Derkszg hromszgek Szerkesztette Horvth Zoltn Szgfggvnyek A trigonometrikus

Derékszögű háromszögek Szerkesztette: Horváth Zoltán

Szögfüggvények • A trigonometrikus függvények vagy szögfüggvények eredetileg egy derékszögű háromszög egy szöge és két oldalának hányadosa közötti összefüggést írják le. c a Az a, és a b oldal a derékszögű háromszög befogóját, c pedig az átfogóját jelöli. b 2

a Szögfüggvények a derékszögű háromszögben c b 3

a Szögfüggvények a derékszögű háromszögben c b 4

A számológép beállítása 1) Győződjünk meg arról, hogy a számológép DEG (azaz fok) funkcióban van! Ha DEG vagy D szerepel a kijelzőn, nincs dolgunk, csak lépjünk ki a beállításokból az ON gomb segítségével. Ha nem DEG vagy D szerepel a kijelzőn, Akkor Shift SETUP szám (Az a szám, ami a deg mellett áll, általában a 3 -as szám) Ezután lépjünk ki a beállításokból az ON gomb segítségével. Egyes számológépek beállításai ettől eltérhetnek! 2) Nyomjuk be a kívánt szögfüggvényt, és utána írjuk be az adott fokot!

Keressük ki a 30 fok szinuszát, koszinuszát és tangensét számológéppel! Győződjünk meg arról, hogy a számológép DEG (azaz fok) funkcióban van!

Keressük ki a 60 fok szinuszát, koszinuszát és tangensét számológéppel! Győződjünk meg arról, hogy a számológép DEG (azaz fok) funkcióban van!

Keressük ki a 90 fok szinuszát, koszinuszát és tangensét számológéppel! Győződjünk meg arról, hogy a számológép DEG (azaz fok) funkcióban van! 1

Keressük ki a 45 fok szinuszát, koszinuszát és tangensét számológéppel! Győződjünk meg arról, hogy a számológép DEG (azaz fok) funkcióban van!

Keressük ki a 22, 5 fok szinuszát, koszinuszát és tangensét számológéppel! Győződjünk meg arról, hogy a számológép DEG (azaz fok) funkcióban van! 0, 92388 0, 41421

Győződjünk meg arról, hogy a számológép DEG (azaz fok) funkcióban van! 0, 72837 0, 94071

Győződjünk meg arról, hogy a számológép DEG (azaz fok) funkcióban van! 0, 72832 0, 94085

Győződjünk meg arról, hogy a számológép DEG (azaz fok) funkcióban van! 0, 29230 3, 27176

Szögek visszakeresése

Melyik az a hegyes szög, aminek szinusza 0, 2? Shift (S a kijelzőn!) megnyomását követően, Számot beírjuk, és az = gombot megnyomjuk! Eredményül 11, 536959…. . fokot kapunk.

Melyik az a hegyes szög, aminek koszinusza 0, 2? Shift (S a kijelzőn!) megnyomását követően, Számot beírjuk, és az = gombot megnyomjuk! Eredményül 78, 43604… fokot kapunk.

Melyik az a hegyes szög, aminek tangense 0, 2? Shift (S a kijelzőn!) megnyomása után Számot beírjuk, és az = gombot megnyomjuk! Eredményül 11, 30993… fokot kapunk

Melyik az a hegyes szög, aminek szinusza 0, 5? Shift (S a kijelzőn!) megnyomása után Számot beírjuk, és az = gombot megnyomjuk! Eredményül 30 fokot kapunk

Melyik az a hegyes szög, aminek koszinusza 0, 5? Shift (S a kijelzőn!) megnyomását követően, Számot beírjuk, és az = gombot megnyomjuk! Eredményül 60 fokot kapunk.

Melyik az a hegyes szög, aminek tangense 0, 5? Shift (S a kijelzőn!) megnyomását követően, Számot beírjuk, és az = gombot megnyomjuk! Eredményül 26, 56505… fokot kapunk.

Shift (S a kijelzőn!) megnyomását követően, Számot beírjuk, és az = gombot megnyomjuk! Eredményül 60 fokot kapunk.

Shift (S a kijelzőn!) megnyomását követően, Számot beírjuk, és az = gombot megnyomjuk! Eredményül 30 fokot kapunk.

Shift (S a kijelzőn!) megnyomását követően, Számot beírjuk, és az = gombot megnyomjuk! Eredményül 40, 89339… fokot kapunk.

Melyik az a hegyes szög, aminek szinusza 1? Shift (S a kijelzőn!) megnyomását követően, Számot beírjuk, és az = gombot megnyomjuk! Eredményül 90 fokot kapunk.

Shift (S a kijelzőn!) megnyomását követően, Számot beírjuk, és az = gombot megnyomjuk! Eredményül 0 fokot kapunk.

Shift (S a kijelzőn!) megnyomását követően, Számot beírjuk, és az = gombot megnyomjuk! Eredményül 45 fokot kapunk.

Melyik az a hegyes szög, aminek szinusza 2? Shift (S a kijelzőn!) megnyomását követően, Számot beírjuk, és az = gombot megnyomjuk! Eredményül nem értelmezhető fokot kapunk.

Shift (S a kijelzőn!) megnyomását követően, Számot beírjuk, és az = gombot megnyomjuk! Eredményül nem értelmezhető fokot kapunk.

Shift (S a kijelzőn!) megnyomását követően, Számot beírjuk, és az = gombot megnyomjuk! Eredményül 63, 43… fokot kapunk.

Gyakorló alapfeladatok

Egy derékszögű háromszög egyik befogója 5 cm, átfogója 8 cm hosszú. Határozd meg a háromszögeit! c a b Keressük azt a hegyes szöget, amelynek szinusza 0, 625. Ha az átfogó és egy befogó adott, akkor a sin vagy cos szögfüggvényeket célszerű alkalmazni. Gyakorlásként mindkettőt alkalmazzuk. Keressük azt a hegyes szöget, amelynek koszinusza 0, 625. 31

Egy derékszögű háromszög egyik befogója 6 cm, átfogója 10 cm hosszú. Határozd meg a háromszögeit! c a b Keressük azt a hegyes szöget, amelynek szinusza 0, 6. Ha az átfogó és egy befogó adott, akkor a sin vagy cos szögfüggvényeket célszerű alkalmazni. Gyakorlásként mindkettőt alkalmazzuk. Keressük azt a hegyes szöget, amelynek koszinusza 0, 6. 32

Egy derékszögű háromszög egyik befogója 4 cm, másik befogója 5 cm hosszú. Határozd meg a háromszögeit! c a b Keressük azt a hegyes szöget, amelynek tangense 0, 8. Ha a két befogó adott, akkor a tangens (vagy cotangens) szögfüggvényeket célszerű alkalmazni. Mivel a ctg a tg reciproka, ezért nem használjuk ezt külön. Keressük azt a hegyes szöget, amelynek tangense 1, 25. 33

Egy derékszögű háromszög egyik befogója 16 cm, másik befogója 5 cm hosszú. Határozd meg a háromszögeit! c a b Keressük azt a hegyes szöget, amelynek tangense 3, 2. Ha a két befogó adott, akkor a tangens (vagy cotangens) szögfüggvényeket célszerű alkalmazni. Mivel a ctg a tg reciproka, ezért nem használjuk ezt külön. Keressük azt a hegyes szöget, amelynek tangense 0, 3125. 34

Egy derékszögű háromszög egyik befogója 12 cm, és az azzal szemben lévő szöge 30°. Határozd meg a háromszög átfogójának hosszát! c a Ha a befogó és az azzal szemben lévő szög adott, akkor a szinusz szögfüggvényt célszerű alkalmazni. b Átrendezés után: A derékszögű háromszög átfogója 24 cm hosszú. 35

Egy derékszögű háromszög egyik befogója 20 cm, és az azzal szemben lévő szöge 45°. Határozd meg a háromszög átfogójának hosszát! c a Ha a befogó és az azzal szemben lévő szög adott, akkor a szinusz szögfüggvényt célszerű alkalmazni. b Átrendezés után: A derékszögű háromszög átfogója 28, 284 cm hosszú. 36

Egy derékszögű háromszög egyik befogója 15 cm, és a befogón fekvő szöge 75°. Határozd meg a háromszög átfogójának hosszát! c a Ha a befogó és az azon az oldalon fekvő szög adott, akkor a koszinusz szögfüggvényt célszerű alkalmazni. b Átrendezés után: A derékszögű háromszög átfogója 57, 96 cm hosszú. 37

Egy derékszögű háromszög egyik befogója 20 cm, és a befogón fekvő szöge 45°. Határozd meg a háromszög átfogójának hosszát! c a Ha a befogó és az azon az oldalon fekvő szög adott, akkor a koszinusz szögfüggvényt célszerű alkalmazni. b Átrendezés után: A derékszögű háromszög átfogója 28, 284 cm hosszú. 38

Egyszerű szöveges feladatok Derékszögű háromszögekben értelmezett szögfüggvényekre Szögek visszakeresése, oldalak visszaszámolása

Egy 5 m magas dombra 10 m hosszú út vezet fel egyenletes emelkedéssel. Mekkora a lejtő emelkedési szöge? Készítsünk ábrát a feladat megértéséhez! c a b Adatok felírása: Ha az átfogó és a szöggel szemközti befogó adott, akkor a sin szögfüggvényt célszerű alkalmazni.

Egy 1, 2 m magas platójú autóra 6 m hosszú rámpa vezet fel egyenletes emelkedéssel. Mekkora a rámpa emelkedési szöge? Készítsünk ábrát a feladat megértéséhez! c a b Adatok felírása: Ha az átfogó és a szöggel szemközti befogó adott, akkor a sin szögfüggvényt célszerű alkalmazni.

Egy 700 m magas hegyre 10 km hosszú út vezet fel egyenletes emelkedéssel. Mekkora a lejtő emelkedési szöge? Készítsünk ábrát a feladat megértéséhez! c a b Adatok felírása, és közös mértékegység létrehozása: Ha az átfogó és a szöggel szemközti befogó adott, akkor a sin szögfüggvényt célszerű alkalmazni.

Egy 5 m hosszú létra talpa 75 cm távolságra támaszkodik a faltól. Mekkora a létra emelkedési szöge? Készítsünk ábrát a feladat megértéséhez! c a b Adatok felírása, és közös mértékegység létrehozása: Ha az átfogó és a szög melletti befogó adott, akkor a cos szögfüggvényt célszerű alkalmazni.

Egy 4 m hosszú rámpa talpa 3, 85 m távolságra támaszkodik a faltól. Mekkora a rámpa emelkedési szöge? Készítsünk ábrát a feladat megértéséhez! c a b Adatok felírása: Ha az átfogó és a szög melletti befogó adott, akkor a cos szögfüggvényt célszerű alkalmazni.

Egy létra talpa 1 m távolságra támaszkodik a faltól és 3, 6 m magasan ér hozzá a falhoz a másik vége. Mekkora a létra emelkedési szöge? Készítsünk ábrát a feladat megértéséhez! c a b Adatok felírása: Ha a két befogó adott, akkor a tangens szögfüggvényt célszerű alkalmazni.

Egy 60 m magas kémény árnyéka 12, 6 m. Mekkora szögben érkeznek a nap sugarai a vízszintes talajhoz képest? Készítsünk ábrát a feladat megértéséhez! c a b Adatok felírása: Ha a két befogó adott, akkor a tangens szögfüggvényt célszerű alkalmazni.

Egy felüljáró lejtője a vízszintessel 3 fokos szöget zár be. A vízszintesre eső merőleges vetülete 360 m. Milyen magasan van a felüljárón az út teteje? Készítsünk ábrát a feladat megértéséhez! c a Adatok felírása: b Ha a két befogó adott, akkor a tangens szögfüggvényt célszerű alkalmazni. A felüljárón az út 18, 87 m magasan van.

Egy felüljáró lejtője a vízszintessel 3 fokos szöget zár be. A vízszintesre eső merőleges vetülete 360 m. Milyen magasan van a felüljárón az út teteje? Készítsünk ábrát a feladat megértéséhez! c a Adatok felírása: b Ha a két befogó adott, akkor a tangens szögfüggvényt célszerű alkalmazni. A felüljárón az út 18, 87 m magasan van.

Készítsünk ábrát a feladat megértéséhez! c a b Ha az átfogó és a szöggel szemközti befogó adott, akkor a sin szögfüggvényt célszerű alkalmazni. Adatok felírása: 63 cm szintkülönbséget kell legyőzni.

Készítsünk ábrát a feladat megértéséhez! c a b Ha az átfogó és a szöggel melletti befogó adott, akkor a cos szögfüggvényt célszerű alkalmazni. Adatok felírása: 599 m hosszú az alagút.

Hány fokos annak a veszélyes lejtőnek az emelkedési szöge, melynek meredeksége 12%? A lejtő meredeksége megegyezik, az emelkedési szögének tangensével. A százalékban felírt arányszám átírása:

Hány fokos annak a veszélyes lejtőnek az emelkedési szöge, melynek meredeksége 25%? A lejtő meredeksége megegyezik, az emelkedési szögének tangensével. A százalékban felírt arányszám átírása:

A lejtő meredeksége megegyezik, az emelkedési szögének tangensével. Az ezrelékben felírt arányszám átírása:

Hegyesszögű trigonometriai feladatok egyenlőszárú háromszögekben

Egyenlőszárú háromszög Ha egy háromszög egyenlőszárú, akkor • van két ugyanakkora hosszúságú oldala, amit száraknak nevezünk, a harmadikat pedig általában alapnak. • a háromszög tengelyesen szimmetrikus, • az alaphoz húzott magasságvonala a szimmetria tengelye, • a szimmetriatengely az alapot és a nyílásszöget, vagy más néven szárszöget két egyenlő részre osztja, • az alapon fekvő szögeik egyenlők.

Készítsünk egy ábrát a feladat megértéséhez, és gyűjtsük ki a rendelkezésünkre álló adatokat! Ha egy háromszög egyenlőszárú, akkor • a háromszög tengelyesen szimmetrikus, • az alaphoz húzott magasságvonala a szimmetria tengelye, • a szimmetriatengely az alapot és a nyílásszöget két egyenlő részre osztja • az alapon fekvő szögeik egyenlők. Húzzuk be az alaphoz tartozó magasságvonalat! Ekkor az „a” alap fele, a „b”szár, és a magasság egy derékszögű háromszöget alkot. A háromszög alapja 6, 42 cm hosszú.

Mekkora az egyenlőszárú háromszög nyílásszöge, ha az alapja 20 cm szára pedig 17 cm? Készítsünk egy ábrát a feladat megértéséhez, és gyűjtsük ki a rendelkezésünkre álló adatokat! Ha egy háromszög egyenlőszárú, akkor • a háromszög tengelyesen szimmetrikus, • az alaphoz húzott magasságvonala a szimmetria tengelye, • a szimmetriatengely az alapot és a nyílásszöget két egyenlő részre osztja • az alapon fekvő szögeik egyenlők. Húzzuk be az alaphoz tartozó magasságvonalat! Ekkor az „a” alap fele, a szár, és a magasság egy derékszögű háromszöget alkot. Ha az átfogó és a szöggel szemközti befogó adott, akkor a sin szögfüggvényt célszerű alkalmazni.

Mekkora a 30 cm hosszú fonálinga nyílásszöge, ha a nehezék holtpontjai közt 12 cm a távolság? A fonálinga felfüggesztési pontja és a holtpontok egyenlőszárú háromszöget alkotnak. Készítsünk egy ábrát a feladat megértéséhez, Ha egy háromszög egyenlőszárú, akkor és gyűjtsük ki a rendelkezésünkre álló adatokat! • a háromszög tengelyesen szimmetrikus, • az alaphoz húzott magasságvonala a szimmetria tengelye, • a szimmetriatengely az alapot és a nyílásszöget két egyenlő részre osztja • az alapon fekvő szögeik egyenlők. Húzzuk be az alaphoz tartozó magasságvonalat! Ekkor az „a” alap fele, a szár, és a magasság egy derékszögű háromszöget alkot. Ha az átfogó és a szöggel szemközti befogó adott, akkor a sin szögfüggvényt célszerű alkalmazni.

Készítsünk egy ábrát a feladat megértéséhez, és gyűjtsük ki a rendelkezésünkre álló adatokat! Húzzuk be az alaphoz tartozó magasságvonalat! A magasság felezi az egyenlőszárú háromszög alapját. Ekkor a az m, az a/2 és a b, és oldalak derékszögű háromszöget alkot. m

Az egyenes körkúp függőleges síkmetszete egyenlőszárú háromszöget alkot. m Készítsünk egy ábrát a feladat megértéséhez, és gyűjtsük ki a rendelkezésünkre álló adatokat! Húzzuk be az alaphoz tartozó magasságvonalat! A magasság felezi az egyenlőszárú háromszög nyílásszögét. Ekkor a „d” –vel jelölt alap fele, az „a”-val jelölt szár, és az m egy derékszögű háromszöget alkot. A kúp alapkörének átmérője 154, 27 cm hosszú.

Készítsünk egy ábrát a feladat megértéséhez, és gyűjtsük ki a rendelkezésünkre álló adatokat! Húzzuk be az alaphoz tartozó magasságvonalat! A magasság felezi az egyenlőszárú háromszög nyílásszögét. Ekkor az „a” –vel jelölt alap fele, az „b”-vel jelölt szár, és az m egy derékszögű háromszöget alkot. m A háromszög magassága 1, 04 m hosszú. A háromszög alapja 11, 82 m hosszú.

Egy egyenlőszárú háromszög szára 6 m, alapja pedig 4 m. Mekkorák a szögei? Készítsünk egy ábrát a feladat megértéséhez, és gyűjtsük ki a rendelkezésünkre álló adatokat! Húzzuk be az alaphoz tartozó magasságvonalat! A magasság felezi az egyenlőszárú háromszög nyílásszögét. Ekkor az „a” –vel jelölt alap fele, az „b”-vel jelölt szár, és az m egy derékszögű háromszöget alkot. m

Egy egyenlőszárú háromszög szára 15 m, alapja pedig 5 m. Mekkorák a szögei? Készítsünk egy ábrát a feladat megértéséhez, és gyűjtsük ki a rendelkezésünkre álló adatokat! Húzzuk be az alaphoz tartozó magasságvonalat! A magasság felezi az egyenlőszárú háromszög nyílásszögét. Ekkor az „a” –vel jelölt alap fele, az „b”-vel jelölt szár, és az m egy derékszögű háromszöget alkot. m