ECUACIONES U D 4 4 ESO E AC

ECUACIONES U. D. 4 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 1

FRACCIONES ALGEBRAICAS U. D. 4. 4 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 2

FRACCIONES ALGEBRAICAS • • FRACCIÓN ALGEBRAICA Es el cociente de dos polinomios. P(x) / Q(x) Para operar con fracciones se siguen las leyes aritméticas, con la diferencia ahora que el mcm de los denominadores es el mcm de polinomios, no de números reales. • • • FRACCIONES EQUIVALENTES Dos fracciones, P(x) / Q(x) y M(x) / N(x) son equivalentes si: P(x) M(x) ----- = ------ , lo que implica que P(x). N(x) = Q(x). M(x) Q(x) N(x) • • Ejemplo x 2 – 1 --------x 2 – 2. x + 3 @ Angel Prieto Benito y x– 1 -------x– 2 Matemáticas 4º ESO E. AC. 3

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES • Para que una fracción racional P(x) / Q(x) se pueda simplificar debe haber, al menos un factor común entre P(x) y Q(x). • Ejemplo 1 • • • x 3 – 8 (x - 2). (x 2 + 2. x + 4) x 2 + 2. x + 4 ---- Factorizando -------------- = ---------x 2 – 4 (x + 2). (x – 2) x+2 • Si un polinomio está dividido por un monomio, dicho monomio divide a todos y cada uno de los monomios del polinomio. NO SE PUEDE SIMPLIFICAR UN MONOMIO DEL POLINOMIO CON EL MONOMIO DIVISOR • • • x 3 + x 2 + 2. x + 4 ------------ = x 3 + 2. x + 4 x 2 @ Angel Prieto Benito MUY MAL OPERADO Matemáticas 4º ESO E. AC. 4

• EJEMPLO_2 • • • Sea • Eliminamos de la expresión los factores comunes, quedando: • • • P(x) (x – 2). (x + 3) ------ = -----------Q(x) (x + 2). (x – 3)2 • EJEMPLO_3 • • • Sea • • • P(x) (x – 1)2. (x – 2 ). (x 2 + 5. x + 7) ------ = -------------------- = x 2 + 5. x + 7 Q(x) (x – 1)2. (x – 2 ) P(x) (x – 2). (x – 3). (x + 3)2 ------ = ----------------Q(x) (x + 2). (x + 3). (x – 3)3 P(x) x 5 + x 4 – 8. x 3 – 5. x 2 + 25. x – 14 ------ = ---------------------- , que factorizamos: Q(x) x 3 – 4. x 2 + 5. x – 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 5

Común denominador • Para multiplicar o dividir fracciones NO se precisa realizar el m. c. m. o común denominador de los denominadores. • Para sumar o restar fracciones es obligatorio realizar el m. c. m. o común denominador de los denominadores. • Para sumar o restar fracciones el común denominador de los denominadores puede ser el producto de los mismos (no el m. c. m. ). Pero no es nada recomendable. • Para sumar o restar fracciones el común denominador debe ser el m. c. m. de los denominadores. • • Ejemplo x– 2 x+4 (x + 2). (x – 2) + (x – 3). (x + 4) ------ + ---------- = --------------------- = ……… (x – 3)2 (x – 3). (x+2) (x – 3)2. (x+2) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 6

Mínimo común múltiplo: MCM • MINIMO COMUN MULTIPLO de dos o más polinomios, es el menor de los polinomios múltiplos comunes. • Se forma tomando los factores comunes y no comunes a todos los polinomios con el mayor exponente que presenten. • Ejemplo_1 • Hallar el MCM de los polinomios: • P(x) = (x – 3)2. (x + 2)3 • Q(x) = (x – 3)3. (x + 2). (x + 1) • MCM = (x – 3)3. (x + 2)3. (x + 1) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 7

• Ejemplo_2 • Hallar el MCM de los polinomios: • P(x) = (x – 3)2. (x + 2) • Q(x) = (x – 3)3. (x – 2). (x + 1) • MCM = (x – 3)3. (x + 2). (x – 2). (x + 1) • Ejemplo_3 • Hallar el MCM de los polinomios: • P(x) = (x – 3)5 • Q(x) = (x – 3). (x + 1) • MCD = (x – 3)5 (x + 1) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 8

• Ejemplo_3 • x 7. x - 9 • ------- -- --------- = ------ -- ---------- = • x– 3 x 2 – 2 x – 3 x– 3 (x – 3). (x + 1) • M. c. m. =(x – 3). (x + 1) • x. (x+1) - (7. x – 9 ) x 2 + x – 7. x + 9 x 2 - 6. x + 9 • = -------------- = ---------- = • (x – 3). (x + 1) • Se factoriza el numerador siempre que sea posible: • (x – 3). ( x – 3) x– 3 • = ----------- = ----- , que es la solución simplificada. • (x – 3). (x + 1) x+1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 10