ECUACIONES SISTEMAS DE ECUACIONES INECUACIONES Animacin Juan A

ECUACIONES SISTEMAS DE ECUACIONES INECUACIONES Animación: Juan A. Morales. Material: Editorial SM

Ecuaciones • Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en la que aparecen números y letras ligados por operaciones. Las letras representan cantidades indeterminadas, y se llaman incógnitas. • Una igualdad que es cierta para cualquier valor de las variables es una identidad. Incógnita Igualdad 3 x 2 – 18 x + 19 = 12 x – 29 1 er miembro 2 o miembro

Soluciones de una ecuación. Ecuaciones equivalentes • Las soluciones de una ecuación son los valores que pueden tomar las incógnitas de manera que, al sustituirlos en una ecuación, la igualdad sea cierta. • Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la mismas soluciones. • Transformaciones que conservan las soluciones de una ecuación. Si se suma o resta el mismo número a los dos miembros de una ecuación se obtiene una ecuación equivalente. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número no nulo se obtiene una ecuación equivalente Ejemplos: • La ecuación 3 x 2 – 18 x + 19 = 12 x – 29 tiene una solución para x = 2. • x = 1 no es solución de la ecuación anterior. • Una ecuación equivalente a la anterior es x 2 – 10 x + 16 = 0 • La ecuaciones x 2 = 1 y x 3 = 1 no son equivalentes

Ecuaciones polinómicas (I) • Una ecuación en la que sólo aparecen polinomios se llama polinómica. • Toda ecuación polinómica se puede transformar en otra equivalente de la forma P(x) = 0, en donde P(x) es un polinomio. Se llama grado de la ecuación al grado de P(x). Ecuaciones polinómicas de primer grado: toda ecuación polinómica de primer grado se puede transformar en otra de la forma ax + b = 0 con a 0 –b Soluciones: esta ecuación tiene una única solución: x = a Interpretación geométrica: un polinomio de grado 1 está representado por una recta. La solución de la ecuación es la abcisa del punto de corte de la recta con el eje x Y y = ax + b (–b/a, 0) O X

Ecuaciones polinómicas (II) • Las ecuaciones polinómicas de segundo grado, también llamadas cuadráticas, son equivalentes a ecuaciones de la forma ax 2 + bx + c = 0 con a 0 Soluciones: estas ecuaciones pueden tener dos, una o ninguna solución. Interpretación geométrica: un polinomio de segundo grado está representado por una parábola. Según la parábola corte al eje X en dos, uno o ningún punto la ecuación cuadrática tendrá dos, una o ninguna solución. y = x 2 +1 x 2 + 1 = 0 tiene dos soluciones complejas: i. No tiene soluciones reales: la parábola no corta al eje x y = (x +2)2 (x + 2)2 = 0 tiene una solución doble: – 2. El polinomio tiene una raíz real doble. La parábola corta al eje x en un punto y = x 2 – 2 = 0 tiene dos soluciones. El polinomio tiene dos raíces reales distintas. La parábola corta al eje x en dos puntos

Ecuaciones polinómicas (III) Solución de una ecuación cuadrática Para resolver ax 2 + bx + c = 0

Sistemas de ecuaciones. Solución de un sistema Una solución de este sistema: x = 3; y = – 2. En este caso es única 5 x+y=13 x+y=1 Interpretación geométrica: • Cada igualdad del sistema representa una recta en el plano cartesiano. • Una solución de este sistema es un punto común a ambas rectas (3, – 2)

Sistemas equivalentes. Sistemas lineales y no lineales Sistemas equivalentes: Dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones Se pueden aplicar a un sistema las mismas transformaciones que a una ecuación: • Si se suma o se resta el mismo número a los dos miembros de una ecuación de un sistema, se obtiene un sistema equivalente • Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación de un sistema por un mismo número distinto de cero, se obtiene un sistema equivalente Sistemas lineales y no lineales: • Si en un sistema todas la ecuaciones son polinómicas de grado 1, se dice que es un sistema de ecuaciones lineales. • En caso contrario se dice que el sistema es no lineal.

Número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales 2 x 2 5 x + y = 13 x+y=1 Es un sistema con solución única. x+y=1 x+y=2 2 x + 2 y = 2 Es un sistema sin solución. Es un sistema con infinitas soluciones.

Un sistema de ecuaciones lineales sin solución (1ª ec) (– 2) + 2ª ec (1ª ec) (– 2) + 3ª ec (2ª ec) (– 1) + 3ª ec La ecuación 0 = – 5 no puede satisfacerse y el sistema al que se ha llegado no tiene solución. Como el sistema original es equivalente, tampoco tiene solución.

Un sistema de ecuaciones lineales con infinitas soluciones (1ª ec) (– 2) + 2ª ec (1ª ec) (– 2) + 3ª ec • La ecuación 0 = 0 es siempre cierta y puede ser eliminada, obteniéndose con ello un sistema equivalente al original. Dejamos en el primer miembro, el mismo número de ecuaciones que de incógnitas x + y = 9 + 2 z -3 y = -14 - 8 z x = 9 + 2 z - = y= • Al darle a z un valor cualquiera (por ejemplo z = – 1), podemos obtener las otras incógnitas por sustitución hacia arriba: y =2, x = 5. Ya tenemos una solución: x= 5, y = 2, z = – 1 • Como a z se le puede dar cualquier valor concluimos que el sistema tiene infinitas soluciones.

Sistemas de ecuaciones no lineales • No hay un método general que permita resolver todos los sistema de ecuaciones no lineales. • Pueden tener cualquier número de soluciones, en número finito o infinito. • Las ecuaciones del sistema pueden representar rectas o curvas: resolverlo es encontrar todos los puntos en común a las rectas – curvas que forman el sistema Ejemplo • Se despeja y de la segunda ecuación y se sustituye en la primera. • Se obtiene: x 2 – 7 x + 12 = 0 • Al resolver: x=3, x = 4 • Sustituimos estos valores de x en la segunda ecuación y se obtiene: y = 4, y = 3 El sistema tiene dos soluciones: • x = 3, y = 4 • x = 4, y = 3 Estas soluciones corresponden a las coordenadas de los dos puntos en común que tienen la circunferencia x 2 + y 2 = 25, y la recta x + y = 7 • •

Inecuaciones • Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones en la que aparecen números y letras ligados por operaciones. Las desigualdades pueden ser de cualquiera de los tipos: >, <, , o • Las letras representan cantidades indeterminadas, y se llaman incógnitas. • Las soluciones de una inecuación son los valores que pueden tomar las incógnitas de manera que, al sustituirlos en la inecuación, la desigualdad sea cierta. Incógnita Desigualdad 3 x 2 – 18 x + 19 > 12 x – 29 1 er miembro 2 o miembro

Inecuaciones equivalentes • Dos inecuaciones son equivalentes si tienen la mismas soluciones. • Transformaciones que conservan las soluciones de una inecuación. Si se suma o resta el mismo número a los dos miembros de una inecuación se obtiene una inecuación equivalente. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número positivo se obtiene una inecuación equivalente. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número negativo y se invierte la desigualdad se obtiene una inecuación equivalente. Ejemplos: • La inecuación 3 x 2 – 18 x + 19 > 12 x – 29 tiene una solución para x = 1. • x = 2 no es solución de la inecuación anterior. • Una inecuación equivalente a la anterior es x 2 – 10 x + 16 > 0

Inecuaciones de primer grado • Una desigualdad entre polinomios de primer grado es una inecuación de primer grado. • Puede ocurrir que: Se satisfagan para cualquier valor de la variable. No tengan solución. Las que no están en ninguno de los casos anteriores son equivalentes a inecuaciones de la forma: x < a, x > a, x a, o x a Ejemplos: 2 x + 3 < 5 x + 2 x > 1/3 3 – 2 x < 5 – 2 x 0 < 2 5 – 3 x 2 – 3 x 3 0 1/3 Soluciones: (1/3, + ) Como esto es siempre cierto, son solución todos los números reales. Soluciones: (– , + ) Como esto es siempre falso, la inecuación no tiene solución

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