ANALZA ROZPTYLU prof Ing Zlata Sojkov CSc 1

ANALÝZA ROZPTYLU prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 1

Analýza rozptylu • V praxi často je potrebné porovnávať väčší počet nezávislých náhodných výberov z hľadiska úrovne, t. zn. zaujíma nás hypotéza: pre aspoň jeno i (i = 1, 2, …m) pre m > 2, kde i , i =1, 2, …m sú stredné hodnoty z normálne rozdelených základných súborov s rovnakým rozptylom 2 , t. j. N( , 2) • K overeniu tejto hypotézy sa používa dôležitá štatistická metóda, nazývaná Analýza rozptylu, skrátene ANOVA (resp. AR) prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 2

• V praxi sa AR používa vtedy, ak skúmame vplyv jedného resp. viacerých faktorov (ošetrení) na skúmaný štatistický znak • Faktory budeme označovať A, B, …a v AR ich budeme zohľadňovať len ako kvalitatívne znaky s rôznymi obmenami - úrovňami faktora • výsledný štatistický znak bude kvantitatívny a označíme ho Y • najčastejšie sa AR používa pri vyhodnocovaní biologických experimentov • Všimneme si najjednoduchší prípad AR s jedným faktorom, ktorú nazývame jednofaktorová AR prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 3

• Úrovňou faktora budeme označovať: – určité množstvo kvantitatívneho faktora, napr. množstvo dávok čistých živín pri hnojení, rôzne príjmové skupiny domácností, – určitý druh kvalitatívneho faktora, napr. rôzne odrody tej istej plodiny, spôsoby umiestnenia výrobkov v predajni, • AR je zovšeobecnením Studentovho t-testu pre nezávislé výbery • AR zároveň skúma vplyv kvalitatívneho faktora (faktorov) na výsledný kvantitatívny znak - teda analyzuje vzťahy medzi znakmi prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 4

Schéma jednofaktorového experimentu riadkov ý súčet riadkový priemer “vyvážený pokus” opakovania Úrovne faktora A 1 2 … i … m 1 y 11 y 21 yi 1 ym 1 2… j… y 12 y 1 j y 22 y 2 j ………. . yi 2 yij ………. . ym 2 ymj Celkový súčet prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. n y 1 n y 2 n Yi. Y 1. Y 2. yi. y 1. y 2. yin Yi. ymn Ym. ym. Y. . y. . celkový 5 priemer

riadkový súčet: celkový súčet: riadkový priemer: celkový priemer: prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 6

Model pre výslednú napozorovanú hodnotu: kde i = 1, 2, …, m j = 1, 2, …, n Kde - očakávaná hodnota pre všetky úrovne faktora a napozorované hodnoty, i - efekt i-tej úrovne faktora A eij - náhodná chyba, ktorým je každé meranie zaťažené, resp. výsledok vplyv náhodných činiteľov prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 7

alebo Nulovú hypotézu potom môžme formulovať aj nasledovne: Ho : 1 = 2 =… i = m = 0 t. j. že efekty všetkých úrovni faktora A sú nulové, teda nepreukazné, oproti alternatívnej hypotéze H 1: i 0 pre aspoň jedno i (i = 1, 2…m) efekt i aspoň jednej i - úrovne faktora je preukazný, významne odlišný od nuly prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 8

Odhadmi jednotlivých parametrov sú nasledovné výberové charakteristiky: čo môžme prepísať: prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 9

Porovnanie dvoch experimentov s tromi úrovňami faktora 1 2 3 1 prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 2 3 10

Princíp Analýzy rozptylu Podstata analýzy rozptylu spočíva v rozklade celkovej variability výsledného skúmaného znaku Sc Celková variabilita S 1 Variabilita medzi úrovňamifaktora, spôsobená pôsobením faktora A, “variabilita medzi triedami, riadkami” prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. Sr Variabilita náhodná, reziduálna, “vo vnútri tried 11

prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 12

ANOVA Variabilita medzi triedami Reziduálna variabilta Celková variabilita 3 2 1 Súčet štvorcov Stupne Priemerný štvorec voľnosti odchýlok (1/2) m-1 s 12 m. n - m sr 2 S 1 4 F-krité rium Sr Sc N-1= m. n-1 prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 13

Testovacie kritérium možno pre jednofoktorovú AR - vyvážený pokus zapísať podrobne vzťahom: Hodnotu F testovacieho kritéria porovonáme s príslušnou tabuľkovou hodnotou F-rozdelenia: F , pre stupne voľnosti (m-1) a (m. n - m) prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 14

Rozhodnutie o výsledku testu: • Ak F vyp F. ((m-1, (N-m)) Ho zamietame, v takom prípade je aspoň efekt jednej úrovne faktora preukazný, teda priemerna úroveň ukazovateľa sa štatisticky významne líši od ostatných. Resp. aspoň jeden efekt i je štatisticky významne odlišný od nuly. Ak F vyp F Ho nezamietame Obor nezamietnutia Ho prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. F kritický obor, obor zatnutia H 0 15

Ak nulovú hypotézu zamietame: • Zistili sme len, že je preukazný vplyv faktora na skúmaný znak, • ďalej je potrebné skúmať medzi ktorými úrovňami faktora je a medzi ktorými nie je preukazný rozdiel - k tomúto účelu sa používajú testy kontrastov • Medzi testy kontrastov patria: Duncanov test, Scheffeho test, Tuckey test a iné…. . prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 16

Podmienky použitia AR: • Výbery pochádzajú z normálnych rozdelení, narušenie tohto predpokladu nemá podstatnejší vplyv na výsledky AR • štatistická nezávislosť náhodných chýb eij • zhodné reziduálne rozptyly 12 = 22 = …. = 2 , t. j. D(eij) = 2 pre všetky i = 1, 2…. , m, j=1, 2, …n tento predpoklad je závažnejší a možno ho overovať Cochranovým, resp. Bartlettovým testom prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 17

Schéma jednofaktorového experimentu “nevyvážený pokus” Úrovne faktora Rôzny počet opakovaní A 1 2… j … 1 y 12 y 1 j. . . 2 y 21 y 22 y 2 j. . . … ………. . i yi 1 yi 2 yij. . . … ………. . m ym 1 ym 2 ymj. . . Kde prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. riadkový súčet priemer ni n 1 n 2 Yi. Y 1. Y 2. yi. y 1. y 2. ni Yi. yi. nm Ym. ym. Y. . y. . celkový 18 priemer

ANOVA Variabilita medzi triedami Reziduálna variabilta Celková variabilita 3 2 1 Súčet štvorcov Stupne Priemerný štvorec voľnosti odchýlok (1/2) m-1 s 12 N-m sr 2 S 1 4 F-krité rium Sr N-1 S prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 19

prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 20

Dvojfaktorová analýza rozptylu bez opakovania • Uvažujme vplyv faktora A, ktorý skúmame na m úrovniach, i = 1, 2, …. , m • ďalej uvažujme faktor B, ktorý sledujeme na n úrovniach , j = 1, 2, …, n • na každej i-tej úrovni faktora A a j-tej úrovni faktora B máme len jedno pozorovanie (opakovanie) yij • overujeme tak vplyv dvoch nulových hypotéz prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 21

Schéma dvojfaktorového experimentu s jedným pozorovaním v každej podtriede DAR B m-úrovní faktora A A 1 2 … i … m Stĺpcové súčty stĺpcové priemery n-úrovní faktora B 1 y 11 y 21 ym 1 2 … j … y 12 y 1 j y 22 y 2 j ………. . yi 2 yij ………. . ym 2 ymj Y. 1 y. 1 Y. 2. . . Y. j. . . Y. 1 y. 2. . . y. j. . . y. 1 yi 1 prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. n y 1 n y 2 n riadkové súčty Yi. Y 1. Y 2. yi. Y 1. y 2. yin Yi. ymn Ym. Riadkové priemery ym. celkový Y. . priemer y. . 22

Model pre skúmaný znak môžme zapísať Overujeme platnosť dvoch nulových hypotéz Hypotéza pre faktor A: Ho 1: 1 = 2 =… i = m = 0 t. j. že efekty všetkých úrovni faktora A sú nulové, teda nepreukazné, oproti alternatívnej hypotéze H 11 : i 0 pre aspoň jedno i (i = 1, 2…m) efekt i aspoň jednej i - úrovne faktora je preukazný, významne odlišný od nuly prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 23

Hypotéza pre faktor B: Ho 2: 1 = 2 =… j = n = 0 t. j. že efekty všetkých úrovni faktora B sú nulové, teda nepreukazné, oproti alternatívnej hypotéze H 12 : j 0 pre aspoň jedno j (j = 1, 2…m) efekt j aspoň jednej j - úrovne faktora B je preukazný, významne odlišný od nuly prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 24

DAR Variabilita medzi riadkami 1 Súčet štvorcov odchýlok S 1 2 Stupne voľnosti 3 Priem. štvorec (1/2) m-1 s 12 n-1 s 22 Variabilita medzi stĺpcami S 2 Reziduálna variabilta Sr (m-1)(n-1) Celková variabilita Sc m. n -1 prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 4 F-krité rium sr 2 25

Rozklad celkovej variability skúmaného znaku: S c= S 1 + S 2 + S r Variabilita medzi riadkami, vplyv faktora A Variabilita medzi stĺpcami, vplyv faktora B Reziduálna variabilita Celková variabilita prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 26

Dvojfaktorová analýza rozptylu s opakovaním • Uvažujme vplyv dvoch faktorov: faktora A, ktorý skúmame na m - úrovniach, i = 1, 2, …. , m a faktora B, ktorý sledujeme na n - úrovniach , j = 1, 2, …, n • Skúmame nielen individuálny vplyv daných faktorov, ale aj ich vzájomné pôsobenie (interakciu) • Pre každú kombináciu úrovní máme viac pozorovaní (opakovaní) yij • Overujeme tak vplyv troch nulových hypotéz prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 27

Schéma dvojfaktorového experimentu s interkaciou prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 28

prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 29

Testy kontrastov • v prípade, že H 0 zamietame, zaujíma nás, medzi ktorými strednými hodnotami existujú štatisticky významné rozdiely • existuje široká škála testov zameraná na viacnásobné porovnanie výberových priemerov • je možné vytvoriť m*(m-1)/2 kontrastov prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 30

Testy kontrastov 1. 2. 3. 4. 5. Fischerov LSD test Duncanov test Student-Newman-Keulsov test Tukeyho test Scheffeho test prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 31

Fischerov LSD test • LSD = Least Significant Difference • je založený na t-teste • štatisticky významný rozdiel je potvrdený, ak platí vzťah: • kde: kritická hodnota t rozdelenia pri m(n -1) stupňoch voľnosti prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 32

Duncanov test • štatisticky významný rozdiel je potvrdený, ak platí vzťah: • kde: tabuľovaná hodnota Duncanovho testu pre daný počet rozdielov a pri reziduálnom stupni voľnosti prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 33

Student-Newman-Keulsov test • štatisticky významný rozdiel je potvrdený, ak platí vzťah: • kde: tabuľovaná hodnota Student. Neumannovho - Keulsovho testu pre daný počet porovnávaných rozdielov a pri reziduálnom stupni voľnosti prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 34

Tukeyho test • štatisticky významný rozdiel je potvrdený, ak platí vzťah: • kde: tabuľovaná hodnota Tukeyho testu. prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 35

Scheffeho test • štatisticky významný rozdiel je potvrdený, ak platí vzťah: • kde: kritická hodnota F rozdelenia pri (m -1) a m(n-1) stupňoch voľnosti prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 36

Ktorý test použiť? Test Sila testu (1 -β) LSD najvyššia Duncan Student. Newman-Keuls Tukey Scheffe viac konzervatívny, , menej pravdepodobné, že bude objavený skutočný rozdiel najnižšia prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. Chyba I. druhu (α) najvyššia viac pravdepodobné, , že bude určený nesprávny rozdiel najnižšia 37

Ktorý test použiť? • závisí, ktorý typ chyby je akceptovateľnejší z hľadiska analýzy daného problému, t. j. neurčenie rozdielu, ak skutočne existuje, resp. určenie rozdielu, ktorý neexistuje. prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 38

prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 39

Testy kontrastov - Statgraphics • Multiple Range Tests Method: 95, 0 percent LSD Count Col_4 5 Col_3 5 Col_1 5 Col_2 5 Mean 303, 8 337, 0 344, 2 349, 8 Homogeneous Groups X XX X X Contrast Sig. Difference +/- Limits Col_1 - Col_2 -5, 6 38, 7085 Col_1 - Col_3 7, 2 38, 7085 Col_1 - Col_4 * 40, 4 38, 7085 Col_2 - Col_3 12, 8 38, 7085 Col_2 - Col_4 * 46, 0 38, 7085 Col_3 - Col_4 33, 2 38, 7085 * denotes a statistically significant difference. prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 40

Testy kontrastov - Statgraphics prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 41

Overenie zhody variability • predpokladáme, že skúmané výberové súbory majú približne normálne rozdelenie a rozdiely rozptylov medzi testovanými skupinami sú nepreukazné. • H 0: • Testy: – Cochranov test – Hartleyov test – Bartlettov test prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 42

Cochranov test • je ho vhodné použiť, ak u skúmaných výberových súborov sú značné rozdiely medzi rozptylmi • testovacia charakteristika: • ak G ≥ Gα, m, n-1 → H 0 zamietame • Gα, m, n-1 - tabuľková hodnota pri m a n-1 stupňoch voľnosti prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 43

Bartlettov test • spočíva v porovnávaní aritmetického a geometrického priemeru rozptylov. Ak sú rozptyly rovnaké, potom aj priemery sú rovnaké. • testovacia charakteristika: ki = ni-1 m – počet výberových súborov ni – rozsah i-teho výberového súboru Ak χ2 χ2(m-1), potom H 0 zamietame prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 44

prof. Ing. Zlata Sojková, CSc. 45