4 TURUNAN 1 4 1 Konsep Turunan n

4. TURUNAN 1

4. 1 Konsep Turunan n n 4. 1. 1 Turunan di satu titik Definisi 4. 1 Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang I yang memuat c. Turunan pertama fungsi f di titik c, ditulis didefinisikan sebagai n Arti geometris: Perhatikan gambar disamping n Kemiringan tali busur PQ adalah : bila limit ini ada. y f ( x) n Q Jika x c , maka tali busur PQ akan berubah menjadi garis singgung di ttk P dgn kemiringan P(c, f (c)) x 2

n n n Jadi, arti geometris dari kurva f di titik (c, f(c)). adalah kemiringan garis singgung Sedangkan arti fisis dari f(x) terhadap peubah x. adalah laju perubahan nilai fungsi Notasi Lain : Contoh Jawab : Diketahui , tentukan 3

4. 1. 2 Turunan Sepihak n Turunan kiri dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai : n Turunan kanan dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai : bila limit ini ada. n Fungsi f dikatakan mempunyai turunan ( diferensiabel ) di c atau, ada jika sebaliknya f dikatakan tidak mempunyai turunan di c. 4

Contoh : Diketahui Selidiki apakah f(x) diferensiabel di x=1 Jika ya, tentukan Jawab : a. b. Jadi, f diferensiabel di x=1. 5

n Teorema 4. 1 Jika f diferensiabel di c f kontinu di c. Bukti : Yang perlu ditunjukkan adalah bahwa n Perhatikan bahwa n Maka n = f(c). n Terbukti. Sifat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya, Jika f kontinu di c, maka belum tentu f diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut. 6

4. 2 Aturan Pencarian Turunan n Fungsi Turunan Pertama Definisi 4. 3 Misalkan f (x) terdefinisi pada selang I. Fungsi turunan pertama dari f, ditulis , didefinisikan sebagai n atau jika h=t-x bila limitnya ada. n Notasi lain , bentuk dikenal sebagai notasi Leibniz. 7

n Dengan menggunakan definisi tersebut dapat diturunkan aturan untuk mencari turunan sebagai berikut : n 1. Jika f (x)=k, maka n 2. n 3. n 4. n 5. dengan g(x) 0. Contoh Tentukan fungsi turunan pertama dari Jawab: 8

n Carilah turunan nya 1. 2. 3. jari-jari sebuah semangka bulat tumbuh dg laju tetap sebesar 2 cm/minggu. Ketebalan kulitnya selalu sepersepuluh jari-jarinya. Seberapa cepat isi kulit berkembang pada akhir minggu kelima? Anggap jari-jari semula nol 9

n 4. 3 Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus n Turunan fungsi trigonometri yang lain : n 1. 2. n 3. 4. n Contoh: Tentukan dari 10

4. 4 Aturan Rantai n n n Andaikan y = f(u) dan u = g(x). Jika maka dan ada , Jika y = f (u ) , u = g(v), dan v = h(x) maka : Contoh: Jika Tentukan Jawab: 11

Carilah turunan dari 1. 2. 3. 12

4. 5 Notasi leibniz n Notasi lain dikenal , bentuk sebagai notasi Leibniz. 13

1. Cari 2. Cari 14

4. 5 Turunan Tingkat Tinggi n Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-1). n Turunan pertama n Turunan kedua n Turunan ketiga n Turunan ke-n n Contoh : Tentukan n Jawab : dari , maka 15

4. 6 Turunan Fungsi Implisit n n Jika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dalam bentuk y = f(x) maka y disebut fungsi eksplisit dari x, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian maka dikatakan y fungsi implisit dari x. Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan aturan rantai dan anggap y fungsi dari x. Contoh: Tentukan y’ dari bentuk implisit Sin(xy) = x 2 + 1 Jawab: Dx (Sinxy) = Dx(x 2 + 1) Cos(xy) Dx(xy) = 2 x Cos(xy) (y + x ) = 2 x Maka 16