanalyse betrachtet. Dabei wird die Gruppenzugehörigkeit durch eine nominal skalierte Gruppierungsvariable (z. B. Solvenz) dargestellt und durch (möglichst) unabhängige, metrisch skalierte Merkmalsvariablen erklärt. Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 34

Univariate Diskriminanzanalyse (I) Die univariate Diskriminanzanalyse untersucht die Trennfähigkeit der einzelnen Gruppen, z. B. solvente oder insolvente Unternehmen, mit Hilfe mehrerer Kennzahlen, die getrennt voneinander untersucht werden. Dabei werden die Kennzahlen so ausgewählt, daß sie das Trennergebnis zwischen gesunden und kranken Unternehmen am besten widerspiegeln. Basierend auf einer Teststichprobe wird versucht, einen Trennpunkt (cut-off-point) so festzulegen, daß die Anzahl der Fehlklassifikationen minimal ist. Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 35

Univariate Diskriminanzanalyse (II) Bei der Kennzahl Rentabilität sind 8 und bei der Kennzahl Fremdkapitalquote 5 Unternehmen falsch klassifiziert. Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 36

Univariate Diskriminanzanalyse (III) Vorteile der univariaten Diskriminanzanalyse: § einfach und leicht nachvollziehbar § keine Verteilung für die Kennzahlen notwendig Nachteile der univariaten Diskriminanzanalyse: § bei Verwendung von sehr wenigen Kennzahlen werden nur Teilaspekte berücksichtigt § die Auswertung vieler Kennzahlen führt zu einer Komplexität, die eine Prognose nicht mehr zuläßt Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 37

Multivariate Diskriminanzanalyse (I) × Die multivariate lineare Diskriminanzanalyse ist eine mathema- tisch- statistische Methode zur Analyse von Gruppenunterschieden, die es ermöglicht, zwei oder mehr Gruppen simultan hinsichtlich mehrerer Merkmalsvariablen zu untersuchen. × Das Ziel diskriminanzanalytischer Verfahren ist es, eine Grundgesamtheit anhand aussagefähiger Merkmale in (möglichst über schneidungsfreie) Gruppen einzuteilen. × Im Kreditgeschäft wird die Diskriminanzanalyse zur Unterneh- menbeurteilung eingesetzt, mit dem Ziel kreditsuchende Unternehmen den Gruppen bestandsfeste “gute” oder insolvenz- gefährdete “schlechte” Unternehmen zuzuordnen. × Diese Zuordnung erfolgt auf Basis eines errechneten Diskriminanzwerts Z. Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 38

Multivariate Diskriminanzanalyse (II) Das Grundprinzip der linearen multivariaten Diskriminanzanalyse (LMD) besteht darin, daß mehrere Variablen bei minimalem Informationserlust durch eine Linearkombination zu einer einzigen Variablen zusammengefaßt wird. Die zur Kombination der Merkmalsvariablen verwendete Funktion heißt Diskriminanzfunktion (Trennfunktion). Sie hat allgemein die folgende Form: mit Z = Diskriminanzvariable, nominal skaliert Xj = Merkmalsvariable j (j = 1, 2, . . . , J), metrisch skaliert bj = Diskriminanzkoeffizient für Merkmalsvariable j b 0 = Konstantes Glied Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 39

Multivariate Diskriminanzanalyse (III) MLD mit 2 Merkmalen Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 40

Multivariate Diskriminanzanalyse (IV) Voraussetzungen der LMD ªausgewählten Kennzahlen müssen in der Grundgesamtheit normalverteilt sein. ªDie Kennzahlen müssen voneinander unabhängig sein. ªDie Varianzen der Kennzahlen müssen in der Grundgesamtheit gleich groß sein. (Varianzhomogenität) Die Merkmalsvarialben müssen metrisch skaliert sein. Mathematisch sind die Gewichte bj so zu schätzen, daß sich die Gruppen maximal unterscheiden. Betriebswirtschaftlich besteht das zentrale Problem darin, für die entsprechende Aufgabengestellung (hier: Bonitätsanalyse) aussage fähige und damit trennfähige Merkmale zu bestimmen. Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 41

Multivariate Diskriminanzanalyse (V) -Fehler und -Fehler Der -Fehler gibt den Anteil der tatsächlich kran-ken Unternehmen an, die aufgrund ihres Kennzahlenwertes als gesund ange-sehen werden können. Der -Fehler gibt den Anteil der tatsächlich gesunden Unternehmen an, die aufgrund ihres Kennzahlenwertes als krank einzustufen sind. Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 42

Multivariate Diskriminanzanalyse (VI) Diskriminanzmaß Als Maß für die Unterschiedlichkeit von zwei Gruppen reicht die Distanz im Diskriminanzraum nicht aus, wobei = Centroid der Gruppe g (g = A, B) ist. Ein besseres Maß der Diskriminanz der Gruppen erhält man deshalb, wenn auch die Streuung in den Gruppen berücksichtigt wird. Wählt man die Standardabweichung s als Maß für die Streuung einer Gruppe, so ist ein geeignetes Diskriminanzmaß für zwei Gruppen A und B: Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 43

Multivariate Diskriminanzanalyse (VII) Diskriminanzmaß Offenbar unterscheiden sich die beiden Gruppen (die als Verteilungen über der Diskriminanzachse dargestellt sind) in der oberen Hälfte stärker als die beiden Gruppen in der unteren Hälfte, obgleich die Distanz der Gruppencentroide jeweils gleich ist. Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 44

Multivariate Diskriminanzanalyse (VIII) Diskriminanzkriterium Das Problem der Schätzung der Diskriminanzfunktion : Wähle die Koeffizienten bj so, daß bezüglich der Diskriminanzwerte der Quotient maximal wird. Maximalwert des Diskriminanzkriteriums Die Streuung zwischen den Gruppen wird auch als erklärte Streuung und die Streuung in den Gruppen als nichterklärte Streuung bezeichnet. Beide zusammen addieren sich zur Gesamtstreuung der Diskriminanzwerte. Das Diskriminanzkriterium läßt sich damit auch als Verhältnis von erklärter und nichterklärter Streuung interpretieren. Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 45

Multivariate Diskriminanzanalyse (IX) Diskriminanzmaß Das vorstehende Diskriminanzmaß ist allerdings nur unter den folgenden Prämissen anwendbar: a) zwei Gruppen b) gleiche Größe der Gruppen c) gleiche Streuung der Gruppen Um die Prämissen a) und b) aufzuheben, ist die quadrierte Distanz im Zähler durch die Varianz zwischen den Gruppen zu ersetzen. Diese lautet: = Mittlerer Diskriminanzwert in Gruppe g = Gesamtmittel über alle Elemente = Fallzahl in Gruppe g (g = 1, . . . , G) Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 46

Multivariate Diskriminanzanalyse (X) Verarbeitung qualitativer Merkmale Durch geeignete Skalierungsverfahren, z. B. die Lancaster -Skalierung, lassen sich ordinal skalierte Merkmale in annähernd metrisch skalierte Merkmale transformieren. Dabei werden die Merkmale an eine Normalverteilung angepasst und die univariate Trennfähigkeit maximiert. Insgesamt bleibt aber das grundlegende Problem, dass Linearität im Großen nicht gegeben ist und daher die Anzahl der Merkmalsvariablen bei der LMD beschränkt sein muss. Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 47

Multivariate Diskriminanzanalyse (XI) Nachvollziehbarkeit Bei der LMD erkennt man die Funktionskoeffizienten und ihre Vorzeichen direkt aus der geschätzten Diskriminanzfunktion. Auch läßt sich die Bedeutung eines Merkmals j für die Klassifikationsentscheidung anhand der Werte bj ablesen, unter der Voraussetzungen, daß die Merkmale auf einen einheitlichen Wertebereich normiert wurden Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 48

Multivariate Diskriminanzanalyse (XII) Mehrfache Diskriminanzfunktion Im Mehr-Gruppen-Fall können mehr als eine Diskriminanzfunktion ermittelt werden. Bei G Gruppen lassen sich maximal G - 1 Diskriminanzfunktionen bilden, die jeweils orthogonal zueinander sind. Die maximale Anzahl von Diskriminanzfunktionen ist Min{G - 1, J}, wobei J die Anzahl der Merkmalsvariablen ist. Zu jeder Diskriminanzfunktion gehört ein Maximalwert des Diskriminanzkriteriums k mit Jede weitere Diskriminanzfunktion wird so ermittelt, daß sie einen maximalen Anteil derjenigen Streuung erklärt, die nach Ermittlung der vorangehenden Diskriminanzfunktion als Rest verbleibt. Die Erklärungsanteil werden daher fortlaufend geringer. Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 49

Multivariate Diskriminanzanalyse (XII) Mehrfache Diskriminanzfunktion und Varianzanteil Die diskriminatorische Bedeutung der sukzessiv ermittelten Diskriminanzfunktionen nimmt in der Regel sehr schnell ab. Empirische Erfahrungen zeigen, daß man auch bei großer Anzahl von Gruppen und Merkmalsvariablen meist mit zwei Diskriminanzfunktionen auskommt. Dies hat unter anderem den Vorteil, daß sich die Ergebnisse leichter interpretieren und auch grafisch darstellen lassen. Als Maß für die relative Wichtigkeit einer Diskriminanzfunktion wird der durch die k-te Diskriminanzfunktion erklärte Varianzanteil verwendet. Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 50

Standards für mathematischstatistische Ratingverfahren (I) Datenbasis (Anforderungen an die Stichprobe) ¨ Für die Elemente der Stichprobe müssen deren Gruppenzugehörigkeit bekannt sein. Die Gruppierungsvariable ist nominal skaliert. ¨ Die für die Gesamtstichprobe ausgewählten Unternehmen sollten repräsentativ für die betrachtete Grundgesamtheit sein. ¨ Die zugrundeliegende Datenbasis sollte sich anhand aussagefähiger Merkmale in disjunkte Gruppen einteilen lassen. ¨ Das Verfahren der LMD kann ohne Modifikationen nur sinnvoll auf metrisch skalierte Eingangsdaten angewendet werden. Durch geeignete Skalierungsverfahren, z. B. die Lancaster-Skalierung, lassen sich ordinal skalierte Merkmale in annähernd metrisch skalierte Merkmale transformieren. Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 51

Standards für mathematischstatistische Ratingverfahren (II) Auswahl der Merkmale Anzahl der erklärenden Variablen sollte eine sinnvolle Obergrenze nicht überschreiten. Diese ist vom Umfang der Lernstichprobe abhängig. Die wichtigsten Dimensionen des Merkmalsraums sollten abgedeckt sein. Die Merkmalsvariablen sollten nicht miteinander korreliert sein. Um umfassend das Informationspotential des Jahresabschlusses abbilden zu können, sollten die Merkmale unterschiedliche Bereichen widerspiegeln. Die zur Gruppierung herangezogenen Merkmale sollten so weit wie möglich normalverteilt sein und ihre Streuung in den betrachteten Gruppen möglichst gleich groß sein (gleiche Varianz-Kovarianz-Matrizen). Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 52

Standards für mathematischstatistische Ratingverfahren (III) Schätzung der Modellparameter Die Schätzung der Modellparameter sollte mit einer Teilmenge der Gesamtstichprobe, der sogenannten Lernstichprobe erfolgen. Die Lernstichprobe muß einen möglichst guten Querschnitt durch die jetzigen bzw. zukünftigen Kreditnehmer darstellen. Die Lernstichprobe muß ausreichend groß sein, damit die vorliegenden Klassenzugehörigkeiten ein ausreichend gute Schätzer für die Klassenzugehörigkeiten der zu analysierenden Objektgruppe sind. Bei der Schätzung der Modellparameter sollte darauf geachtet werden, daß sich die Parameter betriebswirtschaftlich sinnvoll interpretieren lassen. Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 53

Standards für mathematischstatistische Ratingverfahren (IV) Performancemessung des Ratingmodells Um die Klassifikationsleistung des Ratingmodells zu ermitteln, sollte der vorliegende Datensatz in eine Lern- und eine Teststichprobe (Holdout-Sample) aufgeteilt werden. Die Lernstichprobe dient zur Kalibrierungn der Modellparameter. Die Teststichprobe dient der Modellvalidierung (Backtesting). In der Teststichprobe sollten Unternehmen enthalten sein, die nicht schon zur Modellkalibirierung herangezogen wurden. Es soll das Gütemaß dargelegt werden, mit dem die Trennleistung des Ratingmodells beurteilt wird. Der Zusammenhang zwischen den Diskriminanzwerten Y und den Ratingklassen soll dargelegt werden. Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 54