Clase de Repaso Esttica Curso de Esttica y

Clase de Repaso Estática Curso de Estática y Resistencia de Materiales Ing. Gabriel Pujol Para las carreas de Ingeniería Industrial de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

Fuerzas Distribuidas Existen situaciones en las que un cuerpo puede estar sometido a una carga que se encuentra distribuida por toda su superficie. Por ejemplo, ejemplo la presión del agua dentro de un tanque o en una presa La presión ejercida sobre cada punto de la superficie indica la intensidad de la carga. Ésta se mide por pascales Pa [o N/m 2] Así, el empuje hidrostático sobre una superficie plana será: …donde: Veamos algunos conceptos preliminares presa presión

Fuerzas Distribuidas Existen situaciones en las que un cuerpo puede estar sometido a una carga que se encuentra distribuida por toda su superficie. Por ejemplo, ejemplo la presión del agua dentro de un tanque o en una presa La presión ejercida sobre cada punto de la superficie indica la intensidad de la carga. Ésta se mide por pascales Pa [o N/m 2] Así, el empuje hidrostático sobre una superficie plana será: …donde: …y sobre una compuerta sumergida es: …además, una carga distribuidatrapezoidal podemos considerarla como la sumaalgunos de una Veamos carga distribuida conceptos rectangularpreliminares más una triangular: triangular presa presión

Cargas distribuidas actuando sobre barras oblicuas Consideremos una barra AB sobre la que actúa una carga de intensidad p, distribuida sobre la proyección horizontal de la barra. Llamemos p 0 a la intensidad de la carga vertical equivalente, distribuida por unidad de longitud de la pieza, cuya longitud es s. La resultante de la primera será. . . p p l l R R B R’ p 0 A a a R’’ p’’ s p’ a B …y además: s A Sea ahora la misma carga p distribuida sobre la proyección horizontal de la longitud de una barra AB, AB y nos interesa conocer la intensidad de la carga distribuida p' sobre la longitud s de aquélla, que actúa normalmente a la misma, y cuya resultante es la proyección normal a AB de la resultante R de la carga p.

Las cargas concentradas y esfuerzos característicos actuando sobre barras oblicuas reciben el mismo tratamiento Llamemos R a la intensidad de una carga vertical actuando sobre una barra oblicua de longitud es s. Sus componentes en la dirección de la barra y su normal serán R’ y R”. . . R” l …donde R’ generará esfuerzos de corte (Q) y R” esfuerzos axiles (N)… (N) R’ a R’’ p’ a A s a B Gd z Gi y Q N PA RT EI ZQ UI ER DA R + p PA RT ED ER EC HA …al proyectarla en las direcciones de la terna local se tiene… Ri Rd N = Ri. sen a y Q = Ri. cos a N …por su parte, los esfuerzos característicos en una sección de una barra oblicua, si suponemos por ejemplo una resultante vertical (Ri) de las acciones y reacciones de la parte izquierda que sirven de equilibrante de la parte derecha del corte…

En el plano, plano los Grados de Libertad (GL) de una chapa son 3 (capacidad de desplazarse horizontalmente “x”, capacidad de desplazarse verticalmente “y” y capacidad de rotar en el plano “z”): desplazamientos en profundidad Z horizontales X x z Por lo que plantear su equilibrio implica que la sumatoria de fuerzas horizontales, desplazamientos verticales Y fuerzas verticales y rotaciones en el plano “z” (respecto de un punto arbitrario “A” y sean nulas Mientras que en el espacio, espacio los Grados de Libertad (GL) de una chapa son 6 (a los anteriores hay que agregarles capacidad de desplazarse en profundidad “z”, capacidad de rotar en el plano “x” y capacidad de rotar en el plano “y”): rotaciones X 3 Grados de Libertad en el plano rotaciones Y rotaciones Z Por lo que al plantear su equilibrio habrá que agregar que la sumatoria de fuerzas en profundidad, rotaciones en el plano “y” y rotaciones en el plano “x” (respecto de puntos arbitrarios “B” y “C” sean nulas Veamos el concepto de Grados de Libertad: Libertad

Un sistema será isostático si posee tanto vínculos como Grados de Libertad existan; será hipostático si posee menos vínculos que los Grados de Libertad existentes y será hiperestáticos si son mayores. • • • (isostático) (hiperestáticos) GL = n° vínculos GL > n° vínculos GL < n° vínculos desplazamientos en profundidad Z horizontales X x z desplazamientos verticales Y Los vínculos pueden ser externos (cuando vinculan el y sistema al resto del universo) o internos cuando vinculan chapas del sistema entre sí) vínculo interno vínculo externo vínculo interno Veamos los distintos tipos de Sistemas: Sistemas rotaciones X 3 Grados de Libertad en el plano rotaciones Y vínculo externo rotaciones Z

Vinculo de Primera Especie chapa/barra vínculo (apoyo móvil) Vinculo de Segunda Especie RV RH (empotramiento) vínculo RV permite desplazamientos verticales reacciones en el vínculo : RV y RH chapa/barra vínculo RV desplazamientos verticales restringe desplazamientos rotaciones horizontales ME RH restringe desplazamientos rotaciones horizontales reacciones en el vínculo: RV chapa/barra (apoyo fijo) Vinculo de Tercera Especie permite restringe desplazamientos rotaciones horizontales desplazamientos verticales No permite desplazamientos ni rotaciones reacciones en el vínculo : RV , RH y ME Veamos los distintos tipos de vínculos: vínculos Vínculos Externos:

3 Grados de Libertad (en el plano) Vinculo de Primera Especie (barra horizontal) 3 Grados de Libertad (en el plano) RH RH permite restringe desplazamientos verticales desplazamientos rotaciones horizontales reacciones en el vínculo : RH Veamos los distintos tipos de vínculos: vínculos Vínculos Interiores:

Vinculo de Segunda Especie (articulación) 3 Grados de Libertad (en el plano) RH RV RV permite restringe desplazamientos rotaciones horizontales desplazamientos verticales reacciones en el vínculo : RV y RH Veamos los distintos tipos de vínculos: vínculos Vínculos Interiores:

Vinculo de Segunda Especie (doble barra horizontal) ME 3 Grados de Libertad (en el plano) RH RH permite restringe desplazamientos verticales desplazamientos rotaciones horizontales reacciones en el vínculo : ME y RH Veamos los distintos tipos de vínculos: vínculos Vínculos Interiores:

1. Estudio de la isostaticidad del sistema. Para que un sistema sea isostático deberá cumplirse que: Los grados de libertad (GL), en el plano, son 3 por cada chapa/barra que conforma el sistema: En cuanto a los vínculos, se deben considerar tanto los externos (VE) como los internos (VI) Vínculos externos (VE): (VE) Vínculos totales: Vínculos internos (VI): (VI) barra 1 O 12 vínculo interno 2 barra 3 A vínculo externo rra a b vínculo interno O 23 Estudiemos ahora los sistemas Isostáticos: Isostáticos vínculo externo B

barra 3 1. Estudio de la isostaticidad del sistema. Además los vínculos externos deben estar distribuidos por el sistema de chapas/barra de forma tal que no superen los 3 vínculos por chapa debiendo existir al menos un vínculo externo en las chapas extremas de la cadena cinemática: Barra 1: 2 0 vínculos (≤ 3) vínculo interno 1 3 vínculos (≤ 3) Barra 2: Barra 3: 3 2 vínculos (≤ 3) Total: O 23 Total 5 vínculos a 2 r r A a barra 1 O 12 b vínculo externo vínculo interno B barra 3 Obsérvese que el siguiente sistema que pose la misma cantidad de vínculos externos no O 23 es isostático: isostático 2 Barra 1: 1 4 vínculos (> 3) 3 Barra 2: 2 0 vínculos (≤ 3) a r O r 23 A a b O 12 barra 1 Barra 3: 3 1 vínculo (≤ 3) Total: Total 5 vínculos B Barra 1: 1 resulta hiperestática Barra 2 y Barra 3: 3 resultan hipostáticas Estudiemos ahora los sistemas Isostáticos: Isostáticos

1. Estudio de la isostaticidad del sistema. Además los vínculos externos NO deben ser aparentes: Los vínculos permiten rotaciones P Los vínculos son aparentes en torno a P 3 Grados de Libertad Las verticales que pasan por los vínculos externos de en el plano primera especie se cortan en un punto P Los vínculos permiten desplazamientos horizontales 3 Grados de Libertad en el plano Los vínculos son aparentes Las verticales que pasan por los vínculos externos de primera especie se cortan en el punto impropio ( ) Estudiemos ahora los sistemas Isostáticos: Isostáticos

1. Estudio de la isostaticidad del sistema. Además los vínculos externos NO deben ser aparentes: Los vínculos permiten rotaciones en torno a P La vertical que pasa por el vínculos externo de primera especie pasa por el vínculo externo de segunda especie (punto P) P 3 Grados de Libertad en el plano Los vínculos son aparentes En el caso de un sistema de chapas articuladas se verifica lo mismo dado que la articulación es un vínculo interno de segunda especie que restringe dos grados de libertad al punto O perteneciente a ambas chapas. Estudiemos ahora los sistemas Isostáticos: Isostáticos O 3 Grados de Libertad (en el plano)

1. Estudio de la isostaticidad del sistema. Además los vínculos externos NO deben ser aparentes: Los vínculos permiten rotaciones en torno a P P 3 Grados de Libertad en el plano La vertical que pasa por el vínculos externo de primera especie pasa por el vínculo externo de segunda especie (punto P) Los vínculos son aparentes En el caso de un sistema de chapas articuladas se verifica lo mismo dado que la articulación es un vínculo interno de segunda especie que restringe dos grados de libertad al punto O perteneciente a ambas chapas. Los vínculos son aparentes Estudiemos ahora los sistemas Isostáticos: Isostáticos Los vínculos permiten rotaciones en torno a O O RH RV 3 Grados de Libertad (en el plano)

En nuestro ejemplo no hay vínculos externos de primera especie: por lo tanto barra 1 O 12 vínculo interno 2 barra 3 A vínculo externo rra a b vínculo interno O 23 vínculo externo B NO hay vínculos aparentes Estudiemos ahora los sistemas Isostáticos: Isostáticos

Ternas GLOBALES y ternas LOCALES 1. GLOBAL: para referir a ella la geometría de la estructura y determinar la resultante (R) y las reacciones de vínculo externas (RVE) 2. LOCALES: para referir a ella los esfuerzos característicos (Q, N, M). Habrá una por cada barra del sistema y cumplirán con la siguiente convención. Adoptaremos, para nuestro curso, TERNA IZQUIERDA tanto GLOBAL como LOCALES El gráfico del Diagrama de Momentos con TERNA IZQUIERDA (local) acompaña al gráfico de Deformaciones de la Estructura Veamos algunos Conceptos Preliminares Terna izquierda Terna derecha O y z M+ M+ y O x

Veamos el siguiente ejemplo: Primer paso: planteamos el diagrama de cuerpo libre reemplazando los vínculos externos por sus reacciones Segundo paso: reemplazamos la carga distribuida por su resultante 2, 5 t 1 t 16 t 4 t/m z 12 t + B VB y HA A 2, 6 m VA 1, 5 m 1, 7 m 1, 3 m 3 m Ecuaciones de equilibrio de la estática Tercer paso: calculamos las reacciones de vínculo Repasemos ahora el trazado de Diagramas de Características: Características

Veamos el siguiente ejemplo: Primer paso: planteamos el diagrama de cuerpo libre reemplazando los vínculos externos por sus reacciones Segundo paso: reemplazamos la carga distribuida por su resultante 2, 5 t 1 t 16 t HA 4 t/m + y 1 t 18, 05 t VA 2, 6 m z 12 t VB 1, 5 m 1, 7 m 1, 3 m 3 m 12, 45 t Ecuaciones de equilibrio de la estática Tercer paso: calculamos las reacciones de vínculo Cuarto paso: planteamos el diagrama de cuerpo libre equilibrado reemplazando las reacciones de vínculo calculadas con la orientación que corresponde y restituimos la carga distribuida Repasemos ahora el trazado de Diagramas de Características: Características

Quinto paso: determinamos los puntos críticos y las secciones conde calcularemos los esfuerzos 1 t característicos Sexto paso: calculamos los esfuerzos característicos en las secciones seleccionadas definiendo previamente la cara positiva de corte correspondiente Sección 12 z 2, 5 t z 16 t 4 t/m y 2 1 t +1 12 y 21 18, 05 t 2, 6 m 23 32 1, 7 m 3 34 43 4 45 1, 3 m + 54 3 m 5 12, 45 t

Quinto paso: determinamos los puntos críticos y las secciones conde calcularemos los esfuerzos 1 t característicos Sexto paso: calculamos los esfuerzos característicos en las secciones seleccionadas definiendo previamente la cara positiva de corte correspondiente Sección 12 Sección 21 z 2, 5 t z +1 12 y 16 t z 4 t/m y 2 1 t + 21 18, 05 t y 2, 6 m 23 32 1, 7 m 3 34 43 4 45 1, 3 m + 54 3 m 5 12, 45 t

Quinto paso: determinamos los puntos críticos y las secciones conde calcularemos los esfuerzos 1 t característicos Sexto paso: calculamos los esfuerzos característicos en las secciones seleccionadas definiendo previamente la cara positiva de corte correspondiente Sección 12 Sección 21 z 2, 5 t 16 t 4 t/m y 2 1 t 1 12 z z + + 23 21 18, 05 t y y 2, 6 m 32 1, 7 m 3 34 43 4 45 1, 3 m Sección 23 + 54 3 m 5 12, 45 t

Quinto paso: determinamos los puntos críticos y las secciones conde calcularemos los esfuerzos 1 t característicos Sexto paso: calculamos los esfuerzos característicos en las secciones seleccionadas definiendo previamente la cara positiva de corte correspondiente Sección 12 Sección 21 Sección 32 z 2, 5 t 1 12 16 t z y 2 1 t 21+ 23 18, 05 t y 2, 6 m 4 t/m z + 32 1, 7 m 3 34 + 43 4 45 54 5 y 1, 3 m Sección 23 3 m 12, 45 t

z Sección 34 2, 5 t 16 t 1 t 4 t/m y 2 1 t 1 12 21 18, 05 t 2, 6 m 23 + z z + +3 34 43 4 45 32 54 5 y y 1, 7 m 1, 3 m 3 m 12, 45 t

z Sección 34 2, 5 t 16 t 1 t y 2 1 t 1 12 21 18, 05 t 2, 6 m Sección 43 4 t/m 23 z z + 4 45 32 +3 34 43 y 1, 7 m 1, 3 m + 54 5 y 3 m 12, 45 t

z Sección 34 2, 5 t 16 t 1 t 2 1 t 1 12 21 18, 05 t 2, 6 m 23 32 4 t/m z z 3 34 + y + +4 45 43 54 5 yy 1, 7 m 1, 3 m 3 m 12, 45 t Sección 43 Sección 45 (Al no agregarse ninguna acción nueva los esfuerzos serán los mismo que en la sección 43, 43 no obstante, verificaremos estos valores calculando la resultante derecha cambiándole el signo)

Sección 54 (Obtendremos los valores calculando la resultante derecha cambiándole el signo) z 2, 5 t 16 t 1 t 21 18, 05 t 2, 6 m Analizamos los tramos 4 t/m 2 1 t 1 12 23 32 3 34 z y z 43+4 45 1, 3 m 3 m (Análisis Cualitativo de los Diagramas) Recordemos las Relaciones diferenciales Tramo 45 5 + 54 y y 1, 7 m + …demás tramos 12, 45 t

z Armamos la tabla de valores Análisis Cualitativo A≡ 1 -1 (compresión) 2, 5 0 NZ = constante QY = constante MX = lineal TRAMO Mx [t. m] 12 21 -1 (compresión) 2, 5 -6, 5 TRAMO Qy [t] 23 0 -15, 55 -6, 5 32 0 -15, 55 19, 935 TRAMO Nz [t] 34 0 0, 45 19, 935 43 0 0, 45 19, 35 TRAMO SECCIONES 45 0 0, 45 19, 35 54 0 12, 45 0 0 B≡ 5 Trazamos los diagramas 2, 5 t 1 t 21 18, 05 t 2, 6 m NZ = constante QY = constante MX = lineal NZ = constante QY = lineal MX = cuadrática 4 t/m y 2 1 t 1 12 NZ = constante QY = constante MX = lineal 16 t N Q M 23 32 + 3 34 z 43 4 45 5 + 54 y 1, 7 m 1, 3 m 3 m 12, 45 t

Veamos los siguientes videos: Resolución de cerchas planas por el método de los nudos | | UPV https: //www. youtube. com/watch? v=dqj. M 3 dd. KPzw Resolución de cerchas planas por el método de Ritter o de las secciones | | UPV https: //www. youtube. com/watch? v=Oz. GNHXJlrbg&t=1 s Determinación de barras que no trabajan a priori en cerchas | | UPV https: //www. youtube. com/watch? v=RP 4 ilbkoj. YY Repasemos ahora los sistemas Reticulados: Reticulados Universitat Politècnica de València - UPV

Bibliografía Estabilidad I – Enrique Fliess

Muchas Gracias