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Pourcentages – Pourcentages instantanés – Pourcentage d’évolution – Approximation en pourcentage La notion de taux moyen n’est pas au programme 2

Pourcentages instantanés: quelles difficultés pour nos élèves? Les élèves peuvent rencontrer des problèmes de vocabulaire, de notations, de compréhension et d’interprétation d’énoncés: • Lorsque l’on parle de pourcentage instantané, il s’agit de part, proportion, fréquence, rapport d’une partie au tout qui mesure la part relative à une quantité. Plusieurs expressions sont proposées afin que l’élève fasse le lien avec ce qu’il peut entendre dans d’autres disciplines. • Le langage courant et les média utilisent le mot «pourcentage» avec des sens divers, ce qui entraîne bien souvent confusions et incompréhensions chez les élèves comme chez beaucoup d’adultes. 3

• En soi, le pourcentage n’est rien d’autre qu’une façon d’écrire les nombres décimaux: z / 100 s’écrit z %. On l’utilise couramment pour écrire les fréquences et les taux d’évolution. • Il est important de noter que le taux est un nombre. On a donc diverses écritures du même nombre : t =5 / 100 = 0, 05 qui se notera aussi 5 %. • « 82 % de 1 200 » se traduit directement par 0, 82 × 1 200. Le coefficient multiplicatif, dans le cas d’un pourcentage d’évolution, sera donc (1 + t) et non pas 1+ t /100 » . 4

« Dans tout le programme, mais peut-être plus encore dans cette partie, on pourra s’efforcer de développer un regard critique de l’élève sur les énoncés qui lui sont proposés. » (document d’accompagnement) Par exemple, « On ne fait pas d’opérations sur les pourcentages seuls » , mais que signifie alors : « pourcentage de pourcentages » ou encore « somme de pourcentages » ? Il ne s’agit pas d’apprendre pour apprendre, mais de comprendre. 5

Pourcentage de pourcentage (Exemple) • La pension civile des fonctionnaires peut bénéficier d’une surcote de 0, 75% par trimestre travaillé, au delà du nombre de trimestres permettant d’obtenir la pension maximale S’ (75% de son dernier traitement S) et de 60 ans • 4 trimestres supplémentaires apportent 3% de plus ! Mais la pension ne sera pas de 78% de S • La surcote ne représente pas 3% du dernier salaire mais 3% du montant maximal de la pension soit : 0, 03 S’ = 0, 03 (0, 75 S ) = (0, 03 x 0, 75)S = 0, 0225 S soit 2, 25% de S Dans une telle situation on parle abusivement de pourcentage, il ne s’agit en fait que de l’associativité de la multiplication. Savoir que, si p est la proportion de A dans E, et p’ celle de E dans F, alors la proportion de A dans F est pp’. 6

Somme de pourcentages • Dans l’exemple précédent on ne peut ajouter 75% à 3%, ces deux pourcentages s’appliquent à des grandeurs différentes ! • Si p est la proportion d’individus de A dans E et si p’ est la proportion d’individus de B dans E et si A et B sont disjoints alors la proportion d’individus de AUB dans E est p+p’ 7

Structure de l’emploi en France, en milliers de personnes (source : Géographie de 1ère Bordas année 1998, INSEE, Enquête emploi) Tableau d’effectifs à deux caractères Secteur Agriculture Emploi Industrie Services Total Non-salariés 273 806 4650 608 13904 1291 18827 2705 Total 1079 5258 15195 21532 Salariés 8

Tableau des fréquences par rapport à l’effectif total Secteur Agriculture Industrie Emploi Services Total Salariés 1, 3% 21, 6% 64, 6% 87, 5% non-salariés 3, 7% 2, 8% 6, 0% 12, 5% Total 5, 0% 24, 4% 70, 6% 100% • Les fréquences marginales sont alors les sommes des fréquences conjointes par ligne ou par colonne (ces pourcentages s’appliquent a la même quantité : l’effectif total) • Ce tableau est un tableau de contingence, les deux modalités étudiées permettent de réaliser une partition de la population 9

Un tableau à deux caractères qui ne réalise pas de partition de la population n’est pas un tableau de contingence Exemple : On s’intéresse aux communes départements d’une région B Département 1 Département 2 Département 3 Département 4 École de musique 15 57 53 55 Musée 14 39 18 20 Bibliothèque 73 111 88 101 A (Une commune peut à la fois avoir une école de musique, sa bibliothèque ainsi que son musée) Les différentes modalités de la variable A ne permettent pas de réaliser une partition des communes même si les modalités de la variable B permettent de le faire 10

Évolutions successives • Deux augmentations successives de x % ne sont pas équivalentes à une hausse de 2 x % • De même une augmentation de x % n’est pas compensée par une réduction de x % • Il faut revenir aux coefficients multiplicateurs • Une augmentation suivie d’une réduction du même taux ou une réduction suivie d’une augmentation du même taux est toujours une réduction 11

Approximations dans le cas de faibles pourcentages • Pour des valeurs de t proche de 0 on pourra approximer deux augmentations successives d’un même taux t par un taux global de 2 t. • Cette étude pourra être exploitée dans le cadre de l’utilisation du nombre dérivé. • Voir à ce sujet fiche 48 d’euler (http: //euler. acversailles. fr) 12

Interprétation des proportions et comparaison Attention aux conclusions hâtives Pourcentage de reçus aux concours des grandes écoles en 1950 et 1993 : Polytechnique , HEC, ENS, et ENA. • Pour les deux années observées la population concernée (les reçus) représente 0, 12% d’une classe d’âge de la population française. • Parmi les reçus on distingue ceux originaires d’un milieu populaire et ceux originaires d’un milieu intellectuel (ceux dont le père a un niveau d’étude supérieur ou égal au baccalauréat ) 13

Etude de deux tableaux Tableau des pourcentages de reçus suivant les catégories sociales et tableau de la structure de la société française Reçus 1950 1993 Population Française Milieu populaire 25% 9% Milieu populaire 80% 60% 5% 20% 15% 20% Milieu intellectuel 60% 80% Milieu intellectuel Autres 15% 11% Autres 1950 1993 Lecture des données En 1950, 25% des reçus sont issus du milieu populaire et 60% du milieu intellectuel En 1950, le milieu populaire représente 80% de la population française 14 et le milieu intellectuel en représente 5%.

Le premier tableau montre une diminution très importante des reçus en pourcentage entre les deux années dans les catégories populaires Intéressons nous à la proportion de reçus dans un milieu donné à une date donnée Quelle est la population de référence ? C’est la population d’une classe d’âge française 15

Soit P le nombre d’individus de la classe d’âge française concernée en 1950 • Les reçus de cette classe d’âge constituent 0, 12% de P soit 0, 0012 P • Parmi les reçus à cette date 25% sont issus du milieu populaire donc représentent 0, 25(0, 0012)P, soit 0, 0003 P individus ou encore une proportion égale à 0, 25 0, 0012 de P donc 0, 03% de la classe d’âge concernée. • Le milieu populaire en 1950 représente 80% de P, soit 0, 8 P. La proportion de reçus dans le milieu populaire en 1950 est donc de 0, 0003 P : 0, 8 P soit 0, 000375 donc 0, 0375% • Cet exemple sera étudié à l’aide de fréquence conditionnelle soit f. A(R) où R représente les reçus et A la classe d’âge de milieu populaire 16

Quelles sont les proportions de reçus à l’intérieur de chaque catégorie sociale ? 1950 1993 Milieu populaire 0, 0375% 0, 018% Milieu intellectuel 1, 44% 0, 48% 17

Remarques • La situation des jeunes de milieu intellectuel s’est plus dégradée que celle des milieux populaires • Il est deux fois plus difficile de faire partie des reçus dans le milieu populaire et trois fois plus difficile dans le milieu intellectuel • La variable cachée est l’évolution considérable de la société française dans ces trois catégories • Le raisonnement pourrait être affiné en s’intéressant à des sous-catégories dans la population concernée 18

Exemples de ressources: Dans le domaine socio-économique, il existe sur Educnet des TP conçus pour les professeurs de SES en liaison avec l’INSEE très utiles pour la lecture de tableaux www. educnet. education. fr/insee/emploi/pcsaccueil. htm 19

Site : http: //euler. ac-versailles. fr • 245 : tableau d’effectifs et calcul de pourcentage (apprentissage ) • De 874 à 876 : part de sous population en pourcentage (apprentissage ) • De 877 à 888 pourcentages d’évolution , évolutions successives (Apprentissage) • De 892 à 903 ( Générateur d’exercices) • De 1157à 1164 : effectifs et part en pourcentage de réunion et intersection de sous population (apprentissage ) • De 889 à 891 : ( générateur d’exercice) • De 1218 à 12315 : (Générateur d’exercices) 20