Il problema dei fondamenti I fondamenti della geometria

Il problema dei fondamenti I fondamenti della geometria : da Euclide alle geometrie non euclidee La matematica tra ‘ 800 e ‘ 900: la crisi dei fondamenti Dalla crisi dei fondamenti alla concezione attuale : le teorie formali 05/06/2021 La geometria delle trasformazioni : Il programma di Klein

Inquadramento storico: 1800 IIn a Divorzio tra scienza e filosofia In ambito scientifico si realizza: Frantumazione in ricerche sperimentali e teoriche Nascita di innumerevoli branche Poche ma significative connessioni (rapporti frammentari) tra le varie branche Nascono nel 1812 : chimica Elettrolisi pila di Volta magnetismo Teoria analitica della probabilità Concetto di campo e meccanica statistica elettricità Teoria atomistica matematica

-Crisi del positivismo e meccanicismo 1850 -Piena autonomia tra pensiero filosofico e scientifico con lacerazioni profonde -Costruzione del fondamento di una collaborazione proficua fine 1800 La matematica : Tende a divenire la scienza di ciò che è logicamente possibile svincolandosi da ogni ipotesi intorno allo spazio reale anticipa modelli e strutture che la fisica ha utilizzato solo più tardi sviluppa al suo interno settori autonomi di indagine sviluppa un livello di astrazione base di un nuovo processo di unificazione attuato non a livello di contenuti ma di strutture formali sempre più generali

PROBLEMA CHIARIRE LA CONSISTENZA DELLE BASI LOGICHE SU CUI GARANTIRE LA VALIDITA’ CONOSCITIVA DELLE TEORIE E DEI RISULTATI Richieste di revisione e superamento PROBLEMA DEI FONDAMENTI

NON ESISTE VIA REGIA ALLA GEOMETRIA GLI ASSIOMI DI EUCLIDE • I E’ possibile condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto • II E’ possibile prolungare illimitatamente una retta finita in una retta • III E’ possibile descrivere un cerchio con centro e distanza qualsiasi • IV Tutti gli angoli retti sono congruenti tra loro • V Se in un piano una retta, intersecando due altre rette, forma con esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti, allora queste due rette, indefinitamente prolungate, finiscono con l’incontrarsi dalla parte data • Pare che Euclide esitasse ad usare il quinto postulato: i primi 28 teoremi del libro I sono dimostrati senza farvi ricorso……. .

Nei 2100 anni successivi alla pubblicazione degli Elementi, filosofi e matematici si sono chiesti spesso, a proposito del quinto postulato, se sia o non sia da includere tra gli assiomi fondamentali. All’inizio sembrava un problema estetico, visto che l’enunciato, la cui verità non veniva comunque messa in dubbio, aveva l’aria da teorema e quest’impressione era rafforzata dal fatto che l’enunciato inverso era effettivamente un teorema (Il t. 17: In ogni triangolo la somma di due angoli, comunque presi, è minore di due retti )…. . Ci si convinse quindi che il quinto postulato richiedeva una dimostrazione……Ecco che iniziarono i tentativi di dimostrazione che rientrarono tutti in questo schema: Sostituire il V postulato con un assioma più soddisfacente Lasciare immutati gli altri fondamenti di Euclide Dimostrare il V postulato Oggi sappiamo che qualunque postulato sostitutivo con cui poi si dimostri il V postulato, è logicamente equivalente ad esso!! jj Il tentativo più serio di dimostrare il V postulato fu fatto da padre Gerolamo Saccheri (1667 -1733): egli ebbe il merito di aver primo impostato la questione in termini veramente corretti dal punto di vista logico, anche se poi non fu altrettanto corretto nella conclusione Tutti questi tentativi hanno arricchito la geometria con la scoperta di molti teoremi e in particolare, studiando bene la GEOMETRIA NEUTRALE, quella cioè dove valgono i termini primitivi, i primi quattro postulati e le definizioni comuni , si è visto che in un’ipotetica geometria dove non valesse il quinto postulato non sarebbero nemmeno valide le proposizioni ad esso equivalenti, in particolare: • per un punto non si potrebbe condurre una sola parallela ad una retta • non esisterebbero figure simili • la somma degli angoli interni al triangolo non sarebbe uguale a due retti

ESEMPIO DI DIMOSTRAZIONE PER STIMOLARE UNA DISCUSSIONE IN CLASSE: T. La somma degli angoli interni di un triangolo è pari a due angoli retti C c c' c ‘' a A d' d'' b D B Considerato il triangolo ABC, indichiamo con x la somma dei suoi angoli interni a, b, c Detto D un qualunque punto del lato BC, indichiamo con c’ e c’’ le due parti in cui CD divide l’angolo c e con d’ e d’’ gli angoli che CD forma con AB Si ha: (1) a+b+c’+c’’=x (2) a+c’+d’=x e, con riferimento ai triangoli ACD e BCD, si ha (3) b+c’’+d’’=x e, poiché (4) d’+d’’=2 retti, sommando membro a membro la (2) e la (3), si ha: a+c’+d’+b+c’’+d’’=2 x, che tenendo conto delle (3), (4), diventa: x+2 retti=2 x da cui 2 retti=x Quindi il teorema è dimostrato senza far uso del V postulato MA……. . .

Nella dimostrazione abbiamo assunto implicitamente un’ipotesi non dimostrata e cioè che la somma degli angoli interni al triangolo sia un invariante Nella geometria non Euclidea infatti questa proposizione non sarà più vera TENTATIVO DI SACCHERI János Bolyai (1802 -1860) L’opera di Saccheri fu abbastanza diffusa ma cadde presto in dimenticanza, solo nel 1889 E. Beltrami (1835 -1900) richiamò su di essa l’attenzione dei matematici anche se a quell’epoca la questione delle parallele era definitivamente risolta da N. I. Lobacevskji (1793 -1856) e da J. Bolyai (1802 -1860) e proprio quest’ultimo è al centro di una curiosa vicenda che gli risultò molto amara: Nikolai Ivanovich Lobacevskij (1792 -1856) Gerolamo Saccheri (1667 -1733)

Lobacevskij sostituisce il V postulato di Euclide con un altro: DATI IN UN PIANO, UNA RETTA r E UN PUNTO P FUORI DI ESSA, CONDOTTA PER P LA PERPENDICOLARE h AD r E POI, SEMPRE PER P, LA PERPENDICOLARE r’ A h, OLTRE AD r’ ESISTE UN’ALTRA RETTA r’’, DISTINTA DA r’, CHE PASSA PER P E NON SECA r r’’ P r' r h

Ecco che in questa geometria: – le rette parallele ad una retta data passante per un punto non appartenente ad essa sono infinite – la somma degli angoli interni di un triangolo è variabile ed è minore di due retti – non esistono quadrilateri con i quattro angoli retti – due figure simili sono congruenti…. . La geometria di Lobacevskij-Bolyai realizza dunque l’ipotesi dell’angolo acuto di Saccheri L’ipotesi dell’angolo ottuso si dimostra però falsa e irrealizzabile a meno che non si tolga l’assioma dell’illimitatezza della retta. La teoria di una geometria in cui le rette hanno una lunghezza finita fu sviluppata dal matematico tedesco B. Riemann (1826 -1866). In essa: – non esistono parallele condotte per un punto ad una retta – la somma degli angoli interni ad un triangolo non è invariante ed è maggiore di due retti – non esistono quadrilateri con i quattro angoli retti – due figure simili sono congruenti Bernhard Riemann (1826 -1866)

Il problema della coerenza di un sistema ipotetico-deduttivo MODELLO DI RIEMANN MODELLO DI BELTRAMI MODELLO DI POINCARE’ MODELLO DI KLEIN Qual è la geometria vera? Ha senso questa domanda? Com’è possibile trovare una risposta? Sono tutte domande che sorsero nella seconda metà dell’ 800 e, per provare la coerenza degli assiomi da cui deriva una geometria si pensò di fornire dei modelli reali di quella geometria: Riemann, Klein (1849 -1925), Beltrami, Poincarè (1854 -1912) fornirono modelli di geometrie non euclidee e fu lo stesso Klein che propose i nomi di geometria ellittica, euclidea e iperbolica alle geometrie in cui la somma degli angoli interni di un triangolo risulta rispettivamente maggiore, uguale, minore a due retti Felix Christian Klein Jules Henri Poincaré (1849 -1925) (1854 -1912) Inoltre Klein provò che se ci fossero contraddizioni logiche all’interno delle geometrie non euclidee, queste dovrebbero trovarsi già nella geometria euclidea

Geometria Euclidea La sistemazione definitiva dell’argomento viene da Klein attraverso la classificazione delle geometrie in tre classi fondamentali Geometria Ellittica È la geometria delle superfici a curvatura nulla Vale l’assioma dell’esistenza e unicità della parallela. La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale ad un angolo piatto È la geometria delle superfici a curvatura positiva ( Riemann). In essa non esistono rette parallele. La somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di un angolo piatto Geometria iperbolica È la geometria delle superfici a curvatura negativa (Lobacevskij). Per un punto esterno ad una retta vi sono più parallele. La somma degli angoli interni di un triangolo è minore di un angolo piatto

O sservazioni: Non è lecito fidarsi dell’evidenza intuitiva come criterio di fondazione degli assiomi di una teoria matematica perché soggettivo e legato alla fantasia Non ha senso parlare di assiomi veri o falsi : l’assioma è solo punto di partenza convenzionale Il matematico deve derivare teoremi partendo da ipotesi (assiomi ) preoccupandosi della loro coerenza logica con le premesse e non della loro “ evidenza intuitiva “ La geometria perde la sua valenza di scienza “descrittiva” della realtà spaziale e diviene scienza puramente formale frutto di una rigorosa astrazione

PROBLEMA COME ESSERE CERTI DELLA COERENZA LOGICA DI UN SISTEMA IPOTETICO DEDUTTIVO CIOE’ DELL’ASSENZA DI CONTRADDIZIONI? Il metodo dei “modelli”: Consiste nel prendere gli assiomi astratti di un sistema e dare loro una “interpretazione” , in modo tale che ad ogni assioma corrisponda una certa affermazione vera o falsa rispetto al modello

MODELLO DI RIEMANN PER UNA GEOMETRIA ELLITTICA MODELLO DI KLEIN PER UNA GEOMETRIA IPERBOLICA MODELLO DI BELTRAMI PER UNA GEOMETRIA IPERBOLICA

MODELLO DI POINCARE’ PER UNA GEOMETRIA IPERBOLICA Poincaré presentò il suo modello sotto forma di racconto di fantasia nel suo libro La Scienza e l’Ipotesi del 1902: Sia dato, da qualche parte del piano euclideo, un cerchio euclideo C di raggio R abbastanza grande da permettere che nel suo interno viva una vasta popolazione di esseri bidimensionali. Li osserveremo restando al di fuori di C, come giganti un po’ curiosi. C è riempito di uno strano gas che provoca la contrazione dei campioni di lunghezza (regoli lunghi un metro quando sono posti al centro di. C) via che si allontanano dal centro. La formula che descrive quantitativamente il fenomeno è: (lunghezza di un regolo campione a distanza r)=1 -r 2/R 2 ove r è misurata a partire dal punto medio del regolo stesso Supporremo inoltre che ogni cosa all’interno di C (comprese le persone che ci vivono) subisca una corrispondente variazione delle dimensioni lineari, cosicché nessun abitante all’interno possa accorgersi del fenomeno. Un “uomo” “alto” 2 metri al centro del cerchio C (la “statura” viene misurata con un regolo che egli porta con sé) sarà ancora “alto” 2 metri dopo aver percorso 3/4 R verso il bordo. Tutto ciò che lo circonda avrà mantenuto le proporzioni, e quindi solo chi come noi è al di fuori del cerchio sa che il regolo, il corpo dell’”uomo”, il suo cappello, il suo passo e anche gli “alberi”, le “case” e così via sono lunghi solamente o, 4375 volte la loro lunghezza iniziale. Supponiamo infine che lo strano gas che riempie C costringa i raggi di luce che si propagano tra due punti interni al cerchio a seguire sempre il cammino “più breve”, se misurato nel sistema di misura degli abitanti di C Dal nostro punto di vista, un raggio di luce che unisce due punti sarà diritto solo se i due punti sono su un diametro di C ; altrimenti presenterà una convessità rivolta verso il centro. Facendo uso di teoremi non elementari di geometria Euclidea, è possibile dimostrare che questi cammini curvi sono archi di circonferenze ortogonali a C, cioè archi di circonferenze che incontrano C in modo che nei punti di intersezione le rispettive tangenti risultino perpendicolari tra loro. Poiché gli abitanti di C sono intelligenti quanto noi, arriva anche per loro il momento di mettersi a studiare la geometria e quella che essi creano rifletterà l’universo quale essi lo percepiscono. Prima di tutto essi non si renderanno conto di vivere all’interno di un cerchio, per quante volte riportino consecutivamente un metro lungo quello che noi sappiamo essere uno dei raggi del cerchio, non raggiungeranno mai il bordo perché il metro si accorcia troppo velocemente. Dunque, per coloro che vivono al suo interno, il cerchio C si estende all’infinito in tutte le direzioni e costituisce il piano. In secondo luogo essi naturalmente intenderanno per “linea retta” il percorso compiuto da un raggio 05/06/2021 di luce e potranno essere infinite. E, cosa importante, essi accetteranno l’assioma di Lobacevskij

Poincarè e la non contraddittorietà La verità della geometria euclidea appare fondata sulla naturalità dello spazio Il valore epistemologico della rivoluzione matematica Lo spazio della teoria appariva libero dall’evidenza Rottura della linea di continuità tra esperienza sensibile e teoria: La matematica e la logica sono oggetti privi di realtà

INTUIZIONISMO : POINCARE’ “salvare” il valore della scienza ragionando con strumenti concettuali che non sempre derivano pratica scientifica ma dalla tradizione filosofica superamento dell’idea della geometria fondata su una struttura a priori di tipo kantiano La geometria deriva da un sistema di assiomi che hanno il valore di “ipotesi indifferenti” ( si possono adottare l’una o l’altra senza conseguenze sulla verità delle proposizioni scientifiche) L’assioma è una convenzione quindi È scorretto aprire una discussione intorno alla verità di una geometria

La costruzione di teorie non ha a che vedere concetti filosofici di verità e realtà Ma se tutte le geometrie sono convenzionali quale criterio adottare per scegliere una geometria piuttosto che un’altra? E’ il “modo di apparire” dei fenomeni che ci induce a scegliere quella euclidea come la più comoda (ma non la più semplice) in quanto è conforme al modo in cui si presentano i fenomeni

La classificazione di Klein delle geometrie : il programma di Erlangen L’idea suggerita da Klein è che “ fare una geometria “ significa scegliere un insieme di trasformazioni e analizzare come esse operino sugli oggetti che interessano allo scopo di individuare quali proprietà rimangono invarianti

si sposta l’attenzione dagli “oggetti” in quanto tali alle “operazioni che noi eseguiamo” La geometria, nata come primo capitolo della fisica, è stata sottoposta ad un processo di astrazione impensabile alla sua origine La teoria di Einstein può ritenersi come lo studio delle proprietà invarianti rispetto al gruppo delle trasformazioni di Lorentz quindi una forma di geometria delle spazio-tempo in questo senso, a livelli diversi da quelli euclidei, la geometria torna ad essere possibile modalità di descrizione razionale dell’universo fisico

Gli sviluppi nel campo della teoria degli insiemi e dell’algebra entrano in crisi a causa di antinomie e paradossi Necessità di dare assetto logico e rigoroso ai presupposti della matematica Si doveva chiarire Quali fossero i requisiti fondamentali perché un insieme di conoscenze e affermazioni potessere considerato una teoria formale fondata e accettabile in senso scientifico

Hilbert pone l’attenzione sull’aspetto più importante nella sistemazione di una teoria Come scegliere gli assiomi? Essi devono contenere elementi fondamentali dei concetti che una teoria studia esprimendo quello che la nostra intuizione ci suggerisce

La sistemazione rigorosa di una teoria formale presuppone di fornire un sistema di assiomi che oltre ad esprimere compiutamente gli enti che vuole circoscrivere soddisfi alcuni requisiti! Un sistema di assiomi per essere accettato deve avere le seguenti proprietà: indipendenza nessun assioma deve poter essere dimostrato a partire dagli altri

completezza consistenza Si tende ad assumere come assiomi il minimo numero di proposizioni non dimostrate, tra loro indipendenti , necessarie a dedurre in modo rigoroso i risultati che si desiderano Non si possono assumere come postulati enunciati che siano tra loro contraddittori o che conducano a contraddizioni (Teoremi di Godel)

Un insieme di teoremi e di risultati diventa allora una teoria in senso formale , nell’ambito della quale vanno distinti gli enunciati iniziali da quelli successivi e ciò che risulta dedotto coerentemente deve essere accettato come valido La sistemazione di una teoria è un procedimento a “posteriori” Ancora oggi la ricerca su questioni “aperte” è viva e vitale a conferma che la matematica è una scienza dinamica in continua evoluzione