U D 5 3 ESO E AC Ecuaciones

U. D. 5 * 3º ESO E. AC. Ecuaciones @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 1

U. D. 5. 5 * 3º ESO E. AC. Ecuaciones cuadráticas completas @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 2

Ecuación de 2º grado completa • CASO 5 • Tiene la forma: • • • a. x 2 + b. x + c = 0 • Se resuelven aplicando la fórmula: • • - b +/- √(b 2 – 4. a. c) x = -------------- = 2. a • • Donde a, b y c son distintos de cero. Con el signo “+” se obtiene x 1 Con el signo “–” se obtiene x 2 FÓRMULA que se puede aplicar a cualquier caso anterior. Ampliación: Deducimos la fórmula … @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 3

Deducción de la fórmula • • • • • Sea la ecuación cuadrática: a. x 2 + b. x + c = 0 1. ‑ Restamos c a ambos términos: a. x 2 + b. x = ‑c 2. ‑ Multiplicamos por 4. a a todo: 4. a 2 x 2 + 4. a. b. x = ‑ 4. a. c 3. ‑ Sumamos b 2 a ambos términos: 4. a 2 x 2 + 4. a. b. x + b 2 = b 2 ‑ 4. a. c (2. a. x + b)2 = b 2 ‑ 4. a. c 4. ‑ Extraemos la raíz cuadrada: 2. a. x + b = +/- √ (b 2 ‑ 4. a. c) 5. ‑ Restamos b a los dos términos: 2. a. x = ‑ b +/- √ (b 2 ‑ 4. a. c) 6. ‑ Dividimos a ambos términos entre 2. a: ‑ b +/- √ (b 2 ‑ 4. a. c) x = ---‑-------‑‑‑‑‑‑‑‑‑ 2. a Con el signo “+” hallamos una raíz y con el “-” la otra. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 4

• Ejemplo: • • • • • Sea la ecuación 2. x 2 -10. x + 12= 0 Donde: a=2, b = -10, c=12 Podemos simplificarla, pero no lo hacemos. 1. ‑ Restamos c=12 a ambos términos: 2. x 2 - 10. x = ‑ 12 2. ‑ Multiplicamos por 4. a=4. 2= 8 a todo: 16. x 2 - 80. x = ‑ 96 3. ‑ Sumamos b 2 = 100 a ambos términos: 16. x 2 - 80. x + 100 = 100 - 96 (4. x - 10)2 = 4 4. ‑ Extraemos la raíz cuadrada: 4. x - 10 = +/- 2 5. ‑ Restamos b = - 10 a los dos términos: 4. x = ‑ (- 10) +/- 2 6. ‑ Dividimos a ambos términos entre 2. a = 2. 2 = 4: 10 +/- 2 x = ---‑-------‑‑‑ x 1 = (10+2)/4 = 12/4 =3 4 x 2 = (10 -2)/4 = 8/4 = 2 • @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 5

Resolución de ecuaciones • Ejemplo 1 • Sea x 2 - 3. x + 2 = 0 • a=1 • • - b +/- √(b 2 – 4. a. c) x = -------------- = 2. a - (- 3) +/- √(9 – 4. 1. 2) x = ---------------- = 2. 1 • • • b=-3 c=2 + 3 +/- 1 (3 + 1) / 2 = x 1 Una solución x = ‑‑‑‑‑‑‑ = 2 (3 – 1) / 2 = 1 = x 2 Otra solución @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 6

• Ejemplo 2 • Sea 3. x 2 - 5. x + 2 = 0 • a=3 • • - b +/- √(b 2 – 4. a. c) x = -------------- = 2. a • • - (- 5) +/- √(25 – 4. 3. 2) x = ---------------- = 2. 3 • • • + 5 +/- 1 (5 + 1) / 6 = 1 = x 1 Una solución x = ‑‑‑‑‑‑‑ = 6 (5 – 1) / 6 = 4 / 6 = 2 / 3 = x 2 Otra solución • • Nota: Cuando a<>1 c=Entero, una o las dos soluciones son fracciones @ Angel Prieto Benito b=-5 c=2 Apuntes de Matemáticas 3º ESO 7

• Ejemplo 3 • Sea 2. x 2 + x - 3 = 0 • a=2 • • - b +/- √(b 2 – 4. a. c) x = -------------- = 2. a • • - 1 +/- √(1 – 4. 2. (-3)) x = ---------------- = 2. 2 • • • - 1 +/- 5 (-1 + 5) / 4 = 1 = x 1 Una solución x = ‑‑‑‑‑‑‑ = 4 (– 1 – 5) / 4 = - 6 / 4 = - 3 / 2 = x 2 Otra. • • Nota: Cuando a<>1 c=Entero, una o las dos soluciones son fracciones @ Angel Prieto Benito b=1 c=-3 Apuntes de Matemáticas 3º ESO 8

• Ejemplo 4 • • Sea x 2 + 6. x + 9 = 0 a=1 b=6 • • - b +/- √(b 2 – 4. a. c) x = -------------- = 2. a • • - 6 +/- √(36 – 4. 1. 9) x = ---------------- = 2. 1 • • • - 6 +/- 0 (-6 + 0) / 2 = - 3 = x 1 x = ‑‑‑‑‑‑‑ = 2 (- 6 - 0) / 2 = - 3 = x 2 • • Nota: Cuando b 2 – 4. a. c = 0 el valor de las dos soluciones coincide, que es lo que ocurre en este ejemplo @ Angel Prieto Benito c=9 Una solución Otra solución. Apuntes de Matemáticas 3º ESO 9

• Ejemplo 5 • Sea x 2 – 1/6. x – 1/6 = 0 • a=1 • • - b +/- √(b 2 – 4. a. c) x = -------------- = 2. a • • 1/6 +/- √(1/36) – 4. 1. (– 1/6) x = --------------------- = 2. 1 • • • 1/6 +/- 5/6 (1/6 + 5/6) / 2 = 1/2 = x 1 x = ‑‑‑‑‑‑‑ = 2 (1/6 – 5/6) / 2 = – 1/3 = x 2 • • Nota: Cuando a=1 c=Fracción, una o las dos soluciones son fracciones @ Angel Prieto Benito b = – 1/6 c = – 1/6 Apuntes de Matemáticas 3º ESO Una solución Otra solución. 10

• Ejemplo 6 • Sea 6 x 2 – 1/2. x – 1/12 = 0 • a=6 • • - b +/- √(b 2 – 4. a. c) x = -------------- = 2. a • • 1/2 +/- √(1/4) – 4. 6. (– 1/12) x = --------------------- = 2. 6 • • • ½ +/- 3/2 (1/2 + 3/2) / 12 = 1/6 = x 1 Una solución x = ‑‑‑‑‑‑‑ = 12 (1/2 – 3/2) / 12 = – 1/12 = x 2 Otra solución. • • Nota: Cuando c=Fracción, una o las dos soluciones son fracciones @ Angel Prieto Benito b = – 1/2 c = – 1/12 Apuntes de Matemáticas 3º ESO 11