Analisi delle osservazioni II parte Lezioni di Fondamenti

Analisi delle osservazioni II parte Lezioni di Fondamenti e metodi per l’analisi empirica nelle scienze sociali

Descrizione e spiegazione Descrizione v. Analisi statistica monovariata (misure di sintesi e misure di dispersione) v. Modelli probabilistici v. Distribuzioni note di probabilità (uniforme, normale, ecc. ) 2 Spiegazione v Analisi bivariata v Analisi multivariata Relazione tra due o più fenomeni sociali g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

Analisi delle osservazioni Caratteristiche logicomatematiche Informazioni 3 Procedura Analisi Dati g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

Descrizione Matrice casi per variabili: �l’unità di analisi deve essere sempre la stessa �su tutti i casi deve essere rilevata la stessa informazione Codifica Operazione di traduzione del materiale empirico grezzo in matrice dati 4 g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

Esempio matrice dati o casi per variabili 5 g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

(segue) Distribuzione di frequenza = una rappresentazione nella quale ad ogni valore della variabile viene associata la frequenza con la quale esso si presenta nei casi analizzati (Marradi, 1999) Frequenze 6 Assolute Relative Numero dei casi che presentano quel valore (Valore assoluto) Rapporto dei casi al totale del campione (percentuale per comparazione) g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

Esempio 7 g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

Analisi monovariata Misure di sintesi Moda, Mediana e Media 8 g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

Misure di sintesi e variabili Ogni variabile ha la sua misura di sintesi = BARICENTRO dei suoi valori. q MODA: modalità che si presenta con maggior frequenza; variabili nominali; q MEDIANA: modalità del caso che occupa il posto di mezzo nella distribuzione ordinata dei casi secondo quella variabile; variabili ordinali; N dispari = N+1/2; N pari = N/2 e N/2 + 1; q MEDIA: somma dei valori assunta dalla variabile su tutti i casi divisa per il numero di casi; variabili cardinali. 9 g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

Rappresentazioni grafiche delle distribuzioni Nominali • Diagrammi a barre • Diagrammi di composizione 10 Cardinali • Istogramma • Poligono di frequenza g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

Per le variabili nominali 11 g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

Per le variabili cardinali I s t o g r a m m a 12 g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

(segue) Poligono di frequenza 13 g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

Relazioni tra variabili Si osserva una covariazione tra due fenomeni, ossia che variano insieme; es. : al variare del titolo di studio varia il reddito. Due considerazioni: 1. Si tratta di relazioni statistiche, ossia di tipo probabilistico: è più probabile che un individuo con laurea guadagni di più, ma possono esserci eccezioni; 2. La ricerca consente di osservare la covariazione, ma la interpretazione causale spetta al ricercatore: “covariazione non significa causazione”. 14 g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

Dipendente / Indipendente • classe Variabile dipendente sociale /orientamento politico; • educazione /pregiudizio razziale; • età / atteggiament o religioso Variabile indipendente 15 g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

In linea generale parliamo di RELAZIONE (o covariazione). Tecniche di analisi bivariata Variabile indipendente Più precisamente: se la relazione è tra variabili nominali parliamo di associazione; Ø V. Dipendente Nominale Tavole di contingenza Cardinale Analisi della varianza 16 Cardinale se la relazione è tra variabili ordinali parliamo di cograduazione; Ø Regressione e Correlazione g. fanci@unimc. it se la relazione è fra variabili cardinali parliamo di correlazione; Ø A. A. 2015 - 2016

Tavole di contingenza: associazione � Occorre innanzitutto osservare congiuntamente le due distribuzioni di frequenza Ossia bisogna organizzare le osservazioni in una tabella a doppia entrata (o tavola di contingenza) in grado di mostrare congiuntamente le modalità delle due variabili 17 g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

Esempio tavola di contingenza (contingent in inglese significa “condizionata” ) W = gradimento (dipendente); X = genere (indipendente) W 18 X Basso w 1 Medio w 2 Alto w 3 somma S Femmina x 1 4 (n 1, 1) 3 (n 1, 2) 4 (n 1, 3) 11 n 1. Maschio x 2 4 (n 2, 1) 2 (n 2, 2) 3 (n 2, 3) 9 n 2. somma S 8 n. 1 5 n. 2 7 n. 3 20 N g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

Riflessioni sulla tabella � Distribuzione congiunta di X e di W: frequenze congiunte assolute N con doppio pedice; � Distribuzione marginale di X: la prima e l’ultima colonna eliminando l’effetto di W; � Distribuzione marginale di W: la prima e l’ultima riga eliminando l’effetto di X; � Percentuali di riga; � Percentuali di colonna. 19 g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

Esempio: Pratica religiosa per età (Corbetta, 1999, Fonte Itanes, 1996) 20 g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

Come scegliere la percentuale? � Si sceglie la percentuale di colonna quando si vuole analizzare l’influenza che la variabile posta in colonna ha sulla variabile posta in riga; � Si sceglie la percentuale di riga quando si vuole analizzare l’influenza che la variabile posta in riga ha sulla variabile posta in colonna Si definisce qual è la variabile indipendente e si percentualizza all’interno della sua modalità. 21 g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

Regressione: correlazione Se la relazione interessa due variabili cardinali parliamo di correlazione e ci serviamo della retta di regressione come modello matematico. Rappresentazione grafica: piano cartesiano: cartesiano � Sulla retta orizzontale – chiamata delle ascisse – si pone, per convenzione, convenzione la variabile che si assume essere indipendente, talvolta detta esplicativa; esplicativa � Sulla retta verticale – chiamata delle ordinate – si pone, per convenzione, convenzione la variabile che si assume essere dipendente. 22 g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

0 = punto di origine P è la mia osservazione che presenta stato 5 per la variabile che assumo essere indipendente e 7 per la variabile che assumo essere dipendente 23 g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

Grafico di dispersione 24 g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

Retta regressione (segue) 25 g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

Diagrammi dispersione La scelta del modello matematico appropriato è suggerita dal modo in cui si distribuiscono i valori delle due variabili nel diagramma di dispersione 26 g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

Relazione lineare bivariata “Regrediamo” Y rispetto ad X Regressione bivariata, in termini algebrici Y = a + b. X Dove a indica una costante, punto in cui la retta “intercetta” o incrocia l’asse verticale; b indica il coefficiente di regressione, ossia l’inclinazione della retta; Si dice che la retta interpola, meglio di altre forme, i punti (le osservazioni) e sintetizza la nuvola. 27 g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

Equazione predittiva Predire Y da X Posso conoscere la variazione di Y se, come e quando varia X Valore assunto da Y per ciascuna osservazione i è funzione lineare esatta del corrispondente valore di X Ŷi = a + byx Xi 28 g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

Modello di regressione lineare La difficoltà maggiore è quella di non riuscire a rappresentare relazioni bivariate con una retta perfettamente interpolante. occorre stimare le deviazioni dalla predizione lineare Yi = a + byx Xi + ei Dove ei rappresenta la porzione di valore di Y per l’osservazione i che non è predetta dalla sua relazione lineare con X. 29 g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

Y e 1 X Valore osservato i-esimo Valore medio della distribuzione Valore predetto i-esimo Errore i-esimo A. A. 2015 - 2016 g. fanci@unimc. it 30

Y e 1 X e 1 10 – 12 = (10 – 5) + (5 – 12) A. A. 2015 - 2016 g. fanci@unimc. it 31

Errore o residuo Si chiama residuo per indicare lo scarto fra il valore atteso o predetto dall’equazione di regressione e il valore effettivamente osservato Y–Ŷ=e Y – Ŷ = [a + byx Xi + ei ] – [a + byx Xi ] = ei 32 g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

Stima della equazione di regressione stimare valori dei due coefficienti con le osservazioni le stime di a e bxy devono minimizzare gli errori, “fare sì che gli errori di predizione prodotti da quella equazione siano minori di quelli prodotti da qualsiasi relazione lineare” (Knoke) I due coefficienti devono soddisfare il criterio dei minimi quadrati: quadrati “la migliore retta sia quella che rende minima la somma delle differenze al quadrato tra i valori di yi realmente osservati e i corrispondenti valori che la retta stessa fornisce per i diversi valori di xi osservati” 33 g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

Retta detta anche dei minimi quadrati � La somma dei residui è sempre = 0, se la elevo al quadrato il valore sarà sempre positivo � “Sommando le differenze al quadrato fra ogni valore osservato di Yi e il corrispondente valore Ŷi predetto dall’equazione di regressione prescelta si dovrebbe ottenere una quantità minore di quella che si otterrebbe utilizzando qualsiasi altra equazione di regressione lineare” (Knoke) 34 g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

Devianza spiegata e devianza non spiegata 35 g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

Coefficiente ρ di Bravais Pearson Il coefficiente di correlazione lineare ρ misura l’intensità del legame lineare (interpretabile graficamente da una retta) tra due variabili cardinali X e Y, ovvero il grado di proporzionalità esistente tra X e Y. Si calcola come rapporto tra covarianza tra X e Y e il rapporto degli scarti quadratici medi: ρxy = covxy σx σy ρ = + 1, correlazione perfetta positiva ρ = - 1 , correlazione perfetta negativa 36 g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

Esempi grafici di dispersione 37 g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

(segue) 38 g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

(segue) 39 g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

Coefficiente di determinazione Corrisponde a ρ di Pearson al quadrato, fornisce la stima della varianza spiegata di una variabile da parte dell’altra. ρ2 = σ x y 2 σ x 2σ y 2 0 > ρ2 > 1 È una misura della capacità della retta di regressione di rappresentare la nube di punti del diagramma di dispersione. Quanto più i punti sono lontani dalla retta tanto più ρ2 tende a 0; più sono vicini più si approssima a 1. ρ2 = 0, la retta non è la rappresentazione migliore, forse la relazione c’è ma è più adeguata un’altra figura. 40 g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016

(segue) 41 g. fanci@unimc. it A. A. 2015 - 2016