Polinomios U D 5 3 ESO E Ap

Polinomios U. D. 5 * 3º ESO E. Ap. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 1

REGLA DE RUFFINI U. D. 5. 7 * 3º ESO E. Ap. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 2

División y ceros de polinomios • REGLA DE RUFFINI • • Cuando se trate de dividir un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x - a), siendo a un número, la división de puede realizar de esta forma: • • 1. ‑ Se reduce el dividendo. 2. ‑ Se ordena el dividendo forma decreciente. 3. ‑ Si el dividendo es incompleto, poner ceros. 4. ‑ Se colocan en fila los coeficientes del dividendo, incluídos los ceros. 5. - Se coloca a la izquierda el valor del número a. 6. - Se aplicar el algoritmo correspondiente de Ruffini. 7. ‑ Los números obtenidos son los coeficientes del cociente, salvo el último que es el resto de la división. 8. - Se puede comprobar el resultado, pues siempre se cumplirá: D(x) = d(x). c(x) + r(x). • • @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 3

Ejemplo_1 de división por Ruffini • Sea ( x 3 + 4. x 2 - 5 ) : ( x - 3 ) , donde a = 3 • • • 3 1 • • 4 0 -5 3 21 63 7 21 58 + C(x) = 1. x 2 + 7. x + 21 R(x) = 58 Podemos comprobar la división: (x 3 + 4. x 2 - 5) = (x - 3). (x 2 + 7. x + 21) + 58 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 4

Ejemplo_2 de división por Ruffini • Sea ( x 3 + 4. x 2 - 5 ) : ( x + 5 ) , donde a = - 5 • 1 • • -5 • • • 1 4 0 -5 + -5 5 - 25 -1 5 - 30 C(x) = 1. x 2 - 1. x + 5 R(x) = - 30 Podemos comprobar la división: (x 3 + 4. x 2 - 5) = (x + 5 ). (x 2 - x + 5) + (- 30) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 5

Ejemplo_3 de división por Ruffini • Sea ( 4. x 3 + 5. x - 3 ) : ( x + 2 ) , donde a = - 2 • 4 • • -2 • • • 4 0 5 -3 + -8 16 - 42 -8 21 - 45 C(x) = 4. x 2 - 8. x + 21 R(x) = - 45 Podemos comprobar la división: ( 4. x 3 + 5. x - 3 ) = ( x + 2 ). (4. x 2 - 8. x + 21) + (- 45) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 6

Método escalonado de Ruffini • • • 1 1 • 1 • 3 -1 1 -2 1 • PRE = {1, -1} , -2 1 0 1 -1 • • P(1) = 0 El 1 es un cero o raíz. ¿Y los otros dos? . Utilizamos el método escalonado de Ruffini. -1 0 • • • P(x) = x 3 - 3 x 2 + 3. x - 1 P(x) = (x – 1). ( x 2 – 2. x + 1) P(x) = (x – 1)3 La raíz es triple. + • 1 • -3 • • 1 1 0 @ Angel Prieto Benito Sea P(x) = x 3 - 3 x 2 + 3. x - 1 Hallar los ceros o raíces. Apuntes de Matemáticas 3º ESO 7

Método escalonado de Ruffini • • • 1 1 • 1 -4 1 4 4 • PRE = {1, -1, 2 , -2 , 4 , -4} , 4 4 -2 -4 • • P(1) = 0 El 1 es un cero. ¿Y los otros dos? . Utilizamos el método escalonado de Ruffini. -2 • • • P(x) = x 3 + 3. x 2 - 4 P(x) = (x – 1). ( x 2 + 4. x + 4) P(x) = (x – 1). (x + 2) 0 • x = – 2 es una raíz doble. 1 • -2 • 0 + • -2 • 3 • • 1 2 @ Angel Prieto Benito 0 0 Sea P(x) = x 3 + 3. x 2 - 4 Hallar los ceros o raíces. Apuntes de Matemáticas 3º ESO 8

Método escalonado de Ruffini • • • 1 1 • 1 -4 1 4 4 • 4 4 -2 -4 1 • -2 • 0 + • -2 • 3 • • 2 -2 1 0 @ Angel Prieto Benito 0 • • • 0 • • • Sea P(x) = x 4 + 3. x 3 - 4. x Hallar los ceros o raíces. Al no tener término independiente extraigo x como factor común: P(x) = x. (x 3 + 3. x 2 - 4) x=0 es un cero o raíz de P(x) El polinomio entre paréntesis es el mismo que en el ejercicio anterior. Luego tengo: P(x) = x. (x 3 + 3. x 2 - 4) P(x) = x. (x – 1). ( x 2 + 4. x + 4) P(x) = x. (x – 1). (x + 2) Es lo mismo x que (x – 0) Apuntes de Matemáticas 3º ESO 9

Método escalonado de Ruffini • • • • Sea P(x) = x 4 – 3. x 3 – 7. x 2 + 27. x – 18 Halla las raíces y factoralizalo. PRE={1 , -1 , 2 , -2 , 3 , -3 , 6 , -6, 9, -9, 18, -18} P(1) = 1 – 3 – 7 + 27 – 18 = 0 P(– 1) = – 48 <> 0 x = - 1 no es raíz. P(2) = 16 – 24 – 28 + 54 – 18 = 0 x = 2 es otra raíz. Dividimos P(x) entre (x – 1) y (x – 2) por la Regla de Ruffini: 1 -3 -7 27 -18 1 1 -2 - 9 18 ----------------------1 -2 -9 18 0 2 2 0 -18 -------------------1 0 -9 0 C(x) = x 2 – 9 C(x) = (x + 3). (x – 3) Quedaría: P(x) = (x – 1). (x – 2). (x + 3). (x – 3) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 10