Test dell ANOVA LEZIONI III PARTE FONDAMENTI E

Test dell’ ANOVA LEZIONI III PARTE FONDAMENTI E METODI PER L’ANALISI EMPIRICA NELLE SCIENZE SOCIALI A. A. 2015 -16

ANalysis Of VAriance Analisi della varianza Test parametrico per stimare effetti di uno o più determinati fattori (o variabili indipendenti) su una o più variabili dipendenti. Tecnica statistica, nata in contesto sperimentale (nella scienza agraria), rispetto agli effetti: • A effetti fissi, tutte le modalità della variabile indipendente vengono introdotte nell’analisi; • A effetti random, le modalità variabile indipendente introdotte son un sottoinsieme casuale di quelle possibili. A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 2

Quando? Quando il ricercatore intende stimare le differenze tra le medie di più gruppi tra loro indipendenti ovvero, parimenti, vuole valutare all’interno di un solo campione la relazione di influenza di una variabile indipendente su una variabile dipendente, a condizione che la variabile indipendente assuma un numero ridotto di modalità distinte (ordinate o non). A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 3

Analisi relazione tra variabili Variabile indipendente di qualsiasi tipo ma IN CLASSI Variabile dipendente cardinale A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 4

(segue) Stima delle differenze tra medie campionarie si prendono in considerazione le rispettive varianze Scopo : stabilire se due o più medie campionarie possono derivare da popolazioni che hanno la stessa media parametrica. Dobbiamo necessariamente utilizzare l’ANOVA quando le medie sono più di due, due o quando vogliamo suddividere la variabile di raggruppamento in più variabili per eliminare eventuali fonti di variazione oltre a quella prodotta dal fattore di cui vogliamo valutarne l’effetto. A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 5

Tipi di test dell’ANOVA a una via (One way ANOVA) ANOVA fattoriale MANOVA (Multivariate ANalysis Of VAriance) A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 6

One way ANOVA Il ricercatore osserva una sola variabile dipendente ed una sola variabile indipendente. �Es: la razza influenza il peso dei vitelli. Vitelli Razza 1 1 Razza 2 Razza 3 65. 6 2 76. 3 3 77. 9 4 82. 4 …. . 40 A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 7

ANOVA fattoriale Il ricercatore osserva una sola variabile che assume essere dipendente e più di una variabile o fattore che assume essere indipendente. Es. : il successo scolastico dipende sia dal grado di interesse individuale nei confronti dello studio e dell’ottenimento di buoni voti, sia dal grado di istruzione dei genitori A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 8

(segue) Y = a + bx + cz + dw + ek Spiegano l’ 88% della varianza di Y Contributi trascurabili Spiega l’ 8% della varianza di Y Spiega il 4% della varianza di Y A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 9

ANOVA multifattoriale Due o più variabili indipendenti influenza no due o più variabili dipendenti. Es. : l’acquisto di autovetture e l’utilizzo dei mezzi pubblici sono influenzati dal genere, dal grado d’istruzione e dall’ascolto di spot pubblicitari. Effetti di interazione A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 10

(segue) La dispersione si analizza rispetto alle MEDIE dei gruppi. �è possibile in alcuni casi isolare l’effetto delle diverse variabili indipendenti e/o osservare il cd. effetto di interazione; �si incrementa la potenza del test (cioè la probabilità di rilevare un effetto, se l’effetto è presente) perché consentono di ridurre la varianza d’errore. A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 11

Condizioni da soddisfare �I gruppi devono essere indipendenti; �Gli elementi che costituiscono i vari gruppi (items) siano stati assegnati casualmente (random); �La variabile Y deve avere la stessa varianza nelle K popolazioni (assunto cd. di omoschedasticità); omoschedasticità �La variabile Y deve distribuirsi normalmente nelle K popolazioni (assunto cd. di normalità) normalità A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 12

MISURE DI DISPERSIONE • VARIANZA; • DEVIAZIONE STANDARD. Consentono di descrivere la variabilità all’interno della distribuzione di frequenza tramite un unico valore che ne sintetizza le caratteristiche. Per ottenere un indice unico e sintetico di dispersione occorre che i dati siano misurati su scale metriche a intervalli equivalenti o a rapporti equivalenti. A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 13

Effetto su singole osservazioni Si può stimare l’indice di dispersione che tenga conto delle singole osservazioni: si calcolano gli scarti dei valori osservati dalla media; Ø si calcola la media degli scarti. Ø A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 14

Scostamento semplice medio Poiché la somma degli scarti dalla media è zero, sommo gli scarti in valore assoluto. A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 15

Esempio: scostamento semplice medio Ad un test di personalità, 10 adolescenti hanno ottenuto i seguenti punteggi: 8954789743 Calcolare lo scostamento semplice medio: Prima calcolo la media (M). M = 8+9+5+4+7+8+9+7+4+3 = 6, 4 10 A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 16

(segue esempio) SSM = 8 -6, 4 + 9 -6, 4 + 5 -6, 4 …. . 10 4 -6, 4 + 3 -6, 4 = 1, 95 10 A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 17

Varianza (σ2 ) �In statistica e in riferimento a una serie di valori corrisponde alla media dei quadrati degli scarti dei singoli valori dalla loro media aritmetica. �La somma degli scarti della media è uguale a 0, elevo al quadrato. A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 18

Esempio Ad un test di personalità, 10 adolescenti hanno ottenuto i seguenti punteggi: 8954789743 Calcolare la varianza M = 6, 4 [8 -6, 4] 2+[9 -6, 4] 2+[5 -6, 4] 2…[4 -6, 4] 2+[3 -6, 4] 2 = 10 – 1 A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 19

(segue) �La varianza non è mai negativa; �Maggiore è la varianza più i casi sono dispersi attorno alla media; �Minore è la varianza meno i casi sono dispersi attorno alla media. A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 20

Distribuzione normale e varianza A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 21

È la radice quadrata della varianza, quindi è anch’essa una misura di dispersione. Indica quanto mediamente i dati osservati si discostano dalla media. Detta anche deviazione standard A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 22

Distribuzione normale �È simmetrica rispetto a μ. �È crescente per x < μ e decrescente per x > μ. �È asintotica all’asse x da entrambi i lati. �La distribuzione normale può essere utilizzata per approssimare numerose distribuzioni di probabilità discrete. �Dipende dai parametri σ e μ. A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 23

Uso dell’ANOVA Test di ipotesi Stima dei parametri A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 24

Test di ipotesi Quali le ipotesi sottoposte a controllo empirico? empirico q Qual è il ragionamento che porta alla accettazione o al rifiuto? rifiuto q A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 25

Ipotesi nulla H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 = ……. = μj Se si rispettano gli assunti, le k popolazioni hanno gli stessi parametri (μ e σ). Se l’ipotesi nulla è vera, le popolazioni coincidono rispetto alla media, quindi ogni gruppo proviene dalla stessa popolazione in cui la caratteristica in esame (variabile dipendente) è distribuita secondo la funzione Nor (μ, σ) A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 26

Ipotesi alternativa Almeno una delle medie campionarie proviene da una popolazione la cui media differisce dalle diverse medie delle altre popolazioni; cioè H 1 : μ 1 ≠ μ 2 = μ 3 = …. = μj A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 27

Possibili alternative � La media di ogni popolazione differisce dalla media di tutte le altre popolazioni, cioè H 1 : μ 1 ≠ μ 2 ≠ μ 3 ≠ …. ≠ μj �Le medie di alcuni sottoinsiemi di popolazioni differiscono l’una dalle altre (μ 1 è diversa da μ 2 , ma è uguale a μ 3 ). �Alcune combinazioni di medie differiscono da una singola media o da un’altra combinazione di medie. A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 28

esempio Ci sono 5 gruppi (per esempio, 5 località diverse), e in ogni località viene misurato un indicatore di biodiversità (la variabile alla quale si è interessati) in 20 campioni casuali (per esempio, 20 aree di 1 metro quadro, 20 prelievi d’acqua, oppure 20 volumi uguali di sedimento). In totale, sono disponibili quindi 20 misurazioni della variabile A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 29

(segue esempio) La tabella riporta le medie dei gruppi (in ordine crescente) e una lettera che permette di capire quale gruppo è diverso da quale altro. I gruppi con la almeno una lettera in comune non hanno una biodiversità media significativamente diversa. A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 30

Effetti delle variabili nei/tra gruppi Condizione = un’unica popolazione in cui la media della variabile dipendente è μ. Stima effetto v. discreta su v. dipendente continua Se H 0 : μj = μ generale Allora l’effetto del gruppo j (α) è pari alla differenza tra la media di quel gruppo e la media generale, ossia: A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 31

(segue) α j = μj – μ Se il gruppo j non esercita alcun effetto sulla variabile dipendente αj = 0 μj = μ Se il gruppo j esercita un effetto sulla variabile dipendente, αj assumerà valore positivo o negativo a seconda che la media del gruppo sia maggiore o minore alla media generale A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 32

Modello ANOVA SCOPO: quanta variazione della v. dipendente Y è attribuibile alle i osservazioni del gruppo j Yij = μ + αj + e Dove e indica la discrepanza (o scarto) scarto fra i valori osservati e quelli predetti dall’appartenenza ad un dato gruppo. A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 33

Somma dei quadrati Per stimare la varianza di Yij quanto in proporzione a αj e quanto a e, bisogna partire dal numeratore della varianza campionaria: Σ (Yi – Y )2 i =1 La somma dei quadrati equivale alla somma delle deviazioni al quadrato di ciascun valore dalla media generale di tutti i gruppi (Y). A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 34

(segue) Per verificare le due ipotesi considerate, la variabilità totale (misurata dalla somma dei quadrati totale – SST) viene scomposta in due componenti: una componente attribuibile alla differenza tra i gruppi o between (misurata dalla somma dei quadrati tra i gruppi – SSA) e una seconda componente che si riferisce alle differenze riscontrate all’interno del gruppo o within (misurata dalla somma dei quadrati all’interno dei gruppi – SSW) Variabilità fra gruppi Variabilità totale SSA SST Variabilità interna SSW A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 35

Analisi �La varianza è sempre > 0, salvo il caso in cui tutte le osservazioni assumano lo stesso valore; �La somma dei quadrati between esprime l'effetto complessivo esercitato sulla variabile dipendente dalla variabile indipendente; �La somma dei quadrati within esprime l'influenza di fattori non misurati o casuali. A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 36

Tornando sul modello ANOVA Il modello può essere rappresentato in questa forma: Yij = + αi + εij �con μ media di tutte le popolazioni rappresentate nell’esperimento �αi = μ − μi effetto dell’i-esimo trattamento/livello Generalmente si assume: • i = 1, . . . , p (p numero dei livelli) � j = 1, . . . , ni (ni numero di repliche all’interno di un livello) � nt= n. ro totale di osservazioni Se il disegno è bilanciato, n 1 = n 2 =. . . = np 37

IDEA DI FONDO: Scomposizione della variabilità totale Variabilità all’interno dei gruppi (SSE) errore sperimentale Variabilità tra i gruppi (SSA) effetti del trattamento/livello Si ha che: SST = SSA + SSE

Come fare inferenza Assumendo che i p gruppi (popolazioni) da cui vengono estratte casualmente le osservazioni siano distribuiti normalmente e abbiano uguali varianze, l’ipotesi sottoposta a controllo è: H 0: 1 = 2 = … = p oppure HA: non tutte le i sono uguali H 0 : α i = 0

Come costruire il test? Il test è basato sulle seguenti considerazioni: �Se è vera l’ipotesi nulla, i dati differiscono tra loro per il solo effetto della variabilità casuale. �Se invece è vera l’ipotesi alternativa (quindi rifiuto l’H 0), entrambe le fonti di variabilità contribuiscono a determinare la variabilità complessiva. �Il test è quindi basato sull’analisi della variabilità complessiva in funzione delle diverse cause (da cui il termine Analisi della Varianza). 40

Scomposizione della variabilità totale La VARIABILITA’ TOTALE è descritta dalla SST: Devianza totale:

(Segue) La VARIABILITA’ TRA I GRUPPI è descritta dalla SSA (devianza tra i gruppi) Devianza tra i gruppi: FORMULA CALCOLATORIA:

(segue) La VARIABILITA’ NEI GRUPPI (o ENTRO I GRUPPI) è descritta dalla SSE: devianza entro i gruppi Devianza entro i gruppi: FORMULA CALCOLATORIA

Cosa ci aspettiamo? �Se l’ipotesi nulla è vera, ci possiamo attendere uno scarso contributo della devianza tra gruppi alla devianza totale. �Sell’ipotesi nulla è falsa, ci possiamo attendere che entrambe le devianze contribuiscano a determinare la devianza totale. �A questo livello non è però possibile fare confronti, perché le devianze hanno un numero di addendi diverso. �Dobbiamo quindi rendere confrontabili le devianze. . 44

I gradi di libertà Ad ognuna delle devianze sono associati i gradi di libertà: • la devianza totale ha nt − 1 gradi di libertà • la devianza tra gruppi ha p − 1 gradi di libertà • la devianza entro i gruppi ha nt - p gradi di libertà Dividendo ciascuna devianza per i rispettivi gradi di libertà si ottengono le VARIANZE, cioè le medie dei quadrati: Varianza tra i gruppi Varianza entro i gruppi 45

Test F per la ANOVA a un fattore Per verificare l’ipotesi di uguaglianza delle medie utilizzo il test F che confronta MSA e MSE. Il test F segue una distribuzione F di Fisher con (p-1, nt-p) gradi di libertà. La regola decisionale è: Rifiuto H 0 se F>Fα

(segue) Non è altro che un rapporto fra i due quadrati medi Intergruppo e Intragruppo (QMINTERGRUPPO / QM INTRAGRUPPO ) Si calcola per controllare l’ipotesi nulla (H 0) Due assunti devono essere soddisfatti: 1. I j gruppi devono essere estratti indipendentemente da una popolazione normalmente distribuita; 2. La varianza della popolazione deve essere identica a quella dei j gruppi (omoschedasticità). A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 47

(segue) Così la statistica F sarà distribuita con J – 1 gradi di libertà al numeratore; N – J gradi di libertà al denominatore. Ci si attende che la stima della varianza fra gruppi sia maggiore della stima della varianza nei gruppi Il test di significatività è a una coda A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 48

Test F per la ANOVA a un fattore Il valore critico della F viene determinato in funzione del livello di significatività a del test. I valori critici si individuano nelle tavole della distribuzione F in base ai gradi di libertà e al livello di significatività scelto Se H 0 è falsa ci aspettiamo che F assuma valori maggiori rispetto ai valori tabulati nella tavola della F la variabilità totale è dovuta soprattutto all’effetto del trattamento/fattore. Se H 0 è vera ci aspettiamo che il valore osservato di F sia minore al valore tabulato.

Test F per la ANOVA a un fattore I risultati del test F per la ANOVA a un fattore vengono sintetizzati in una tabella come quella seguente:

Esempio: Peso dei vitelli di 3 razze diverse: Output di excel: 51

Esercitazioni in classe �Test ANOVA, tassi di criminalità negli Stati Uniti d’America, Bohrnstedt, Knoke httpwww. dmi. units. it/corsi/biomed/ano va/anova. html : // �Esercitazione n. 5 A. A. 2015 -2016 g. fanci@unimc. it 52