1 faire des maths 2 faire des maths

1/ faire des maths 2/ faire des maths 3/ regardez ce que ça donne… Thierry Dias – octobre 2005 1

La construction du nombre apprentissage et difficultés Thierry Dias – octobre 2005 2

Plan général 1. Diverses conceptions de l’apprentissage 2. Repères didactiques 3. Quelques obstacles 4. Évaluer les difficultés 3. Les situations d’apprentissage Thierry Dias – octobre 2005 3

Diverses conceptions de l'apprentissage Thierry Dias – octobre 2005 4

«tout sujet apprenant le nombre doit se poser naturellement les mêmes questions que ses inventeurs pour le comprendre» Thierry Dias – octobre 2005 5

L’apport du constructivisme On admet que la plupart des connaissances (savoirs et savoirs-faire) ne sont ni reçues du milieu par un organisme passif, ni-pré-programmées à la naissance de telle façon que le sujet se les appropriait nécessairement. Ces connaissances sont construites par le sujet dans le cours de son activité. Thierry Dias – octobre 2005 6

Piaget, Szeminska, 1941 équilibre sujet élément nouveau assimilation accommodation organisation équilibration milieu (d'apprentissage) Stades de développement = Stades d’apprentissages Thierry Dias – octobre 2005 7

Piaget, Szeminska, 1941 Trois opérations logiques élémentaires sont des prérequis à la construction du nombre : - la conservation - la sériation - l'inclusion Ceci permettant de définir les stades de développement connus : 1. le stade sensori-moteur (0 à 2 ans) 2. la période pré-opératoire (2 à 6 ou 7 ans) 3. le stade des opérations concrètes (6 ou 7 ans à 11 ou 12 ans) 4. le stade des opérations formelles (ou hypthético-déductif) Thierry Dias – octobre 2005 8

Piaget, Szeminska, 1941 Cette notion de stades d’apprentissages induit une conception « linéaire » de la construction de connaissances sur le nombre relative à l’âge des élèves. Le nombre est ainsi au service de la construction du réel (en le quantifiant, en le mesurant) donc dépendant de l'accumulation d'expériences du sujet. Thierry Dias – octobre 2005 9

Une autre approche : Gelman et Gallistel (années 80) La connaissance de la "comptine" numérique comme préalable. L’importance de l’activité de comptage / dénombrement. Cinq principes régissent le comptage. Thierry Dias – octobre 2005 10

Les cinq principes qui régissent le comptage (selon Gelman) 1. Principe de correspondance terme à terme : à chaque unité on doit faire correspondre un mot-nombre; Coordonner le geste à la récitation : un mot par geste, pas plus, pas moins un deux trois quatre cinq Thierry Dias – octobre 2005 11

Les cinq principes qui régissent le comptage (selon Gelman) 2. Principe de suite stable : les mots nombres doivent toujours être récités dans le même ordre; Mémoriser une suite de mots et la restituer de la même manière dans des contextes qui peuvent varier. 1 1 Thierry Dias – octobre 2005 12

Les cinq principes qui régissent le comptage (selon Gelman) 3. Principe cardinal : le dernier mot nombre prononcé réfère à l’ensemble; Accepter de conceptualiser contre une connaissance… donc de force, par répétition ou imitation La question du combien… 5 1 2 3 4 = ? 5 Thierry Dias – octobre 2005 13

Les cinq principes qui régissent le comptage (selon Gelman) 4. Principe d’indifférence de l’ordre : les unités peuvent être comptées dans n’importe quel ordre; L'ordre des objets à dénombrer n'a pas d'importance alors que les mots qui servent dans cette situation sont en ordre ! En revanche, l'organisation spatiale des objets dénombrés revêt une importance qui peut s'avérer fondamentale. Thierry Dias – octobre 2005 14

Les cinq principes qui régissent le comptage (selon Gelman) 5. Principe d ’abstraction : toutes sortes d ’éléments peuvent être rassemblés et comptés ensemble. 2 2 Thierry Dias – octobre 2005 15

La place du calcul dans la construction du nombre Deux thèses modernes concernant le calcul : Brissiaud : le calcul* comme accélérateur d’apprentissage du comptage, donc la nécessité de développer des compétences dès le plus jeune âge. Gelman et bien d’autres… : le comptage doit précéder les activités de calcul (en référence aux cinq principes). * attention, le calcul dont parle Brissiaud n’est pas l’algorithme de l’addition par sur-comptage, mais plutôt la perception d’une quantité par la somme de ses parties (voir les constellations, les livres à compter…) Thierry Dias – octobre 2005 16

Les apports de la recherche récente (neurosciences) Des capacités numériques sont repérables chez le nourrisson dès l'âge de 6 mois : discrimination perceptive, addition et soustraction de petites quantités. Des capacités que le petit d'homme partage avec ses semblables : singes, dauphins, oiseaux… pas de quoi pavoiser ! Les régions cérébrales concernées par le calcul et la manipulation des quantités ne sont pas toujours les mêmes (le diagnostique de la dyscalculie s'en trouve compliqué). Rôle prépondérant du langage comme désignation dans la construction du principe de cardinalité. Thierry Dias – octobre 2005 17

Repères didactiques Thierry Dias – octobre 2005 18

Une solution au dilemme : Le nombre outil et la problématisation… apprendre en. . . Thierry Dias – octobre 2005 19

apprendre en résolvant des problèmes Les connaissances 1 du sujet se construisent à travers des actions finalisées 2 c'est à dire permettant de résoudre un problème, de répondre à une question dans une situation qui a du sens pour le sujet dès le départ ou dont le sens apparaît très vite au cours de la résolution. 1 : savoir, savoir-faire, conceptions et représentations 2 : véritables activités de recherche et pas seulement de manipulation Thierry Dias – octobre 2005 20

L’escalier ci-dessous est construit avec 15 pavés et il a cinq marches. 1 Quel nombre de marches aurai-je à monter si l’escalier était construit avec 120 pavés ? 2 Parmi les nombres de 0 à 999, combien de nombres contiennent le chiffre 5 ? Thierry Dias – octobre 2005 21

apprendre en remettant en cause des connaissances antérieures: Les connaissances ne s'entassent pas, ne s'accumulent pas. Elles ne se construisent pas de façon linéaire et continue. Leur élaboration est soumise à des ruptures. "On placera les élèves dans des situations qui permettent de provoquer un conflit. " Thierry Dias – octobre 2005 22

La monnaie de la pièce. . . Trois jeunes gens prennent leur petit déjeuner dans un bar. Ils doivent payer 30 euros et donnent chacun une pièce de 10 euros. La patronne, charmante, décide de leur faire une réduction de 5 euros. Le serveur prend donc 5 pièces de 1 euro, mais, ne pouvant les partager en trois il décide subrepticement de glisser 2 euros dans sa poche et donne généreusement une pièce de 1 euro à chacun des trois jeunes gens. Finalement chacun a payé (10 - 1) euros, donc 9 euros. En ajoutant les 2 euros du serveur, on obtient ((9 x 3) + 2) euros soit 29 euros. MAIS nous avions 30 euros. Où est donc passé le dernier euro? Thierry Dias – octobre 2005 23

apprendre en dépassant ses erreurs Identifier ses erreurs et les analyser pouvoir les corriger se fait grâce à la médiation de l’autre. L'erreur est « normale » ; c'est une forme de connaissance. Elle est constitutive de l’apprentissage. Thierry Dias – octobre 2005 24

apprendre en faisant fonctionner, en répétant Apprendre ne se fait pas en une seule fois (ou très rarement). Apprendre c'est aussi recommencer, revenir en arrière, donc répéter, mais en comprenant ce que l'on fait et pourquoi on le fait. "La répétition mécanique d'actes dépourvus d'intentionnalité ou de sens ne saurait être génératrice d'acquisition d'un savoir-faire réellement maîtrisé (et cela en particulier pour les enfants en difficulté). " Thierry Dias – octobre 2005 25

apprendre en communiquant avec d'autres Apprendre ne se fait pas tout seul, mais dans un contexte d'interactions sociales. D'où l'importance du travail en groupe dans les classes. "Les seules actions que les enfants imitent sont celles qu'ils peuvent déjà faire parfaitement bien. " J. Bruner Le contexte de ce dispositif de travail renforce le rôle essentiel de médiation de l'adulte. Thierry Dias – octobre 2005 26

apprendre en utilisant Dans la programmation des apprentissages visant la construction du nombre, la fonction outil est à privilégier sur la fonction objet. La formalisation du signe et la mise en évidence du concept n’a de sens qu ’après sa mise en œuvre répétée dans des contextes différents. Thierry Dias – octobre 2005 27

Quelques obstacles Thierry Dias – octobre 2005 28

quelques obstacles… numération et compréhension des bases problèmes de chiffres : transcodage difficultés de la numération de position la question du zéro documentaire : l'empire des nombres Thierry Dias – octobre 2005 29

la question de la dyscalculie DSM-IV : trouble du calcul 1. retard significatif dans les tests standardisés de mathématiques par rapport à l’âge développemental; 2. interférence avec la réussite scolaire; 3. ne s’explique pas par un déficit sensoriel 4. Le problème peut donc coexister avec d’autres affections. CIM 10: trouble spécifique de l’acquisition de l'arithmétique Altération spécifique des performances en arithmétique, non imputable exclusivement à un retard mental global ou à une scolarisation inadéquate. L'altération concerne la maîtrise des éléments de base du calcul : addition, soustraction, multiplication et division. Thierry Dias – octobre 2005 30

Quelques stratégies pour lutter contre les symptômes de la dyscalculie Outils d'apprentissage pour l'élève üPermettre l'utilisation des doigts üPermettre la multiplication des écrits de recherche üPermettre l'utilisation de l'ordinateur pour l'entraînement et l'étude üSuggérer l'utilisation de papiers spéciaux : millimétré, quadrillé… Démarche et méthode de travail üTraduire en dessin les mots d'un énoncé problématique üFavoriser la manipulation pour expérimenter üUtiliser des procédés mnémotechniques Stratégies d'enseignement üUtiliser les schémas et les graphiques pour l'explication üFavoriser les aides possibles par des pairs üDiversifier les techniques de communication écrite (couleurs…) üUtiliser le rythme et la musique pour enseigner certaines notions mathématiques Thierry Dias – octobre 2005 31

Évaluer les difficultés Thierry Dias – octobre 2005 32

repérer les compétences et les difficultés de chacun. QUOI ? · connaissance de la comptine - jusqu'où? - stabilité? - erreurs? (omissions, régularités récurrentes, . . . ) · recours spontané au dénombrement · maîtrise du dénombrement - synchronisation entre geste et récitation de la comptine - organisation - réponse par le dernier mot énoncé · constitution d'une collection de cardinal donné · lecture des nombres · successeur d'un nombre (si on ajoute un élément à une collection dénombrée, le nombre d'éléments est le nombre suivant dans la comptine). Thierry Dias – octobre 2005 33

repérer les compétences et les difficultés de chacun COMMENT ? • observations au cours de différentes activités • entretiens individuels • observations en contexte collectif Thierry Dias – octobre 2005 34

Que faire des données observées : Organiser la re-médiation Thierry Dias – octobre 2005 35

Évaluation préalable détour Activités conjointes complémentaires de re-médiation Situations d’apprentissages Activités conjointes de structuration Thierry Dias – octobre 2005 Thierry Dias, Montpellier, novembre 2001 36

Les principes du détour • Faire un détour prend du temps. • Le détour est un autre chemin. • Le détour est accompagné. • Le détour ramène sur le chemin principal. Évaluation préalable détour activités de re-médiation Situations d’apprentissages Thierry Dias – octobre 2005 Thierry Dias, Montpellier, novembre 2001 37

repérer les compétences et les difficultés de chacun Connaissance de la comptine orale Comptine stable jusqu'à : ………………………………… ……. . Erreurs repérées : …………………………………. . Connaissance de la comptine écrite Erreurs repérées : …………………………………. . Thierry Dias – octobre 2005 38

repérer les compétences et les difficultés de chacun Recours au dénombrement Dans la situation problème proposée (aller cher des crayons pour un nombre d'élève donné) repérer si : ®L'élève a recours au dénombrement ®L'élève apporte en un voyage un lot de crayons approximatif ®L'élève apporte en un voyage tous les crayons ®L'élève tente d'organiser les collections Thierry Dias – octobre 2005 39

repérer les compétences et les difficultés de chacun Maîtrise du dénombrement 1. "Combien de ? " (collection d'objets réels dont le cardinal est choisit dans le domaine de connaissance de l'élève). ®L'élève à recours au dénombrement ®synchronisation des gestes et de la récitation de la comptine ®organisation du dénombrement ®maîtrise du principe de cardinalité ®L'élève a recours à une estimation ®L'élève ne réagit pas Thierry Dias – octobre 2005 40

repérer les compétences et les difficultés de chacun Maîtrise du dénombrement 2. "Combien de ? " (collection d'objets représentés, stylo ou crayon disponible) ®L'élève à recours au dénombrement >synchronisation des gestes et de la récitation de la comptine >organisation du dénombrement (par ajout de dessin) >maîtrise du principe de cardinalité ®L'élève a recours à une estimation ®L'élève ne réagit pas Thierry Dias – octobre 2005 41

repérer les compétences et les difficultés de chacun Maîtrise du dénombrement 3. +n ; -n Lors de l'ajout puis du retrait de n éléments à la collection : ®L'élève à recours au recomptage complet de la collection ®L'élève utilise un procédé de sur-comptage ®L'élève effectue une opération mentale Thierry Dias – octobre 2005 42

repérer les compétences et les difficultés de chacun Constitution d'une collection de cardinal donné On demande à l'élève de prélever ("donne moi") n objets réels pris dans une collection plus grande. ®L'élève s'arrête au terme du dénombrement des n objets en déclarant qu'il a terminé ®L'élève dénombre tous les objets jusqu'à épuisement des objets (ou de ses compétences) ®L'élève s'aperçoit qu'il a oublié ce qu'on lui avait demandé ®L'élève donne un tas sans dénombrer Thierry Dias – octobre 2005 43

1. 1 repérer les compétences et les difficultés de chacun Maîtrise de l'aspect ordinal On utilise un jeu de cartes-nombres et une piste incomplète. ®L'élève sait replacer les cartes dans l'ordre croissant ®L'élève sait placer les cartes dans l'ordre décroissant ®L'élève sait compléter la bande numérique à trous Thierry Dias – octobre 2005 44

1. 1 repérer les compétences et les difficultés de chacun Comparaison de collections À faire avec des objets réels puis avec des objets représentés. 1. Comparaison de collections très différentes ®L'élève donne une réponse immédiate ®L'élève dénombre chaque collection ®L'élève utilise la correspondance terme à terme 2. Comparaison de collections peu différentes ®L'élève donne une réponse immédiate ®L'élève dénombre chaque collection ®L'élève utilise la correspondance terme à terme Thierry Dias – octobre 2005 45

Les situations d'apprentissage Thierry Dias – octobre 2005 46

On peut retenir trois caractéristiques pour définir les situations d'apprentissage : Les situations fonctionnelles Les situations rituelles Les situations spécifiques Les situations « construites » Thierry Dias – octobre 2005 47

1. 2 développer l'envie d'utiliser les nombres. · situations rituelles : - appel, cantine - calendriers · situations occasionnelles : - répartition dans les ateliers - organisation pour aller cher du matériel - distributions diverses - gestion de scores - utilisation de recettes · situations spécifiques: - comptines avec des nombres - jeux de doigts - jeux de dés (lecture des dés et déplacement sur une piste dans un jeu de l'oie simplifié) - jeux de cartes (Bataille, Pouilleux avec des cartes numérotées de 1 à 6 ou 8) Thierry Dias – octobre 2005 48

Les situations construites mise en œuvre: Cinq phases: - découverte - reconnaissance d'une procédure experte - communication orale - communication écrite - réinvestissement Thierry Dias – octobre 2005 49

objectifs: - comprendre que le dénombrement est un moyen expert pour construire une collection équipotente à une collection donnée, hors de la présence de celleci, - élaborer un langage pour exprimer les anticipations d'actions et les validations des solutions. ("je vais compter pour voir combien il m'en faut" "ça ne va pas, il en manque". . . ). Thierry Dias – octobre 2005 50

procédures: - procédures relatives au dénombrement, relatives à la mémorisation du nombre, relatives à l'écriture du nombre ou relatives à la validation. variables didactiques: - nature des informations et du matériel. , nombre d'essais autorisés, champ numérique, communication. Thierry Dias – octobre 2005 51

Le coloredo Il s’agit d ’utiliser un jeu du commerce constitué de plaques en plastiques, de jetons de 4 couleurs pouvant s ’encastrer sur les plaques et de modèles de dessin se glissant sous les plaques. Chaque binôme reçoit une plaque, un dessin. Il faut regarder le dessin avant d ’agir. Comme les jetons ne sont pas à la disposition immédiate des joueurs, il faut se déplacer. Un seul voyage est toléré. La commande est vérifiée au retour par la mise en place des jetons. Thierry Dias – octobre 2005 52

Le coloredo Il s’agit d ’utiliser un jeu du commerce constitué de plaques en plastiques, de jetons de 4 couleurs pouvant s ’encastrer sur les plaques et de modèles de dessin se glissant sous les plaques. Phase 1 : aller chez le magasinier afin de ramener les jetons nécessaires. Les élèves sont en binômes de joueurs, on garde deux binômes pour jouer le rôle des magasiniers. Phase 2 : aller chez le magasinier afin de ramener les jetons nécessaires en un seul voyage. Phase 3 : remplir un bon de commande puis aller chez le magasinier afin de ramener les jetons nécessaires en un seul voyage. BON de commande …. . Jetons rouges …. . Jetons bleus …. . Jetons jaunes …. . Jetons verts signature : Thierry Dias – octobre 2005 53

Le coloredo Cette situation représente une situation fondamentale d ’utilisation des nombres. En effet, l ’élève qui s ’y engage se trouve dans l ’obligation d ’utiliser les nombres et de prendre conscience du rôle de ces nombres, de ce à quoi ils servent. La règle lui est tout à fait compréhensible : apporter le nombre nécessaire et suffisant d ’objets en une seule fois. Ainsi, l ’élève peut se lancer dans l ’action quelles que soient ses connaissances sur le nombre. Cette situation permet à l ’élève de : - contrôler son action et recevoir le contrôle des autres, - débattre avec eux de la qualité de son résultat; - de recommencer de lui-même autant de fois qu ’il le souhaite; - de décider seul ce qu ’il choisit d ’entreprendre. Cette situation permet enfin au maître d ’organiser de très nombreux problèmes de difficultés progressives, elle est a-didactique car elle valide les propositions des élèves sans recours à la parole de l’enseignant. Thierry Dias – octobre 2005 54

Bibliographie autour de la construction du nombre - Comptes pour petits et grands (Baruk, Magnard, guide pratique) - L'enfant et le nombre (M. Fayol - Delachaux et Niestlé - 1990) - Partager, c'est compter (O. Frydman - La Recherche - n° 215 - 1989) - Le développement du concept de nombre chez le jeune enfant (M-P Chichignoud - Revue Grand N n° 36, IREM de Grenoble) - Comment les enfants apprennent à calculer (R. Brissiaud - Retz) - Calcul ou comptage ? Calcul et comptage (R. Charnay - Revue Grand N n° 50) - Apprentissages numériques en grande section (ERMEL - Hatier 1990) - Apprentissage numérique au CP (ERMEL - Hatier 1991) - Compte sur moi (Magnard 2001, CP et CE 1) - Activités de partage en maternelle (Revue Grand N n° 33) - "Jeux numériques et élaboration de règles à l'école maternelle" et "Jeu du loup et de l'escargot" (Revue Grand N n° 46) - Deux oiseaux dans chaque nid (GS - Revue Grand N n° 48) - Du rite de l'appel. . . à des activités mathématiques en grande section d'école maternelle (Revue Grand N n° 51) - Livres à compter (Revue Grand N n° 52) - La préparation des ateliers "jeux de société" en grande section (revue Grand n° 55) Thierry Dias – octobre 2005 55