Comparaison de deux pourcentages I MEDKOUR Maitre assistant

Comparaison de deux pourcentages I. MEDKOUR, Maitre assistant en épidémiologiste Université Mira Abderrahmane, Faculté de Médecine CHU Bejaia

Introduction AVANT de choisir un test, il est conseillé de se demander: • Quelles sont les variables à étudier (critères principaux)? • Quel est le type de ces variables (qualitatif/quantitatif)? • Les groupes à comparer sont-ils indépendants / appariés? • Quelle est la taille de chacun des groupes (conditions de validité des tests)? • S’il s’agit de variables quantitatives, la distribution est-elle normale?

Choix d’un Test Statistique 1. Type de variables mises en relation 2. Taille de l’échantillon 3. Conditions d’applications des tests choisis 4. Séries appariées ou non

Comparaison d’un pourcentage observé à un pourcentage théorique

Position du problème • Une variété de souris présente des cancers spontanés avec un taux constant parfaitement connu. Soit P=20%. • On se demande si une substance donnée modifie ce taux. • Expérience : échantillon de 100 souris à partir de Po observé on dit que la substance est active ou non. • Impossible de répondre avec exactitude à la question • Force est donc de répondre avec un certain risque d’erreur α

p p p p p

• H 0 ( hypothèse nulle) ou hypothèse à tester : La substance n’est pas active • Si α = 5%, σ= √ p. q/n = √ 0, 2. 0, 8 /100 • Intervalle de confiance de Po : 12%-28% • Avec un risque d’erreur de 5%.

p p p p 12% p 20% 28%

• si Po est à l’intérieur de l’intervalle : l’écart entre de Po et 20 % est dû aux fluctuations de l’échantillonnage : H 0 n’est pas rejetée la substance n’est pas active.

• si Po est à l’extérieur de l’intervalle l’écart entre Po et 20% est significative : H 0 est rejetée la substance est active. • IPo- PI est significatif s’il égale ou dépasse 1. 96 σ =1. 96 √ p. q /n • Ou encore si IPo-PI/ √ p. q/n dépasse 1. 96

Les deux risques : • Un risque α de première espèce : rejeter H 0 alors qu’elle est exacte : déclarer active une substance qui ne l’est pas. • Un risque β de deuxième espèce ne pas rejeter H 0 alors qu’elle est fausse : écarter une substance en réalité active.

• H 0 ( hypothèse nulle) ou hypothèse à tester : La substance n’est pas active • Si α = 5%, σ= √ p. q/n = √ 0, 2. 0, 8 /100 • Intervalle de confiance de Po : 12%-28% • Avec un risque d’erreur de 5%.

Degré de signification • Si on observe 34 souris cancéreuses Po=34% • au risque α =5% ( Ԑα 5% = 1. 96) l’intervalle [12%, 28%] la différence IPo-PI est : significative • au risque α = 1% (Ԑα 5% = 2. 57) l’intervalle [10%, 30%] la différence IPo-PI est : significative

• On pourrait continuer dans cette voie jusqu’à un risque ou la différence soit non significative. • l’écart IP 0 -PI= 0. 14 et l’écart réduit Ԑ =3. 5 le risque correspondant, d’après la table est un peu inférieur à 1 pour mille. • Ce risque est appelé seuil de signification

Règle générale • La comparaison entre un pourcentage Po observé sur n cas et un pourcentage théorique p est basée sur l’écart réduit : • Ԑ=Ip 0 -p. I/ √ p. q/n • si Ԑ < Ԑα la différence n’est pas significative. • si Ԑ ≥ Ԑα la différence est significative et le risque correspondant à Ԑ, lu dans la table de l’écart réduit fixe le degré de signification.

Conditions d’application du test • Grand échantillon n ≥ 30 • n. p ≥ 5 et n. q ≥ 5

Comparaison de deux pourcentages observés

Test préliminaire • on dispose : deux échantillons : • n 1=100 individus 20 malades p 1=20% • n 2=400 individus 128 malades p 2=32% • Ces deux échantillons proviennent ils de la même population

• H 0 : les deux échantillons proviennent de la même population • La proportion p peut être estimée en tenant compte de l’ensemble des deux échantillons

• P=20+128/100+400 =29. 6% ( c’est l’estimation la plus précise possible de p) • Il s’agit donc finalement de savoir si les deux échantillons proviennent d’une même population ou la proportion de malade p=29. 6%

H 1 est acceptée dès que la différence Ip 1 -p 2 I égale ou dépasse 1. 96 fois l’écart type σ= √ p. q/n 1 +p. q/n 2 ou bien Ip 1 -p 2 I / σ ≥ 1. 96

Règle générale La comparaison entre deux pourcentages p 1 et p 2 observés sur n 1 et n 2 cas respectivement, est basé sur l’écart réduit : Ԑ= I p 1 -p 2 I/ √ p. q/n 1 + p. q/n 2 ou p et q désignent les proportions évaluées sur l’ensemble des deux échantillons • si Ԑ < Ԑα la différence n’est pas significative hb • si Ԑ ≥ Ԑα la différence est significative et le risque correspondant à Ԑ, lu dans la table de l’écart- réduit fixe le degré signification

Conditions d’application du test • n 1 ≥ 30 n 2 ≥ 30 • n. p ≥ 5 n. q ≥ 5 • n=n 1+n 2 • p= n 1. p 1 + n 2. p 2 / n 1+n 2 • q=1 -p

Séries appariées

Séries appariées Un essai destiné à comparer deux traitements A et B a porté sur 100 malades qui ont été leurs propre témoins Résultat avec nombre de malades A B 35 + 15 + + 45 total 100

• Pour comparer les deux traitements on compare les pourcentages de succès: • Pour A p. A =15+45/100= 60% • Pour B p. B =5+45/100 = 50% • Ԑ=1. 42 la différence non significative. • Méthode correcte si deux échantillons indépendants

Caractéristique d’un risque • Dans les séries appariées on utilise que les paires discordantes(- +) et (+ -)

• Pour comparer les pourcentages de réponses positives de deux séries appariées , on compte les nombres a et b des paires (-+) et (+-) et on examine si a diffère significativement de b en formant l’écart réduit : • Ԑ = I a-b. I / √ a+b

• si Ԑ < Ԑα les pourcentages ne différent pas significativement • si Ԑ ≥ Ԑα les pourcentages différent significativement et le risque correspondant à Ԑ, lu dans la table de l’écart réduit fixe le degré de signification. • La méthode n’est applicable que si a+b/2 ≥ 5

• Ԑ =I 5 -15 I/ √ 5+15= 2. 23 • La différence est significative entre A et B contrairement au résultat obtenu à tort par le première méthode

Comment aborder le problème de comparaison de deux pourcentages

Choix des hypothèses à tester 1. Choix des hypothèses 2. 3. 4. 5. 6. 7. Fixer α Conditions d’application Calcul test Décision Calcul du P Interprétation des résultats H 0: Pas de différence significative H 1: la différence est significative

Fixer un règle pour décider l’acceptation ou le rejet de H 0 • Fixer le α: – α=5% – α =1% – α = 10% 1. Choix des hypothèses 2. Fixer α 3. 4. 5. 6. 7. Conditions d’application Calcul test Décision Calcul du P Interprétation des résultats

Vérifier les conditions d’application Deux pourcentage : • Observé et théorique: n ≥ 30 n. p ≥ 5 et n. q ≥ 5 1. 2. Choix des hypothèses Fixer α 3. Conditions d’application 4. 5. 6. 7. Calcul test Décision Calcul du P Interprétation des résultats • Deux observés: n 1 et n 2 ≥ 30, n. p ≥ 5 et n. q ≥ 5, n 1+n 2, q=1 -p n=n 1+n 2 • Séries appariées : a+b/2 ≥ 5 p= n 1. p 1 + n 2. p 2 /

Calcul approprié du test Observé et théorique Ԑ=Ip 0 -p. I/ √ p. q/n Deux observés Ԑ= I p 1 -p 2 I/ √ p. q/n 1 + p. q/n 2 Séries appariées Ԑ = I a-b. I / √ a+b 1. 2. 3. Choix des hypothèses Fixer α Conditions d’application 4. Calcul test 5. 6. 7. Décision Calcul du P Interprétation des résultats

Notion de causalité et critères de causalité (Hill) 1. 2. 3. 4. Choix des hypothèses Fixer α Conditions d’application Calcul test 5. Décision 6. 7. Calcul du P Interprétation des résultats Décision après lecture de la table au risque α choisis Accepter ou rejeter H 0.

Calcul du degré de signification du test 1. 2. 3. 4. 5. Choix des hypothèses Fixer α Conditions d’application Calcul test Décision 6. Calcul du P 7. Interprétation des résultats Après lecture de la table au risque α choisis afin de fixer P

Interprétation des résultats: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Choix des hypothèses Fixer α Conditions d’application Calcul test Décision Calcul du P 7. Interprétation des résultats

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Choix des hypothèses à tester Fixer un règle pour décider l’acceptation ou le rejet de H 0 Vérifier les conditions d’application Calcul approprié Décision Calcul du degré de signification du test Interprétation des résultats

Merci Pour votre aimable attention