2 I QUADRILATERI A cura di Mimmo CORRADO

2. I QUADRILATERI A cura di Mimmo CORRADO

2 DEFINIZIONE Un quadrilatero è un poligono convesso avente 4 lati. D C B A

3 DEFINIZIONE Il Trapezio è un quadrilatero convesso avente due lati opposti paralleli. Base minore ob altezza to o u liq A C La Lato o bliquo D Base maggiore B

4 DEFINIZIONE Un trapezio si dice scaleno se ha i lati obliqui non congruenti. D A C B

5 DEFINIZIONE Un trapezio si dice rettangolo se ha un lato obliquo perpendicolare alle basi. D A C B

6 DEFINIZIONE Un trapezio si dice isoscele se ha i lati obliqui congruenti. D A C B

7 PROPRIETA’ In un trapezio gli angoli A e D sono supplementari. In un trapezio gli angoli B e C sono supplementari. Dimostrazione Gli angoli A e D sono coniugati interni, pertanto sono supplementari. Gli angoli B e C sono coniugati interni, pertanto sono supplementari. D A C B

8 DEFINIZIONE Il trapezio isoscele ha gli angoli adiacenti alla base maggiore congruenti. Dimostrazione I triangoli rettangoli ADH e BCK hanno l’ipotenusa e un cateto rispettivamente congruenti. Pertanto per il IV criterio di congruenza sono congruenti. Si deduce quindi che l’angolo A è congruente all’angolo B. D A H C K B

9 DEFINIZIONE Il trapezio isoscele ha gli angoli adiacenti alla base minore congruenti. Dimostrazione Gli angoli A e D sono coniugati interni. Pertanto A e D sono Supplementari. Gli angoli B e C sono coniugati interni. Pertanto B e C sono Supplementari. Si deduce che gli angoli D e C sono congruenti (perché supplementari di angoli congruenti). D A C B

10 DEFINIZIONE Il trapezio isoscele ha le diagonali congruenti. Dimostrazione I triangoli ABC e ABD hanno: - Il lato AB in comune - I lati AD e BC congruenti - Gli angoli A e B congruenti Pertanto per il I criterio di congruenza sono congruenti. Si deduce quindi che le diagonali AC e BD sono congruenti. D A C B

11 DEFINIZIONE Il Parallelogramma è un quadrilatero avente i lati opposti paralleli. D A C B

12 TEOREMA In un Parallelogramma ogni diagonale divide il parallelogramma in due triangoli congruenti. Dimostrazione I triangoli ABD e BCD sono congruenti per il II criterio. Infatti hanno: - l‘angolo ABD congruente all’angolo BDC perché alterni interni - l‘angolo ADB congruente all’angolo CBD perché alterni interni - Il lato BD in comune D A C B

13 TEOREMA In un Parallelogramma i lati opposti sono congruenti. Dimostrazione I triangoli ABD e BCD sono congruenti per il II criterio. Infatti hanno: - l‘angolo ABD congruente all’angolo BDC perché alterni interni - l‘angolo ADB congruente all’angolo CBD perché alterni interni - Il lato BD in comune Si deduce quindi che: AB DC e AD BC D A C B

14 TEOREMA In un Parallelogramma gli angoli opposti sono congruenti. Dimostrazione I triangoli ABD e BCD sono congruenti per il II criterio. Infatti hanno: - l‘angolo ABD congruente all’angolo BDC perché alterni interni - l‘angolo ADB congruente all’angolo CBD perché alterni interni - Il lato BD in comune Si deduce quindi che gli angoli A e C sono congruenti. Essendo inoltre gli angoli B e D somma di angoli congruenti sono anch’essi congruenti. D A C B

15 TEOREMA In un Parallelogramma le diagonali si dimezzano scambievolmente. Dimostrazione I triangoli AOB e COD sono congruenti per il II criterio. Infatti hanno: - i lati AB e CD congruenti per quanto dimostrato nel precedente teorema - l‘angolo BAO congruente all’angolo OCD perché alterni interni - l‘angolo ABO congruente all’angolo ODC perché alterni interni. Si deduce quindi che AO OC e BO OD, cioè che le diagonali si dimezzano scambievolmente. D C O A B

16 DEFINIZIONE Il Rombo è un parallelogramma che ha tutti i lati congruenti. D C A B

17 TEOREMA Le diagonali di un rombo sono perpendicolari e bisettrici degli angoli. Dimostrazione In un parallelogramma le diagonali si dimezzano scambievolmente. Pertanto AO OC. Il triangolo ACD è isoscele (perché AD CD). Ricordando che in un triangolo isoscele la mediana coincide con l’altezza, si ha che DO è perpendicolare ad AC. I triangoli AOD e DCO sono congruenti per il III criterio di congruenza. Ciò implica che DO è la bisettrice dell’angolo D. D A O B C

18 DEFINIZIONE Il Rettangolo è un parallelogramma che ha gli angoli congruenti. D C A B

19 TEOREMA Le diagonali del rettangolo, oltre a tagliarsi per metà, sono congruenti. C D M A B

20 DEFINIZIONE Il Quadrato è un parallelogramma che ha tutti gli angoli e tutti i lati congruenti. D C A B

21 TEOREMA Le diagonali del quadrato, oltre a tagliarsi per metà, oltre a essere congruenti, sono fra loro perpendicolari e bisettrici degli angoli. . D C A B

22 DIAGRAMMA Diagramma di Eulero-Venn dei quadrilateri. Quadrilateri Trapezi Parallelogrammi Rettangoli Rombi Quadrati