6 Series 1 Lmite de una sucesin Una

6. Series 1

Límite de una sucesión Una sucesión {zn} de números complejos zn = xn + iyn converge a c = a + i b sii la sucesión de partes reales {xn} converge a a y la sucesión de partes imaginarias {yn} converge a b. y b+ zn b c b- a- a a+ x 2

Series Dada una sucesión {zn}, una serie infinita o serie se puede formar a partir de una suma infinita: Los z 1, z 2, . . . son denominados términos de la serie. La sucesión de sumas: s 1 = z 1 s 2 = z 1 + z 2 s 3 = z 1 + z 2 + z 3. . . . sn = z 1 + z 2 +. . zn es la sucesión de sumas parciales de la serie infinita. 3

Series convergentes Una serie convergente es aquella tal que la sucesión de sumas parciales converge, i. e. : donde s es la suma o valor de la serie y se expresa: Una serie divergente es aquella que no converge. Llamaremos resto Rnde la serie a: Si la serie converge y suma s, entonces 4

Serie de potencias Una serie de potencias en centro de desarrollo es: coeficientes 5

Serie de potencias 6

RADIO DE CONVERGENCIA La fórmula de Cauchy-Hadamard : 7

RADIO DE CONVERGENCIA Ejemplo: 8

Convergencia de series de potencias converge para |z |<1 pero diverge para |z |≥ 1. 9

(1) La serie de potencias siempre converge para z = zo (2) Hay un radio de convergencia R para el cual: : diverge : converge 10

Propiedades: (1) Si la serie diverge. (2) Si la serie diverge. (3) Comparar: (4) Si la serie diverge. 11

SERIE DE TAYLOR 12

Ejemplo: Encontrar la serie de Taylor para 13

Unicidad del desarrollo de Taylor Supongamos que f(z) es analítica y desarrollable alrededor de z 0 , tq: ¿Existirá otra serie de potencias:

Técnicas para hallar las Series de Taylor: (1) La serie geométrica 15

Técnicas para hallar las Series de Taylor: (2) La serie binomial 16

Técnicas para hallar las Series de Taylor: (3) Otras series conocidas como la exponencial, el coseno, etc. 17

Ejercicio: Expandir para z = 0 18

Ejercicio: Expandir para z = 1 19

Ejemplo: Expandir en z = 0 20

Otras series útiles (Ejercicio: demostrar por la fórmula de Taylor) 21

Ejemplo: Expandir (de uso de series conocidas) en z = 0 22

Multiplicación de series 23

Ejemplo: Obtener mediante el producto de series, el desarrollo de Maclaurin de f(z) = ez /(1 -z). 24

Teorema de Laurent: Supongamos que la función f(z) es analítica en un anillo de centro z 0, r 0< |z - z 0| < r 1. Entonces f(z) admite representación en serie de Laurent: donde r 0 r 1 C 25

Hallando la serie de Laurent Ejemplo Expandir la función 1/(1 -z) para |z|>1 26

Ejemplo Expandir la función 1/(i-z) en potencias de z-2 27

Ejemplo (3) Expandir la función con centro z = 1 28

Ejemplo Expandir la función con centro z = 0 ¿De cuántas formas podemos hacerlo? centro 29

Calculo de integrales usando las Series de Laurent Hallar: 30

Hallar: 31