BADANIA OPERACYJNE Dr Agnieszka TaborSmardzewska DEFINICJA BADA OPERACYJNYCH

BADANIA OPERACYJNE Dr Agnieszka Tabor-Smardzewska

DEFINICJA BADAŃ OPERACYJNYCH � naukowa metoda rozwiązywania problemów z zakresu podejmowania decyzji kierowniczych (H. M. Wagner) � naukowa metoda dostarczania organom wykonawczym podstawy ilościowej do podejmowania decyzji w zakresie kontrolowanej przez te organy działalności (Ch. Goodeve) � zbiór naukowych metod zarządzania, zastępujących metody intuicyjne w złożonych i bardzo złożonych warunkach występowania sytuacji decyzyjnych. Na podstawie odpowiednio zgromadzonych danych umożliwiają podejmowanie decyzji najlepszych (optymalnych) lub suboptymalnych. Wybór tych decyzji najczęściej jest wspomagany komputerowo. (W. Szymanowski)

HISTORIA BADAŃ OPERACYJNYCH � Badania operacyjne to nazwa dyscypliny, która zrodziła się w okresie drugiej wojny światowej. � Sam termin operacja wywodzi się z języka wojskowego. OPERACJA - ogół działań bojowych połączonych wspólną myślą przewodnią, prowadzonych do osiągnięcia określonego celu. Dla skutecznego przeprowadzenia takiej operacji konieczne jest odpowiednie jej przygotowanie, rozpatrzenie wielu jej wariantów i umiejętność wyboru wariantu najlepszego.

HISTORIA BADAŃ OPERACYJNYCH Problemy militarne rozwiązywane za pomocą badań operacyjnych – podejmowanie optymalnych decyzji dotyczących: � instalowania na przeciwlotniczych, okrętach transportowych dział � techniki zwalczania łodzi podwodnych, � niszczenia zwartych grup wojsk przeciwnika minimalną liczbą pocisków, � określenia liczby okrętów w konwojach, � bombardowania lotnisk nieprzyjacielskich itp.

CECHY CHARAKTERYSTYCZNE BADAŃ OPERACYJNYCH 1. 2. 3. 4. 5. 6. Ukierunkowanie na podejmowanie decyzji. Podejście systemowe. Interdyscyplinarny charakter. Podejmowanie decyzji na podstawie modeli decyzyjnych analizowanych systemów. Konieczność stosowania metody nauk ścisłych. Konieczność stosowania techniki komputerowej.

POJĘCIE PROBLEMU DECYZYJNEGO PROBLEM – postrzegane odchylenie między tym, co w rzeczywistości jest lub co może się stać przy naszej bierności a tym, co w danej sytuacji uznaje się za pożądane, przy czym w okresie postrzegania nie wiadomo jak zlikwidować to odchylenie lub jego uniknąć. Standardowa analiza procesu decyzyjnego sprowadza się do: � rozpoznania stanu wyjściowego, � określenie stanu pożądanego (celów), � poszukiwania rozwiązania.

POJĘCIE PROBLEMU DECYZYJNEGO � Rozwiązanie problemu – określenie celów i wyznaczenie odpowiednich działań pozwalających je osiągnąć. � Problem ma charakter decyzyjny jeżeli efektem jego analizy są co najmniej dwie propozycje, które mogą być uznane za rozwiązanie i niezbędne jest rozstrzygnięcie, która z nich stanie się rozwiązaniem. � Cechą charakterystyczną procesu decyzyjnego jest to, że z samej jego treści nie wynika zasada rozstrzygania, którą z propozycji należy uznać za rozwiązanie. W celu dokonania wyboru trzeba określić reguły pomocnicze.

ANALIZA PROCESU DECYZYJNEGO � PROCES DECYZYJNY (proces podejmowania decyzji) – obejmuje wszelkie działania, w wyniku których następuje podjęcie decyzji, tj. rozwiązanie jakiegoś problemu. Proces decyzyjny polega na opracowaniu i analizie pewnego zbioru wariantów rozwiązań (wariantów decyzji) oraz wyborze spośród nich najlepszego, z przyjętego punktu widzenia. � DECYZJA – akt wyboru jednego wariantu działania spośród wielu możliwych wariantów.

ELEMENTY PROCESU DECYZYJNEGO 1. Podmiot podejmowania decyzji (decydent) – osoba dokonująca wskazania decyzji lub określająca jednoznaczną zasadę jej wyboru. 2. Zbiór możliwych rozwiązań (wariantów decyzji). 3. Funkcja decyzyjna (funkcja celu lub funkcja kryterium), której wartość zależy od wybranego wariantu decyzji i zewnętrznych warunków jej realizacji (tj. stanu otoczenia). 4. Informacje o stanach otoczenia. 5. Inne elementy zależne od konkretnej sytuacji decyzyjnej.

ETAPY PROCESU DECYZYJNEGO 1. 2. 3. Sformułowanie problemu i określenie celu decyzji. Zebranie informacji niezbędnych do podjęcia decyzji. Ustalenie możliwych wariantów decyzji. � Warunki ograniczające – warunki określające jakie decyzje mogą być podjęte (są to warunki zewnętrzne, stan otoczenia, niezależne od decydenta). � Decyzje dopuszczalne – decyzje uwzględniające warunki ograniczające. � Pole decyzyjne – zbiór decyzji dopuszczalnych, tzn. takich co do których nie ma podstaw do ich odrzucenia.

ETAPY PROCESU DECYZYJNEGO c. d. 4. Wybór optymalnego wariantu decyzji (alternatywy optymalnej). � Funkcja decyzyjna (funkcja celu lub funkcja kryterium) – zasada wskazywania rozwiązania spośród alternatyw. � Decyzja optymalna – decyzja dopuszczana realizująca postawiony cel w sposób możliwie najlepszy. 5. Sformułowanie decyzji i wprowadzenie jej w życie. 6. Kontrola wykonania decyzji.

MODELE DECYZYJNE � MODEL DECYZYJNY – celowo uproszczony matematyczny obraz rzeczywistego obiektu stworzony w celu wyboru optymalnej decyzji. � ROZWIĄZANIE MODELU DECYZYJNEGO – znalezienie odpowiedniej decyzji lub zbioru alternatywnych decyzji ze względu na postawiony cel.

KRYTERIA KLASYFIKACJI MODELI DECYZYJNYCH Ø Kryterium: czas lub liczba etapów procesu decyzyjnego 1. 2. modele statyczne modele dynamiczne Ø Kryterium: liczba kryteriów realizujących cele pewnego obiektu gospodarczego (przedsiębiorstwa) (liczba funkcji celu) 1. 2. modele jednokryteriowe modele wielokryteriowe

KRYTERIA KLASYFIKACJI MODELI DECYZYJNYCH c. d. Ø Kryterium: liczba podmiotów decyzyjnych 1. 2. modele niekonfliktowe modele konfliktowe Ø Kryterium: stopień określoności procesów gospodarczych 1. 2. modele determistyczne modele stochastyczne

KRYTERIA KLASYFIKACJI MODELI DECYZYJNYCH c. d. Ø Kryterium: charakter zależności zmiennych 1. 2. Ø modele liniowe modele nieliniowe Kryterium: postać zmiennych decyzyjnych 1. 2. modele ciągłe modele dyskretne • • • modele dyskretne całkowitoliczbowe modele dyskretne binarne modele dyskretne mieszane

MODEL PROGRAMOWANIA MATEMATYCZNEGO � PROGRAMOWANIE MATEMATYCZNE – jeden ze sposobów wyboru optymalnych wariantów działania. Jest to dziedzina matematyki zajmująca się algorytmami rozwiązywania zadań optymalizacyjnych. � MATEMATYCZNY MODEL DECYZYJNY – model programowania matematycznego – zapis problemu decyzyjnego w języku matematycznym. Konstrukcja formalna, opisująca istotne cechy rzeczywistej sytuacji decyzyjnej z możliwie dokładnym przybliżeniem.

BUDOWA MATEMATYCZNEGO MODELU DECYZYJNEGO 1. 2. 3. 4. Wyznaczenie zmiennych decyzyjnych. Określenie parametrów. Podanie funkcji celu. Zapisanie warunków ograniczających. � ZMIENNE DECYZYJNE – pewne wielkości, za pomocą których opisuje się decyzje. Wielkości te należy wyznaczyć korzystając z modelu. � PARAMETRY – wielkości niezależne od podmiotu decyzyjnego (decydenta). Zakłada się, że wszystkie parametry są stałe i znane, dlatego modele programowania matematycznego są modelami deterministycznymi.

POSTAĆ MATEMATYCZNEGO MODELU DECYZYJNEGO Ø Warunki ograniczające – warunki określające jakie decyzje mogą być podjęte. x 1 , x 2 , … , xn ϵ D gdzie D oznacza zbiór decyzji dopuszczalnych. Decyzje dopuszczalne – decyzje uwzględniające warunki ograniczające. Ø Funkcja celu – funkcja określona na zbiorze decyzji dopuszczalnych i opisująca stopień realizacji postawionego celu. F (x 1 , x 2 , … , xn)

POSTAĆ MATEMATYCZNEGO MODELU DECYZYJNEGO c. d. Wybór optymalnej decyzji – ustalenie takiej decyzji dopuszczalnej, przy której funkcja celu osiąga wartość najkorzystniejszą, tzn. w zależności od badanej sytuacji wartość minimalną lub maksymalną. Zadanie decyzyjne można zapisać ogólnie: f(x) → max x ϵ D lub f(x) → min x ϵ D gdzie: D – zbiór decyzji dopuszczalnych, f – funkcja celu x – dowolna decyzja.

LINIOWY MODEL PROGRAMOWANIA MATEMATYCZNEGO Ze względu na postać analityczną funkcji celu oraz wszystkich warunków ograniczających można wyodrębnić dwa rodzaje modeli programowania liniowego: �liniowe �nieliniowe � LINOWY MODEL PROGRAMOWANIA LINIOWEGO – zadanie decyzyjne, w którym wszystkie związki zachodzące między zmiennymi decyzyjnymi, zarówno w funkcji celu, jak i w warunkach ograniczających są funkcjami liniowymi. � Jeżeli ponadto wszystkie zmienne są ciągłe, to jest to ZADANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO.

LINIOWY MODEL PROGRAMOWANIA MATEMATYCZNEGO c. d. Dzięki zastosowaniu metod programowania liniowego możemy określić optymalną decyzję. Najczęstsze problemy decyzyjne dotyczą: � wyboru optymalnej struktury asortymentu produkcji – polega to na określeniu które wyroby i w jakich ilościach powinno przedsiębiorstwo produkować, aby nie przekraczając dostępnych zasobów produkcji oraz spełniając pewne dodatkowe ograniczenia – maksymalizować zysk lub przychód ze sprzedaży, � problemu optymalnej diety lub mieszanki - podejmujący decyzję pragnie określić jakie ilości produktów żywnościowych należy zakupić, aby przy racjonalnym zaspokojeniu potrzeb organizmów obniżyć do minimum koszty wyżywienia.

ZADANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W POSTACI STANDARDOWEJ Zadanie programowania liniowego w postaci standardowej – zadanie, w którym wszystkie ograniczenia są nierównościami typu ≤ dla zadań na maksimum bądź nierównościami typu ≥ dla zadań na minimum oraz wszystkie zmienne muszą być nieujemne i ciągłe. � � funkcja celu z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + cnxn → max lub z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + cnxn → min warunki ograniczające a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 nxn ≤ b 1 a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 nxn ≥ b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2 nxn ≤ b 2 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2 nxn ≥ b 2 ……………… lub ……………… am 1 x 1 + am 2 x 2 + … + amnxn ≤ bm am 1 x 1 + am 2 x 2 + … + amnxn ≥ bm � warunki brzegowe x 1 , x 2 , … , xn ≥ 0

PRZYKŁAD BUDOWANIA ZADANIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Zadanie 1. Przedsiębiorstwo może produkować cztery wyroby A, B, C, D. Ceny wyrobów wynoszą odpowiednio 10, 14, 8, 11 jednostek pieniężnych. Ograniczeniem w procesie produkcji są zasoby dwóch surowców S 1 i S 2. Dane wejściowe zawiera tabela: Surowce Zużycie surowca na jednostkę wyrobu w kg Zapas surowca w kg A B C D S 1 0, 5 0, 4 0, 2 20 S 2 0, 4 0, 2 0, 0 0, 5 28 Cena 10 14 8 11 --- Należy ustalić wielkości produkcji tych wyrobów gwarantujące, przy istniejących zasobach surowców maksymalny przychód z ich sprzedaży.

PRZYKŁAD BUDOWANIA ZADANIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Zadanie 2. Do karmienia zwierząt stosuje się dwa rodzaje pasz. Cena 1 kg paszy I wynosi 5 jednostek pieniężnych, a paszy II 6 jednostek pieniężnych. Dane wejściowe uwzględniające wartości odżywcze pasz i dzienne normy zapotrzebowania przedstawia tabela: Rodzaj paszy Surowce I II Dzienne normy zapotrzebowania Białko 2 1 6 Wapno 2 4 12 Witaminy 0 4 4 Cena 5 6 --- Jaką ilość paszy każdego rodzaju trzeba stosować dziennie, aby koszty karmienia zwierząt były najniższe?

ROZWIĄZYWANIE LINIOWYCH MODELI DECYZYJNYCH Procedura rozwiązywania liniowych modeli decyzyjnych: 1. 2. wyznaczenie zbioru rozwiązań dopuszczalnych znalezienie rozwiązania optymalnego. ROZWIĄZANIE DOPUSZCZALNE – każdy punkt X = [x 1 , x 2 , … , xn] spełniający warunki ograniczające. Zbiór wszystkich punktów spełniających ograniczenia tworzy zbiór rozwiązań dopuszczalnych (ZRD). ROZWIĄZANIE OPTYMALNE – taki punkt ze zbioru rozwiązań dopuszczalnych, w którym funkcja celu osiąga wartość ekstremalną, tj. maksymalną lub minimalną w zależności od rozpatrywanej sytuacji decyzyjnej.

TYPY ROZWIĄZAŃ ZADAŃ PROGRAMOWANIA LINOWEGO � Istnieje tylko jedno rozwiązanie optymalne. Wówczas optymalna wartość funkcji celu jest liczbą skończoną i odpowiada tylko jednemu zestawowi wartości zmiennych decyzyjnych. � Istnieje wiele rozwiązań optymalnych. Wówczas optymalna wartość funkcji celu odpowiada wielu zestawom wartości zmiennych decyzyjnych. W przypadku programów z dwiema zmiennymi decyzyjnymi rozwiązania te będą znajdowały się na odcinku łączącym dwa punkty odpowiadające optymalnej wartości funkcji celu przybieranej w tych punktach. � Rozwiązanie optymalne nie istnieje. Wówczas, gdy zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest zbiorem pustym, co oznacza, że układ warunków ograniczających jest sprzeczny lub zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest zbiorem nieograniczonym w kierunku wzrostu wartości funkcji celu dla zadania na maksimum, bądź spadku dla zadania na minimum.

SPOSOBY ROZWIĄZYWANIA LINIOWYCH MODELI DECYZYJNYCH Podstawowe sposoby rozwiązywania zadań programowania liniowego: Ø METODA GEOMETRYCZNA (GRAFICZNA) Ø METODA SIMPLEX

METODA GEOMETRYCZNA – prosta metoda rozwiązywania liniowych modeli decyzyjnych. Stosowana dla modeli z dwiema zmiennymi decyzyjnymi. Jej stosowanie wymaga znajomości rozwiązywania układów równań o dwóch niewiadomych i podstawowych wiadomości o prostej z geometrii analitycznej. Etapy rozwiązywania zadania programowania liniowego metodą geometryczną: 1. 2. 3. 4. Narysować układ współrzędnych, na osiach x 1 i x 2 nanieść jednostki. Narysować półpłaszczyzny odpowiadające nierównościom reprezentującym warunki ograniczające. Zidentyfikować zbiór rozwiązań dopuszczalnych. Jest nim część wspólna wyznaczonych półpłaszczyzn. Wyznaczyć rozwiązanie optymalne.

METODA GEOMETRYCZNA c. d. Zbiór rozwiązań dopuszczalnych D dla dwóch zmiennych decyzyjnych może być: wielokątem wypukłym, � zbiorem nieograniczonym � zbiorem pustym. � W przypadku, gdy zbiór D rozwiązań dopuszczalnych jest wielokątem wypukłym mogą zaistnieć dwie możliwości: � istnieje tylko jeden punkt wspólny. Współrzędne tego punktu wyznaczają jedyne rozwiązanie optymalne zadania PL, � istnieją dwa punkty wspólne, co jest równoznaczne z pokrywaniem się linii warstwicowej z bokiem wielokąta. W tym przypadku istnieje nieskończona liczba rozwiązań optymalnych zadania PL.

METODA GEOMETRYCZNA c. d. W przypadku nieograniczonego zbioru D rozwiązań dopuszczalnych mogą zaistnieć możliwości: � jedno rozwiązanie optymalne, � nieskończona liczba rozwiązań optymalnych, � brak skończonych rozwiązań optymalnych, czyli z zbiorze D funkcja celu jest nieograniczona. � W przypadku, gdy zbiór D jest pusty zadanie optymalizacyjne jest sprzeczne.