Anlise Espacial de reas Regresso Anlise Espacial de

Análise Espacial de Áreas: Regressão Análise Espacial de Dados Geográficos SER-303 Novembro/2009

Análise de Regressão Análise de regressão é uma ferramenta estatística que utiliza a relação entre duas ou mais variáveis tal que uma variável possa ser explicada (variável dependente) pela outra ou outras (variáveis explicativas, independentes). Y = a. X + b Exemplos: Explicar vendas pelos gastos em propaganda. Incidência de câncer com consumo de cigarro Consumo x renda

Objetivos da Análise de Regressão n Determinar como duas ou mais variáveis se relacionam. n Estimar a função que determina a relação entre duas variáveis. n Usar a equação para prever valores futuros da variável dependente.

Suposições 1) Distribuição Normal Para um valor fixo da variável aleatória X, Y é uma variável aleatória com distribuição Normal (com média e variâncias finitas); Yi ~ N(E(y/x); σ2) 2) Linearidade Todos os valores médios de Y (E(y/x)=μY/x) permanecem sobre uma reta, para um particular valor de X. E(y/x)=μy/x = 0 + 1 x 3) Independência Os valores de Y são estatisticamente independentes. 4) Homocedasticidade A variância de Y é igual, qq que seja X.

Modelos de Regressão

Modelos de Regressão Um modelo de regressão contendo somente uma variável independente é denominado modelo de regressão simples. Um modelo com mais de uma variável independente é denominado modelo de regressão múltiplo.

Regressão Linear Simples onde: Yi é o valor da variável dependente na i-ésima observação; 0 e 1 são parâmetros; Xi é uma constante conhecida; é o valor da variável independente na i-ésima observação; i é um termo de erro aleatório com média zero e variância constante 2 (E( i)=0 e 2 ( i)= 2 ) i e j são não correlacionados (independentes) para i j ( 2 ( i, j)= 0 )

Modelo de Regressão Linear Inclinação Intercepto Populacional Variável Independente Yi= 0+ 1 Xi + i Variável Dependente Yi Y i 1 Erro Aleatório Y = E(Y) = 0 + 1 X Coeficiente angular Ŷi=b 0+b 1 Xi Modelo estimado i =Yi-Ŷi Resíduo 0 X

Significado de 0 e 1 Os parâmetros 0 e 1 são denominados coeficientes de regressão. n 1 é a inclinação da reta de regressão. Ela indica a mudança na média de Y quando X é acrescido de uma unidade. n 0 é o intercepto em Y da equação de regressão (é o valor de Y quando X = 0. 0 só tem significado se o modelo incluir X = 0. 0 X

Regressão Linear Múltipla Yi= 0+ 1 Xi 1 + 2 Xi 2 +…+ p. Xip + i Yi é o valor da variável dependente na i-ésima observação 0, …, p são parâmetros Xi 1 , …, Xip são os valores das variáveis independentes na iésima observação i é um termo de erro aleatório com distribuição normal, média zero e variância constante 2 (E( i )=0 e 2 ( i )= 2 ) i e j são não correlacionados (independentes) para i j

Estimação dos parâmetros Em geral não se conhece os valores de 0 e 1. Eles podem ser estimados através de dados obtidos por amostras. O método utilizado na estimação dos parâmetros é o método dos mínimos quadrados, o qual considera os desvios dos Yi de seu valor esperado: i = Y i – ( 0 + 1 X i ) Em particular, o método dos mínimos quadrados requer que c a soma dos n desvios quadrados, denotado por Q:

Estimação A soma dos quadrados desvios (єi) é dada por: A equação deve ser derivada em relação a 0 e 1, igualando-as a zero para se obter os valores estimados de 0 e 1.

Inferência Testando se a inclinação é zero n construir intervalos de confiança para n Teste de hipótese para : tn-2 : a/2 - -t 1 -a/2; n-2 0 a/2 t 1 -a/2; n-2 Se = 0 , Y e X são não correlacionados Rejeitar que o modelo que inclui X é melhor do que o modelo que não inclui X mesmo que a linha reta não seja a relação mais apropriada. +

Inferência De forma semelhante testa-se é zero Se a hipótese nula = 0 não for rejeitada, pode-se excluir a constante do modelo, já que a reta inclui a origem. Esse teste é muitas vezes de pouca utilidade. Ex, idade (X) e Pressão sanguinea.

Inferência

Inferência Elevando-se ao quadrado os dois lados da igualdade e fazendo-se a soma para todas as observações de uma determinada amostra tem-se que: Soma de quadrados total Soma de quadrados devido (SQT) devido ao modelo (SQM) Aos resíduos (SQR)

Particionando a soma dos quadrados • Se SQT=0, então todas as observações são iguais. • Quanto maior for SQT, maior será a variação entre os Y´s. • SQT é uma medida da variação dos Y´s quando não se leva em consideração a variável independente X. Se a linha de regressão for horizontal, de modo que SQM = 0. então Se SQR = 0, então as observações caem na linha de regressão. Quanto maior SQR, maior será a variação das observações Y ao redor da linha de regressão.

Particionando a Soma de Quadrados SQT = SQM + SQR. Um modo de se saber quão útil será a linha de regressão para a predição é verificar quanto da SQT está na SQM e quanto está na SQR. Idealmente, gostaríamos que SQM fosse muito maior que SQR. Gostaríamos, portanto, que fosse próximo de 1.

Coeficiente de determinação Uma medida do efeito de X em reduzir a variabilidade do Y é: Note que: 0 R 2 1 R 2 é denominada coeficiente de determinação. Em um modelo de regressão simples, o coeficiente de determinação é o quadrado do coeficiente de correlação (r) entre Y e X. Note que em um modelo de regressão simples Temos dois casos extremos: n R 2 = 1 todas as observações caem na linha de regressão ajustada. A variável independente X explica toda a variação nas observações. n R 2 = 0 isto ocorre quando b 1 = 0. Não existe relação linear em Y e X. A variável X não ajuda a explicar a variação dos Yi.

Inferência § Testes de significância do modelo geral Fo = MQM/MQR onde Fc ~ F k, n-k-1 § Teste do F parcial Modelo Y= 0+ 1 X 1+. . . p. Xp+ *X* Ha: X* melhora significativamente a predição de Y, dado que X 1, X 2, . . . Xp já estão no modelo Fpc(x*/x 1, x 2, . . . xp) ~ F 1, n-(p+1)-1

Tabela ANOVA - F Graus de Liberdade (df) Regressão(X) 1 Soma dos quadrados (SQ) Quadrado médio SQM=SQ/df Razão da variância SQT-SQR= 6394. 02 21. 33(p<0. 001) 299. 77 Residuo 28 SQR= 8393. 44 Total 29 SQT = 14787. 46

Análise da Aptidão do Modelo Análise dos Resíduos – Verificar: ¨ Se função de regressão é linear Resíduo n 0 X Não Linearidade

Análise da Aptidão do Modelo Análise dos Resíduos – Verificar: ¨ Se os erros possuem variância constante (homocedasticidade) Variância Não Constante Resíduo n 0 X

Análise da Aptidão do Modelo Análise dos Resíduos – Verificar: ¨ Se os erros são independentes Resíduo n 0 X Erros Correlacionados

Análise da Aptidão do Modelo n Análise dos Resíduos – Verificar: ¨ A presença de outliers Gráfico dos Resíduos

Análise da Aptidão do Modelo n Análise dos Resíduos – Verificar: ¨ Se erros são normalmente distribuídos

Análise da Aptidão do Modelo Análise dos Resíduos – Modelo Adequado: Resíduo n 0 X

Análise da Aptidão do Modelo n Análise dos Resíduos : DADOS ESPACIAIS ¨ Hipótese de independência das observações em geral é Falsa Dependência Espacial ¨ Efeitos Espaciais n Se existir forte tendência ou correlação espacial, os resultados serão influenciados, apresentando associação estatística onde não existe (e vice-versa). ¨ Como verificar? n Medir a autocorrelação espacial dos resíduos da regressão (Índice de Moran dos resíduos)

Exemplo São José dos Campos Crescimento Populacional 91 -00 X Densidade Populacional 91 n n n Mapear os resíduos da regressão – índícios de correlação Índice de Moran sobre mapa de resíduos I=0, 45 Testes de pseudosignificância indicam autocorrelação espacial

Regressão Espacial n Autocorrelação espacial constatada! E agora? n Modelos de regressão que incorporam efeitos espaciais: ¨ Globais: utilizam um único parâmetro para capturar a estrutura de correlação espacial ¨ Locais: parâmetros variam continuamente no espaço

Modelos com Efeitos Espaciais Globais n Suposição: ¨ É possível capturar a estrutura de correlação espacial num único parâmetro (adicionado ao modelo de regressão). n Alternativas: ¨ Spatial Lag Models (SAR): atribuem autocorrelação espacial à variável dependente Y. a ¨ Spatial Error Models autocorrelação ao erro. a (CAR): atribuem

Spatial Lag Model (LAG) n Suposição ¨a variável Yi depende dos valores da variável dependente nas áreas vizinhas a i: Y = WY + X + ¨ = coeficiente espacial autoregressivo - medida de correlação espacial ¨ = 0, se autocorrelação é nula (hipótese nula) ¨ W = matriz de proximidade espacial ¨ WY expressa a dependência espacial em Y

Spatial Error Model (CAR) n Efeitos espaciais são um ruído Y = X + = W + ξ ¨ W = erro com efeitos espaciais ¨ = medida de correlação espacial ¨ ξ = componente do erro com variância constante e não correlacionada.

Spatial Lag Model X Spatial Error Model n Motivações diferentes, porém próximos em termos formais. n Premissa: processo espacial analisado é estacionário e pode ser capturado em um único parâmetro. n Porém isto nem sempre é verdade! ¨ Verificar se padões diversos de associação espacial estão presentes. ¨ Indicadores Locais de Autocorrelação Espacial

Indicadores Locais de Variabilidade Espacial n distribuição dos valores de correlação local para o índice de exclusão % Exclusão Não significantes p = 0. 05 [95% (1, 96 s)] p = 0. 01 [99% (2, 54 s)] p = 0. 001 [99, 9% (3, 2 s)]

Modelos com Efeitos Espaciais Locais n Modelos de Regressão com Efeitos Espaciais Discretos ¨ variações espaciais modeladas de maneira discreta. ¨ Regimes espaciais n Modelos de Regressão com Efeitos Espaciais Contínuos ¨ variações espaciais modeladas de forma contínua, com parâmetros variando no espaço. ¨ “Geographically Weighted Regression” – GWR.

Regimes espaciais n n n A idéia é regionalizar a área de estudo obtendo subregiões com seu padrão próprio. Realizar regressões separadas para cada sub-região. Utilizam-se variáveis indicadoras para classificar os subconjuntos para Ind =1 para Ind=2 para Ind=3 Esses valores são estimados conjuntamente em um modelo de regressão usando as variáveis indicadoras

Regimes Espaciais n Regionalizações da área de estudo n Diferentes tipos de variabilidade espacial n Métricas: Diagrama de espalhamento e índices locais e globais – regionalização tipo kmedias espacial n Ex: Regimes espaciais para índice de exclusão

Regimes Espaciais x Regiões Administrativas

Impacto de Regimes Espaciais n Análise de Regressão ¨ Idosos = f ( Domicílios Sem Esgoto) n Regressão Linear ¨ R 2 = 0, 35 n Regressão Espacial ¨ Regiões Adm (R 2 = 0, 72) ¨ Regimes Espaciais (R 2 = 0, 83) n Para dados socioeconômicos: ¨ modelo de regimes espaciais tende a apresentar resultados melhores que os de regressão simples ou de regressão espacial com efeitos globais.

Diagnóstico de modelos de efeitos espaciais n n n Análise gráfica dos resíduos Mapear os resíduos – concentração de resíduos negativos ou positivos em parte do mapa indica presença de autocorrelação espacial Índice de Moran dos resíduos Indicadores de qualidade de ajuste dos modelos baseados no coeficiente de determinação (R 2) serão incorretos. Utilização do AIC – critério de informação de Akaike, a avaliação do ajuste é penalizada por função do # de parâmentros

Comparação das regressões para SP n Longevidade X renda Regressão simples Spatial Lag Regimes espaciais (3) 0. 280 0. 586 0. 80 Log verossimilhança (LIK) -187. 92 -150. 02 -124. 04 AIC 379. 84 306. 51 260. 09 Indice Moran dos resíduos 0. 620 R 2 ajustado 0. 020

GWR – geographically weighted regression n Ajusta um modelo de regressão a cada ponto observado, ponderando todas as demais observações como função da distância a este ponto. Y(s) = (s)X + Y(s): variável que representa o processo no ponto s. (s): parâmetros estimados no ponto s. Quantitative Geography; A. S. Fotheringham, C. Brunsdon, M. Charlton, 2000 (print 2004)

GWR – geographically weighted regression n y = b 0 + b 1 x 1 + e # regressão simples com um preditor b 0 , b 1 é o mesmo para toda área Se existe alguma variação geográfica na relação essa variação fica incluída como erro. n y(u, v) = b 0(u, v) + b 1(u, v) x 1 + e(u, v) # GWR b 0(u, v), b 1(u, v) # para cada ponto do espaço há um b 0 e b 1 diferentes – n Existe uma função (kernel) sobre cada ponto do espaço que determina todos os pontos da regressão local que é poderada pela distância. Pontos mais próximos do ponto central tem maior peso. n Assim como o kernel – a escolha da largura da banda é importante n Há também o kernel adaptativo

GWR – geographically weighted regression n n Os parâmetros podem ser apresentados visualmente para identificar como se comportam espacialmente os relacionamentos entre as variáveis. Ex: Crescimento Pop. (dependente) X Densidade Pop. (independente)

GWR – geographically weighted regression n Ex: Crescimento Pop. (dependente) X Densidade Pop. (independente) n Mapa de resíduos (I = 0, 04) :

Softwares n Geo. Da ¨ n SPRING e Terraview ¨ n Regressão Clássica e Espacial (Spatial Lag & Spatial Error) R, a. RT + Terra. View ¨ n Índice de Moran, LISA maps Space. Stat ¨ n Índice de Moran, LISA maps, Regressão Clássica e Espacial (Spatial Lag & Spatial Error) Regressão Clássica, Espacial (Spatial Lag & Spatial Error) e GWR 3. 0 ¨ Regressão Clássica e Espacial (GWR)

Generalidades n Modelos estatísticos constituem ferramentas extremamente úteis para resumir e interpretar dados. Em particular, eles podem facilitar a avaliação da forma e da intensidade de associações de interesse em diversos tipos de estudos Revista Brasileira de Epidemiologia Vol 4, # 3, 2001

Generalidades n n n Por exemplo, consideremos estudo epidemiológico em que o objetivo é avaliar os efeitos da poluição atmosférica sobre a saúde dos habitantes de grandes centros urbanos. A variável resposta, nesses estudos, geralmente é alguma contagem de eventos que representam danos à saúde, como o número de óbitos ou o número de internações por determinada causa respiratória A concentração de alguns gases como NOX, SO 2 ou CO ou material particulado são candidatas a variáveis explicativas nesse tipo de estudo. Revista Brasileira de Epidemiologia Vol 4, # 3, 2001

Generalidades n Existem evidências teóricas quanto empíricas de que as possíveis variáveis respostas citadas acima são fortemente influenciadas por fatores sazonais e pelas condições climáticas, como a temperatura e a umidade do ar. que apresentam correlação temporal e espacial. n Entretanto, a maneira como esses fatores exercem sua influência sob o desfecho não é tão óbvia. As relações entre as diversas variáveis intervenientes podem não apresentar o mesmo comportamento ao longo de todos os valores do seu domínio e, mesmo se o apresentarem, a intensidade da associação pode não ser constante; por exemplo, o número de óbitos pode variar linearmente numa determinada faixa de valores de temperatura, e quadrática ou exponencialmente em outras. Revista Brasileira de Epidemiologia Vol 4, # 3, 2001

Generalidades n Dada a complexidade das relações de interesse, a escolha de modelos apropriados para a análise se reveste de bastante importância. n Por exemplo, modelos de regressão linear servem para investigar se uma variável reposta Y está associada com variáveis explicativas X 1, X 2, . . . , XN, mas este tipo de modelo avalia esta associação apenas sob a ótica linear. n Nem sempre é aquela que rege os fenômenos considerados. n E importante ter em mente que as suposições usualmente empregadas na análise dificilmente corresponderão à realidade de modo exato, por mais sofisticado que seja o modelo em questão. Revista Brasileira de Epidemiologia Vol 4, # 3, 2001

Generalidades n Aspectos a serem considerados nos estudos que avaliam os efeitos da poluição utilizando séries de contagens: ▪ distribuição da variável resposta ▪ presença de tendência e sazonalidade, ▪ variáveis de confundimento (geralmente temperatura e umidade), ▪ existência de defasagem entre o aumento da poluição e a ocorrência do evento ▪ possível existência de autocorrelação entre as observações medidas ao longo do tempo, do espaço, entre outros. Revista Brasileira de Epidemiologia Vol 4, # 3, 2001

Generalidades n n n No exemplo visto anteriormente, a variável resposta ou a variável de interesse é uma contagem (por exemplo, o número diário de óbitos ou de internações hospitalares). Essa resposta é supostamente influenciada pela concentração de poluentes na atmosfera, temperatura e umidade entre outros, que são as variáveis explicativas Um modelo bastante simples, amplamente utilizado na análise de dados, é o modelo de regressão linear gaussiana. Este modelo é interessante por sua simplicidade, interpretabilidade e boas propriedades dos estimadores de seus parâmetros Revista Brasileira de Epidemiologia Vol 4, # 3, 2001

Generalidades – n n Como o número de óbitos é uma contagem, nem sempre as suposições de normalidade e homocedasticidade dos erros inerentes a esses modelos gaussianos são satisfeitas. É possível utilizar métodos análogos àqueles desenvolvidos para o modelo de regressão linear gaussiana, em situações em que a variável resposta obedece a outras distribuições que não a Normal, ou em que a relação entre a variável resposta e as variáveis explicativas não é linear Revista Brasileira de Epidemiologia Vol 4, # 3, 2001

Generalidades n muitas das boas propriedades da distribuição Normal são partilhadas por uma larga classe de distribuições chamada de família exponencial de distribuições. n Muitas distribuições conhecidas pertencem a essa família, como a própria Normal, a Poisson, a Binomial, a Gama. n Para trabalhar com dados dessas famílias utiliza-se o Modelo Linear Generalizado ( GLM) Revista Brasileira de Epidemiologia Vol 4, # 3, 2001

O Modelo Linear Generalizado (MLG) n K valores independentes Y 1, . . . , YK, de uma variável resposta que segue uma distribuição da família exponencial, com valor esperado E(Yi) = μi; n K vetores Xi= (1 Xi 2 …. Xip)t, i=1, . . . , K, contendo os valores das p variáveis explicativas; n Uma função monotônica e diferenciável g, chamada de função de ligação, tal que g(μi) = xitβ, i=1, . . . , K , com β = (β 1 β 2 … βp) representando o vetor de parâmetros a serem estimados. Revista Brasileira de Epidemiologia Vol 4, # 3, 2001

O Modelo Linear Generalizado (MLG) n n n Os modelos lineares generalizados englobam os modelos de regressão linear simples e múltipla, regressão logística, regressão de Poisson e muitos outros. Se g é a função identidade, isto é, se g(μi) = μi, então μi = E(Yi) = xitβ, e o modelo resultante, com algumas suposições adicionais, é o modelo de regressão linear gaussiana visto anteriormente. Se g é a função logarítmica e Yi tem distribuição de Poisson, o modelo resultante é o modelo de regressão de Poisson, comumente utilizado para avaliar efeitos da poluição entre outras aplicações Revista Brasileira de Epidemiologia Vol 4, # 3, 2001

O Modelo Aditivo Generalizado (GAM) n O modelo aditivo generalizado é uma extensão do modelo linear generalizado, em que o termo xitβ = é substituído por , com fj(Xij) denotando uma função não paramétrica (i. e. cuja forma não é especificada) estimada através de curvas de alisamento. n Com essa substituição, não é necessário assumir uma relação linear entre g(μi) e as variáveis explicativas, como no GLM. Revista Brasileira de Epidemiologia Vol 4, # 3, 2001

Modelos Lineares Generalizados Mistos n n Esses modelos, também denominados de modelos de efeitos aleatórios, hierárquicos, são modelos estatísticos que contém efeitos fixos e efeitos aleatórios. É uma extensão dos modelos lineares generalizados onde o preditor linear contém efeitos aleatórios além dos efeitos fixos usuais.