Badania operacyjne Jeli dzisiaj jest cho w poowie

Badania operacyjne Jeśli dzisiaj jest choć w połowie tak dobre, jak jutro ma być, to prawdopodobnie będzie dwa razy lepsze niż wczoraj Norman Augustine

Wstęp • Poprzednio estymowaliśmy równanie popytu • Proces estymacji składa się z paru kroków: – Identyfikacja głównych zmiennych objaśniających – Zbieranie danych dot. tych zmiennych – Wykorzystanie metod statystycznych, aby uzyskać równanie popytu, które najlepiej pasuje do przeszłych danych • Na tym wykładzie z kolei zostanie zaprezentowane parę metod prognozowania przyszłości

Wstęp • Metody prognozowania dzielą się na: – Modele strukturalne (próbują wyjaśnić jak dana zmienna zależy od innych zmiennych) • Strukturalne modele ekonometryczne gospodarki – Modele niestrukturalne (identyfikują zależności w ruchach danej zmiennej w czasie) • Analiza szeregów czasowych • Metoda barometru (identyfikuje tzw. wskaźniki wyprzedzające, które sygnalizują zmiany danej zmiennej – np. zmiany na giełdzie sygnalizują zmiany w gospodarce realnej)

Dzisiaj • Analiza szeregów czasowych – Wyznaczanie trendu prostego względem czasu: • Liniowy • Nieliniowy np. kwadratowy • Nieliniowy, ale sprowadzalny do liniowego np. wykładniczy – trend wykładniczy a zmiany procentowe zmiennych – Wyznaczanie trendu autoregresyjnego • Zależność zmiennej od siebie samej z przeszłości – Uwzględnienie trendu i zmian sezonowych • Metoda ze średnimi błędami dla każdej pory roku • Metoda ze zmiennymi binarnymi oznaczającymi porę roku

Szacowanie prostego trendu 240 220 200 R 2 = 0. 9826 180 160 140 120 100 0 2 4 6 8 10 12 14

Trend kwadratowy 240 220 R 2 = 0. 9936 200 180 160 140 120 100 0 2 4 6 8 10 12 14

Trend wykładniczy 240 220 R 2 = 0. 9922 200 180 160 140 120 100 0 2 4 6 8 10 12 14

Trend wykładniczy z naliczaniem dyskretnym i ciągłym • Jeśli R>1 to y rośnie proporcjonalnie w stosunku do czasu – Np. R=1, 04, więc y rośnie 4% rocznie • Procenty mogą się naliczać co roku, bądź w częstszy sposób (na przykład codziennie) – Stąd rozróżnienie na dwa sposoby ujmowania trendu wykładniczego – Istnieje jednak prosta zależność między nimi

Model liniowy

Prognozy 350 300 trend liniowy trend kwadratowy trend wykładniczy 250 Szereg czasowy 200 150 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 • Trend wykładniczy i kwadratowy (nieliniowe) dają zupełnie różne prognozy niż trend liniowy (w szczególności dla „dalekich prognoz”)

Jak teraźniejszość wpływa na przyszłość? • Rozważmy prognozę liczby abonentów pewnej telewizji kablowej, która obecnie ma 500000 abonentów: – Około 98% dotychczasowych abonentów przedłuża abonament na następny kwartał – Potencjalne rozmiary rynku ocenia się na 1000000 abonentów – Liczba nowych abonentów zarejstrowanych w każdym kwartale stanowi ok. 8% ogólnej liczby nie pozyskanych jeszcze potencjalnych klientów

Model • Załóżmy, że firma nie ma dobrej informacji na temat: – Wielkości rynku: N – Współczynnika utrzymania klientów (retention rate): r – Współczynnik nowych rejestracji abonentów (new subscriber sign up rate): s • I chce te parametry wyestymować z dostępnych danych • W tym celu wykorzystuje dane z ostatnich 8 kwartałów 1 2 3 4 5 6 7 8 90000 140000 220000 280000 310000 378000 420000 450000

Estymacja trendu 900000 800000 700000 600000 500000 Dane z ostatnich 8 kwartałów 400000 300000 200000 100000 0 0 10 20 30 40 50 Nieznany trend rzeczywisty Wyestymowany trend 0 0 10 20 30 40 50

Prognoza 1 90000 2 140000 3 220000 4 280000 5 310000 6 378000 7 420000 8 450000 9 484244, 5 10 515396, 9 11 543736, 4 500000 530000 557000

Popyt na zabawki • Dane kwartalne 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Zima Wiosna Lato Jesień Zima Wiosna Lato Jesień 1995 1996 1997 1998 1999 133 135 140 180 141 170 172 186 143 148 150 194 156 158 196 153 161 193 204 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Zima Wiosna Lato Jesień Zima Wiosna Lato Jesień 2000 2001 2002 2003 2004 158 169 171 209 172 207 209 214 183 212 184 219 185 190 222 227 199 228 230 229

Zima Wiosna Lato Jesień Zima Wiosna Lato Jesień Zima Wiosna Lato Jesień Trend liniowy 280 260 240 220 200 180 160 R 2 = 0. 642 140 120 100 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 Zima Wiosna Lato Jesień Zima Wiosna Lato Jesień Zima Wiosna Lato Jesień Rzeczywiste 133 135 140 180 141 170 172 186 143 148 150 194 156 158 196 153 161 193 204 158 169 171 209 172 207 209 214 183 212 184 219 185 190 222 227 199 228 230 229 Przewidywane na podstawie trendu 143, 0811 145, 0822 147, 0833 149, 0844 151, 0855 153, 0866 155, 0877 157, 0888 159, 0899 161, 091 163, 0921 165, 0932 167, 0943 169, 0954 171, 0965 173, 0976 175, 0987 177, 0998 179, 1009 181, 102 183, 1031 185, 1042 187, 1053 189, 1064 191, 1075 193, 1086 195, 1097 197, 1108 199, 1119 201, 113 203, 1141 205, 1152 207, 1163 209, 1174 211, 1185 213, 1196 215, 1207 217, 1218 219, 1229 221, 124 Błąd 10, 0811 10, 0822 7, 0833 -30, 9156 10, 0855 -16, 9134 -16, 9123 -28, 9112 16, 0899 13, 091 13, 0921 -28, 9068 13, 0943 13, 0954 13, 0965 -22, 9024 22, 0987 16, 0998 -13, 8991 -22, 898 25, 1031 16, 1042 16, 1053 -19, 8936 19, 1075 -13, 8914 -13, 8903 -16, 8892 16, 1119 -10, 887 19, 1141 -13, 8848 22, 1163 19, 1174 -10, 8815 -13, 8804 16, 1207 -10, 8782 -10, 8771 -7, 876

Jak sobie radzić z sezonowością • Policzyć średni błąd dla każdej z pór roku Zima Wiosna Lato Jesień Średni błąd prognozy 17, 0009 3, 502 0, 2031 -20, 6958 • I poodejmować te błędy od wartości przewidywanej w zależności od pory roku

Jak poradzić sobie z sezonowością • Alternatywnie (lepiej) można wprowadzić zmienne binarne dla każdej pory roku i wyestymować model postaci:

133 1 0 0 0 Wiosna 135 0 1 0 0 Lato 140 0 0 180 141 170 172 186 143 148 150 194 156 158 196 153 161 193 204 158 169 171 209 172 207 209 214 183 212 184 219 185 190 222 227 199 228 230 229 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 Zima Jesień Zima Wiosna Lato Jesień Zima Wiosna Lato Jesień Zima Wiosna Lato Jesień 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Porównanie Zima Wiosna Lato Jesień 1995 Zima Wiosna Lato Jesień 1996 Zima Wiosna Lato Jesień 1997 Zima Wiosna Lato Jesień 1998 Zima Wiosna Lato Jesień 1999 Zima Wiosna Lato Jesień 2000 Zima Wiosna Lato Jesień 2001 Zima Wiosna Lato Jesień 2002 Zima Wiosna Lato Jesień 2003 Zima Wiosna Lato Jesień 2004 Średni błąd kwadratowy Model tylko z Model ze zm. Rzeczywiste trendem średnimi Binarnymi 133 143, 0811 126, 0802 128, 06364 135 145, 0822 141, 5802 143, 56364 140 147, 0833 146, 8802 148, 86364 180 149, 0844 169, 7802 171, 76364 141 151, 0855 134, 0846 135, 62727 170 153, 0866 149, 5846 151, 12727 172 155, 0877 154, 8846 156, 42727 186 157, 0888 177, 7846 179, 32727 143 159, 0899 142, 089 143, 19091 148 161, 091 157, 589 158, 69091 150 163, 0921 162, 889 163, 99091 194 165, 0932 185, 789 186, 89091 154 167, 0943 150, 0934 150, 75455 156 169, 0954 165, 5934 166, 25455 158 171, 0965 170, 8934 171, 55455 196 173, 0976 193, 7934 194, 45455 153 175, 0987 158, 0978 158, 31818 161 177, 0998 173, 5978 173, 81818 193 179, 1009 178, 8978 179, 11818 204 181, 102 201, 7978 202, 01818 158 183, 1031 166, 1022 165, 88182 169 185, 1042 181, 6022 181, 38182 171 187, 1053 186, 9022 186, 68182 209 189, 1064 209, 8022 209, 58182 172 191, 1075 174, 1066 173, 44545 207 193, 1086 189, 6066 188, 94545 209 195, 1097 194, 9066 194, 24545 214 197, 1108 217, 8066 217, 14545 183 199, 1119 182, 111 181, 00909 212 201, 113 197, 611 196, 50909 184 203, 1141 202, 911 201, 80909 219 205, 1152 225, 811 224, 70909 185 207, 1163 190, 1154 188, 57273 190 209, 1174 205, 6154 204, 07273 222 211, 1185 210, 9154 209, 37273 227 213, 1196 233, 8154 232, 27273 199 215, 1207 198, 1198 196, 13636 228 217, 1218 213, 6198 211, 63636 230 219, 1229 218, 9198 216, 93636 229 221, 124 241, 8198 239, 83636 17, 24934 10, 72972 10, 65477

280 260 240 220 200 180 160 Rzeczywiste 140 Model ze średnimi błędami dla poszczególnych pór roku Model ze zmiennymi binarnymi dla każdej pory roku 120 Linear(Rzeczywiste) Zima Wiosna Lato Jesień Zima Wiosna Lato Jesień Zima Wiosna Lato Jesień 100 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

Prognoza – jak policzyć • W modelu z samym trendem, podstawić wartości czasu: • W modelu ze średnimi odjąć średni błąd prognozy Średni błąd dla odpowiednich pór roku Zima Wiosna Lato Jesień prognozy 17, 0009 3, 502 0, 2031 -20, 6958 • W modelu ze zmiennymi binarnymi, podstawić wartości czasu oraz wstawić jeden dla zmiennej oznaczającej daną porę roku

280 Prognoza 260 240 Rzeczywiste Model ze średnimi Model ze zmiennymi binarnymi 220 Model tylko z trendem 200 180 160 140 41 42 43 44 120 Tylko Ze Ze zm. trend średnimi Binarnymi 223, 1251 206, 1242 203, 7 225, 1262 221, 6242 219, 2 227, 1273 226, 9242 224, 5 229, 1284 249, 8242 247, 4 Zima Wiosna Lato Jesień Zima Wiosna Lato Jesień Zima Wiosna Lato Jesień 100 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

Jak ocenić jakość prognoz • Średni błąd bezwględny prognozy • Średni pierwiastkowy błąd kwadratowy • Gdzie Q – przyszła wartość rzeczywista, Q* wartość prognozowana, m – liczba prognoz, k – liczba estymowanych parametrów

W gretlu mnóstwo narzędzi • Np. filtr Hodricka-Prescotta do odsezonowania

Model taki jak wcześniej tylko w GRETLu

Kiedy jaka średnia • Jeśli zmiana procentowa danej zmiennej wyniosła w roku x: 50% a w roku x+1: -33, 33% (obie wartości w stosunku do roku poprzedniego), to średnia roczna zmiana procentowa tej zmiennej wynosi około: A B C D 8, 33% 0% 16, 67% -8, 33% • Cena towaru x i cena towaru y jest równa i wynosi 10 złotych. Stosunek ceny do zysku dla towaru x wynosi 8: 1 a dla towaru y wynosi 2: 1. Wobec tego średni stosunek ceny do zysku dla obu towarów wynosi: A B C D 5, 5 5 3, 2 4

Kiedy jaka średnia • Jeśli zmiana procentowa danej zmiennej wyniosła w roku x: 50% a w roku x+1: -33, 33% (obie wartości w stosunku do roku poprzedniego), to średnia roczna zmiana procentowa tej zmiennej wynosi około: A B C D 8, 33% 0% 16, 67% -8, 33% Średnia geometryczna • Cena towaru x i cena towaru y jest równa i wynosi 10 złotych. Stosunek ceny do zysku dla towaru x wynosi 8: 1 a dla towaru y wynosi 2: 1. Wobec tego średni stosunek ceny do zysku dla obu towarów wynosi: A B C D 5, 5 5 3, 2 4 Średnia harmoniczna