Anlise Espacial de reas Regresso Anlise Espacial de

Análise Espacial de Áreas: Regressão Análise Espacial de Dados Geográficos SER-303 Novembro/2005 (Flávia Feitosa)

Análise de Regressão n Descreve ou estima uma variável dependente (Y) a partir de seu relacionamento com variáveis independentes (X) ¨ n Ex: Y = a. X + b Objetivos Determinar como (e se) duas ou mais variáveis se relacionam. ¨ Descrever como as variáveis se relacionam (função). ¨ Prever valores futuros da variável dependente (Y). ¨

Regressão Linear Simples Y i = 0+ 1 X i + i Yi é o valor da variável dependente na i-ésima observação; 0 e 1 são parâmetros; Xi é uma constante conhecida; é o valor da variável independente na iésima observação; i é um termo de erro aleatório com distribuição normal, média zero e variância constante 2 (E( i )=0 e 2 ( i )= 2 ) i e j são não correlacionados (independentes) para i j

Modelo de Regressão Linear Inclinação Intercepto Populacional Variável Independente Yi= 0+ 1 Xi + i Variável Dependente Yi Y i 1 Erro Aleatório Y = E(Y) = 0 + 1 X Coeficiente angular Ŷi=b 0+b 1 Xi Modelo estimado i =Yi-Ŷi Resíduo 0 X

Regressão Linear Múltipla Yi= 0+ 1 Xi 1 + 2 Xi 2 +…+ p. Xip + i Yi é o valor da variável dependente na i-ésima observação 0, …, p são parâmetros Xi 1 , …, Xip são os valores das variáveis independentes na i-ésima observação i é um termo de erro aleatório com distribuição normal, média zero e variância constante 2 (E( i )=0 e 2 ( i )= 2 ) i e j são não correlacionados (independentes) para i j

Coeficiente de Determinação n Análise de Variância SQTo = SQReg + SQRes n Coeficiente de determinação: R 2=SQReg/SQTo Proporção da variância total de Y que é “explicada” pela equação de regressão. ¨ Varia entre 0 e 1 ¨ Quanto mais próximo de 1, melhor o ajuste do modelo. ¨

Análise da Aptidão do Modelo Análise dos Resíduos – Verificar: ¨ Se função de regressão é linear Resíduo n 0 X Não Linearidade

Análise da Aptidão do Modelo Análise dos Resíduos – Verificar: ¨ Se os erros possuem variância constante (homocedasticidade) Variância Não Constante Resíduo n 0 X

Análise da Aptidão do Modelo Análise dos Resíduos – Verificar: ¨ Se os erros são independentes Resíduo n 0 X Erros Correlacionados

Análise da Aptidão do Modelo n Análise dos Resíduos – Verificar: ¨ A presença de outliers Gráfico dos Resíduos

Análise da Aptidão do Modelo n Análise dos Resíduos – Verificar: ¨ Se erros são normalmente distribuídos

Análise da Aptidão do Modelo Análise dos Resíduos – Modelo Adequado: Resíduo n 0 X

Análise da Aptidão do Modelo n Análise dos Resíduos : DADOS ESPACIAIS ¨ Hipótese de independência das observações em geral é Falsa Dependência Espacial ¨ Efeitos Espaciais n ¨ Se existir forte tendência ou correlação espacial, os resultados serão influenciados, apresentando associação estatística onde não existe (e vice-versa). Como verificar? n Medir a autocorrelação espacial dos resíduos da regressão (Índice de Moran dos resíduos)

Exemplo São José dos Campos Crescimento Populacional 91 -00 X Densidade Populacional 91 n Índice de Moran sobre mapa de resíduos I=0, 45 n Testes de pseudosignificância indicam autocorrelação espacial

Regressão Espacial n Autocorrelação espacial constatada! E agora? n Modelos de regressão que incorporam efeitos espaciais: Globais: utilizam um único parâmetro para capturar a estrutura de correlação espacial ¨ Locais: parâmetros variam continuamente no espaço ¨

Modelos com Efeitos Espaciais Globais n Suposição: ¨ n É possível capturar a estrutura de correlação espacial num único parâmetro (adicionado ao modelo de regressão). Alternativas: Spatial Lag Models: atribuem a autocorrelação espacial à variável dependente Y. ¨ Spatial Error Models: atribuem a autocorrelação ao erro. ¨

Spatial Lag Model n Suposição ¨ a variável yi depende dos valores da variável dependente nas áreas vizinhas a i: Y = WY + X + = medida de correlação espacial ¨ = 0, se autocorrelação é nula ¨ W = matriz de proximidade espacial ¨

Spatial Error Model n Efeitos espaciais são um ruído Y = X + = W + ξ ¨ W = erro com efeitos espaciais ¨ = medida de correlação espacial ξ = componente do erro com variância constante e não correlacionada. ¨

Spatial Lag Model X Spatial Error Model n Motivações diferentes, porém próximos em termos formais. n Premissa: processo espacial analisado é estacionário e pode ser capturado em um único parâmetro. n Porém isto nem sempre é verdade! Verificar se padões diversos de associação espacial estão presentes. ¨ Indicadores Locais de Autocorrelação Espacial ¨

Indicadores Locais de Variabilidade Espacial n distribuição dos valores de correlação local para o índice de exclusão % Exclusão Não significantes p = 0. 05 [95% (1, 96 s)] p = 0. 01 [99% (2, 54 s)] p = 0. 001 [99, 9% (3, 2 s)]

Modelos com Efeitos Espaciais Locais n Modelos de Regressão com Efeitos Espaciais Discretos variações espaciais modeladas de maneira discreta. ¨ Regimes espaciais ¨ n Modelos de Regressão com Efeitos Espaciais Contínuos variações espaciais modeladas de forma contínua, com parâmetros variando no espaço. ¨ “Geographically Weighted Regression” – GWR. ¨

Regimes Espaciais n Regionalizações da área de estudo n Diferentes tipos de variabilidade espacial n Métricas: Diagrama de espalhamento e índices locais e globais n Ex: Regimes espaciais para índice de exclusão

Regimes Espaciais x Regiões Administrativas

Impacto de Regimes Espaciais n Análise de Regressão ¨ n Regressão Linear ¨ n Idosos = f ( Domicílios Sem Esgoto) R 2 = 0, 35 Regressão Espacial Regiões Adm (R 2 = 0, 72) ¨ Regimes Espaciais (R 2 = 0, 83) ¨ n Para dados socioeconômicos: ¨ modelo de regimes espaciais tende a apresentar resultados melhores que os de regressão simples ou de regressão espacial com efeitos globais.

GWR – geographically weighted regression n Ajusta um modelo de regressão a cada ponto observado, ponderando todas as demais observações como função da distância deste ponto. Y(s) = (s)X + Y(s): variável que representa o processo no ponto s. (s): parâmetros estimados no ponto s.

GWR – geographically weighted regression n n Os parâmetros podem ser apresentados visualmente para identificar como se comportam espacialmente os relacionamentos entre as variáveis. Ex: Crescimento Pop. (dependente) X Densidade Pop. (independente)

GWR – geographically weighted regression n Ex: Crescimento Pop. (dependente) X Densidade Pop. (independente) n Mapa de resíduos (I = 0, 04) :

Softwares n Geo. Da ¨ n SPRING e Terraview ¨ n Regressão Clássica e Espacial (Spatial Lag & Spatial Error) R, a. RT + Terra. View ¨ n Índice de Moran, LISA maps Space. Stat ¨ n Índice de Moran, LISA maps, Regressão Clássica e Espacial (Spatial Lag & Spatial Error) Regressão Clássica, Espacial (Spatial Lag & Spatial Error) e GWR 3. 0 ¨ Regressão Clássica e Espacial (GWR)