Volkan Karamehmetolu 1 Doal Saylar Tanmlar Rakam Saylar

Volkan Karamehmetoğlu 1

Doğal Sayılar Tanımlar • Rakam: Sayıları yazmaya yarayan sembollere denir. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} • Sayı: Rakamların çokluk belirten ifadesine denir. 365 sayısı 3 -6 -5 rakamlarından oluşmuştur. Volkan Karamehmetoğlu 2

Doğal Sayılar Uyarı: Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı sayılar rakam değildir. 3 25 hem rakam hem de sayıdır. sadece sayıdır. • Sayma sayıları: S={1, 2, 3, …, n, …} kümesinin her bir elemanına sayma sayısı denir. Volkan Karamehmetoğlu 3

Doğal Sayılar • Doğal sayılar: N={0, 1, 2, …, n, …} kümesinin her bir elemanına doğal sayı denir. Soru: Sayma sayılarının doğal sayılardan farkı nedir? Volkan Karamehmetoğlu 4

Doğal Sayılar • Doğal Sayılarda Arada Olma: İki doğal sayı arasında bulunan doğal sayıların adedi, bu iki sayının farkından 1 eksiktir. Volkan Karamehmetoğlu 5

Doğal Sayılar Soru: 15 ile 25 arasında kaç doğal sayı vardır? Çözüm: 25 – 15 =10 10 – 1 = 9 Bu iki sayının aralarında 9 tane doğal sayı vardır. Soru: 12 ile 35 arasında kaç doğal sayı vardır? Volkan Karamehmetoğlu 6

Doğal Sayılar • Sayı Basamağı: Bir sayıyı oluşturan rakamlardan her birine bu sayının basamağı denir. Bir doğal sayıda kaç tane rakam varsa sayı o kadar basamaklıdır. Örnek: 2314 sayısı 4 rakamdan oluşmaktadır. O zaman 4 basamaklıdır. Soru: 42364123 sayısı kaç basamaklıdır? Volkan Karamehmetoğlu 7

Doğal Sayılar • Çözümleme: Doğal sayıyı oluşturan rakamların bulunduğu yerdeki değerine basamak değeri, rakamların sayıda bulundukları basamaklar göz önüne alınmadan aldıkları değerlere sayı değeri denir. Basamak değerlerinin toplamı şeklinde gösterilişine o sayının çözümlenmiş biçimi denir. Volkan Karamehmetoğlu 8

Doğal Sayılarda Çözümleme a b c = 102 a + 10 b + c 100 lar (birler basamağı) 101 ler (onlar basamağı) 102 ler (yüzler basamağı) Volkan Karamehmetoğlu 9

Doğal Sayılar • • • ab = 10. a + b abc = 100. a + 10. b + c aaa = 111. a ab + ba = 10. a + b + 10. b + a = 11. a + 11. b = 11. (a+b) ab – ba = 10. a + b – (10. b + a) = 9. a – 9. b = 9. (a-b) abc – cba = 99. (a-c) olduğunu gösteriniz. Volkan Karamehmetoğlu 10

Tam Sayılar Tanımlar Z = {…, -n, …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …, n, …} kümesinin her bir elemanına tam sayı denir. Volkan Karamehmetoğlu 11

Tam Sayılar • Tam sayılar kümesi; negatif tam sayılar kümesi : Z-, pozitif tam sayılar kümesi: Z+ ve sıfırı eleman kabul eden: {0} kümenin birleşim kümesidir. Buna göre; Z = Z- U Z+ U {0} dır. Volkan Karamehmetoğlu 12

Tam Sayılar • Pozitif Sayılar, Negatif Sayılar Sıfırdan büyük her reel sayıya pozitif sayı, sıfırdan küçük her reel sayıya negatif sayı denir. a < b < 0 < c < d olmak üzere, Øa, b negatif sayılardır. Volkan Karamehmetoğlu 13

Tam Sayılar Ø c, d pozitif sayılardır. Ø İki pozitif sayının toplamı pozitiftir. (c + d>0) 5 + 9 = 14>0 Ø İki negatif sayının toplamı negatiftir. (a + b<0) -3 + (-5) = -8<0 Ø Aynı işaretli iki sayının çarpımı ya da bölümü pozitiftir. 5. 4=20>0 veya -5. -4=20>0 20/5=4>0 veya -20/-5=4>0 Volkan Karamehmetoğlu 14

Volkan Karamehmetoğlu 15

Tam Sayılar Ø Çıkarma işleminde eksilen çıkandan büyük ise sonuç (fark) pozitif olur. 6 – 2 = 4>0 Ø Eğer eksilen çıkandan küçük ise fark negatif olur. 2 – 6 = -4<0 Ø Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir. 42 = 16>0 43 = 64>0 Volkan Karamehmetoğlu 16

Tam Sayılar Ø Negatif sayının tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir. -43 =(-4. -4)=-64<0 -42 =(-4. -4)=16>0 Ø Zıt işaretli iki sayıyı toplamak için; işaretine bakılmaksızın büyük sayıdan küçük sayı çıkarılır ve büyük sayının işareti sonuca verilir. 9 -4=5 4 -9=-5 Volkan Karamehmetoğlu 17

Tam Sayılar Ø Bir tam sayının +1’e bölümü o sayının kendisine eşittir. 3/1=3, 100/1=100, 1234567/1=1234567 Ø Bir tam sayının -1’e bölümü o sayının toplamaya göre tersine eşittir. (bir örnek ile gösteriniz) Volkan Karamehmetoğlu 18

Tam Sayılar Ø Sıfırın sıfırdan farklı bir tam sayıya bölümü sıfırdır. 0/5=0 Ø Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır. Volkan Karamehmetoğlu 19

Tam Sayılar Mutlak Değer Sayı doğrusu üzerinde x reel sayısının başlangıç noktasına olan uzaklığına x’in mutlak değeri denir. -x 0 |-x| x x Volkan Karamehmetoğlu 20

Tam Sayılar |x| = x, x>0 ise 0, x=0 ise -x, x<0 ise Ödev: | -5 | + | -2 | +8 | - | +10 | işleminin sonucu kaçtır? Volkan Karamehmetoğlu 21

Tam Sayılar Çift Sayı: olmak koşuluyla 2 n ifadesi ile belirtilen tam sayılara çift sayı denir. Ç={…, -2 n, …, -4, -2, 0, 2, 4, …, 2 n, …} biçiminde gösterilir. Tek Sayı: olmak koşuluyla 2 n-1 ifadesi ile belirtilen tam sayılara tek sayı denir. T={…, -(2 n-1), …-3, -1, 1, 3, …, (2 n-1), …} biçiminde gösterilir. Volkan Karamehmetoğlu 22

Tam Sayılar T: Tek sayı Ç: Çift sayı göstersin. T+T=Ç T+Ç=T Ç+Ç=Ç Ç+T=T T-T=Ç Ç-Ç=Ç T-Ç=T Ç-T=T T. T=T Ç. Ç=Ç T. Ç=Ç Ç. T=Ç Volkan Karamehmetoğlu için, =T = Ç dir. 23

Tam Sayılar NOT: ü Hem tek hem de çift sayı yoktur. ü Sıfır(0) çift sayıdır. ü Tek sayılar ve çift sayılar tam sayılardan oluşur. Volkan Karamehmetoğlu 24

Tam Sayılar Ardışık Sayılar: Belirli bir kurala göre art arda gelen sayı dizilerine ardışık sayılar denir. n bir tam sayı olmak üzere; Ø Ardışık dört tam sayı sırasıyla; n, n+1, n+2, n+3 tür. (4, 5, 6, 7) Volkan Karamehmetoğlu 25

Tam Sayılar Ø Ardışık dört çift sayı sırasıyla; 2 n, 2 n+2, 2 n+4, 2 n+6 dır. (8, 10, 12, 14) Ø Ardışık dört tek sayı sırasıyla; 2 n+1, 2 n+3, 2 n+5, 2 n+7 dir. (5, 7, 9, 11) Ø Üçün katı olan ardışık dört tam sayı sırasıyla; 3 n, 3 n+3, 3 n+6, 3 n+9 dur. (12, 15, 18, 21) Volkan Karamehmetoğlu 26

Tam Sayılar Ardışık sayıların toplamı, sayı adedine bölünürse ortanca terim bulunur. Eğer sayı adedi çift ise, ortanca terim sayı dizisine ait değildir. Soru: 12+14+…+20 ardışık sayılarının ortanca terimi kaçtır? Volkan Karamehmetoğlu 27

Tam Sayılar İşlem Önceliği Toplama, çıkarma, bölme, çarpma ve üs alma işlemlerinden birkaçının birlikte bulunduğu rasyonel sayılarda işlemler belli bir sıraya göre yapılır. Volkan Karamehmetoğlu 28

Tam Sayılar 1) 2) 3) 4) Parantezler ve kesir çizgisi işleme yön verir. Üslü işlemler varsa sonuçlandırılır. Çarpma-bölme yapılır. Toplama-çıkarma yapılır. Uyarı: Çarpma ile bölmede öncelik söz konusu ise bu, parantezle belirlenir. Volkan Karamehmetoğlu 29

ALIŞTIRMALAR 1) Ardışık 4 doğal sayının toplamı 58’dir. Bu sayılardan en büyüğü kaçtır? 2) [3 + 2. {5 – 22 : (2 – 12. 2)}+4] =? 3) |-(-3)|-|-5|+|-8| =? |-2|-|-4| Volkan Karamehmetoğlu 30

Alıştırmalar 4) Ardışık 4 doğal sayının toplamı 58’dir. Bu sayılardan en büyüğü kaçtır? 5) abc, bca, cab üç basamaklı doğal sayılardır. abc + bca + cab = 1443 ise abc üç basamaklı sayısı en fazla kaçtır? Volkan Karamehmetoğlu 31

Alıştırmalar 6) İki basamaklı rakamları asal olan en büyük tam sayı ile üç basamaklı en küçük tam sayının toplamı kaçtır? 7) 112 + 32 + 2101 , 2100 + 233 , 20 + 3122 + 712 yukarıdaki işlemlerden hangisinin sonucu çift sayıdır? Volkan Karamehmetoğlu 32

Alıştırmalar 8) x<0<y<z ise; , , işlemlerinin işaretlerini bulunuz? 9) 2 + 4 + 6 + … +12 dizisinin ortanca terimi kaçtır? Volkan Karamehmetoğlu 33

Volkan Karamehmetoğlu 34