DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

Características fundamentales Igualdad es la expresión de dos cantidades que tienen el mismo valor.

Miembros y términos de una ecuación 10 X + 20 = PRIMER MIEMBRO 10

Conceptos previos Expresiones generales • Ecuación de primer grado: ax + b = 0

Reglas para no olvidar Axioma fundamental de las IGUALDADES: “Si dos cantidades son iguales

Reglas para no olvidar “Si los miembros de una ecuación se multiplican o dividen

Aplicación práctica Los términos que están sumando en el un miembros pasan al otro

Tipos de ecuaciones de primer grado Al resolver ecuaciones de primer grado aplicando las

Resolución de ecuaciones de primer grado Resolver una ecuación es encontrar el valor de

Resolución de problemas de ecuaciones Pasos • Comprensión del problema. Se debe leer detalladamente

Ecuaciones de 2º grado Expresión general: ax 2 + bx + c = 0

Ecuaciones de 2º grado Fórmula resolución: Discriminante: ∆ = b 2 – 4 ac

Ecuaciones de 2º grado completas • Definición: Una ecuación de segundo grado es completa

Ecuaciones de 2º grado completas • Algunas propiedades adicionales. § Conocidos la suma y

Ecuaciones de 2º grado incompletas • Definición: Una ecuación de segundo grado es incompleta

Ecuaciones de 2º grado incompletas § Resolución ec. del tipo ax 2 ± c

Ecuaciones bicuadradas • Definición: Es una ecuación de grado 4 sin términos de

Sistemas de ecuaciones • Ecuaciones lineales: Son ecuaciones de primer grado con dos

Sistemas de ecuaciones • Definición: Es un conjunto de ecuaciones lineales. Nosotros vamos

Representación gráfica de los sistemas de ecuaciones Compatible determinado Compatible indeterminado Incompatible 22

Sistemas de ecuaciones • Métodos de resolución: § Representación gráfica → Se trata

Resolver: 3 X + 4 = 7. 237 X = 2. 412 X =

Resolver: 1’ 28 X – 4’ 04 = 7’ 44 X = 8’ 968

Resolver: 2·(5 – X) = 5·(X + 7) X = 18’ 33 X =

Resolver: 3·(16 X + 4) = 3·(34 + X) X=2 X=4 X=3 X=5

Resolver: 11·(3 – X) = 10·(3 – 2 X) X = 0’ 33 X

Resolver: 3 X + 3 = 2·(7 x – 15) X=5 X=3 X=-3 X

Resolver: 4 X – 8 = – 4 X=-1 X = 1’ 1 X=2

¿Qué ecuación tiene por resultado X = - 38? 65·(X + 99) 3·(X +

Plantea y resuelve. ¿Qué número se le debe sumar a 1/35 para obtener 3/7?

Plantea y resuelve: Si al triple de un número se le resta 10, el

Plantea y resuelve: Un terreno rectangular tiene un área de 360 m. Si un

Plantea y resuelve: Josefina compro 2 manzanas. Si pago con un billete de 10

Plantea y resuelve. Si al triple de un numero se le resta 17 se

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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS – Ecuaciones y sistemas de ecuaciones C/ San Rafael, 25 46701 -Gandia Tfno. 962 965 096 domingovaya@escolapiasgandia. es www. escolapiasgandia. es COLEGIO ESCOLAPIAS GANDIA ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO – SISTEMAS DE ECUACIONES. 1

Características fundamentales Igualdad es la expresión de dos cantidades que tienen el mismo valor. Se dividen en: Identidades – Ecuaciones – Fórmulas Ecuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas y solo se cumple para determinados valores. Las incógnitas se representan generalmente con las últimas letras del alfabeto, x, y, z. 10 X + 20 = 40 x=2 40 = 40 IGUALDAD 10 · 2 = 40 – 20 VERIFICACIÓN DE LA IGUALDAD

Miembros y términos de una ecuación 10 X + 20 = PRIMER MIEMBRO 10 X 40 SIGNO DE IGUALDAD O DE IDENTIDAD + 20 = SEGUNDO MIEMBRO 40 Término Cada una de las cantidades unidas a otras por el signo más o menos se denominan TERMINOS 10 X + 20 = 40 10 X² + 20 = 40 Ecuación lineal Ecuación Cuadrática

Conceptos previos Expresiones generales • Ecuación de primer grado: ax + b = 0 • Ecuación de segundo grado: ax 2 + bx + c = 0 ax + by = c • Sistema de ecuaciones: a’x + b’y = c’ Incógnita: Término desconocido de una ecuación; x, y, z… Grado de una ecuación: Es el mayor de todos los exponentes a los que está elevada la incógnita Resolver una ecuación: Es encontrar su solución o soluciones Soluciones: Valores de la incógnita que hacen que la igualdad sea cierta Ecuaciones equivalentes: Son las que tienen la misma solución Trasposición de términos: Agrupar en un miembro todos los términos con x, y en otro, los términos independientes. Ecuación incompatible: Aquella que no tiene solución 4

Reglas para no olvidar Axioma fundamental de las IGUALDADES: “Si dos cantidades son iguales y se realizan idénticas operaciones en ambas, los resultados serán también iguales” 8=8 → 8+4 = 8+4 → 12 = 12 De este axioma se derivan las siguientes reglas: “Si a dos miembros de una ecuación se suma o resta, una misma cantidad positiva o negativa, la igualdad permanece. ” 8 x + 4 = x Vamos a restar x 8 x + 4 – x = x – x 7 x + 4 = 0 Ahora restamos 4 7 x = - 4 x = -4/7 Finalmente dividimos entre 7

Reglas para no olvidar “Si los miembros de una ecuación se multiplican o dividen por una misma cantidad positiva o negativa, la igualdad permanece. ” 8 x = 4 Vamos a dividir entre 2 8 x /2 = 4/2 4 x = 2 Y ahora entre 4 x = 2/4 x = 1/2 “Si los miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia o se extrae una misma raíz, la igualdad permanece. ” CONCLUSIÓN FINAL Si en una igualdad realizo idénticas operaciones en ambos miembros, la igualdad permanece. En la ecuación tenemos que hacer las operaciones necesarias para mantener siempre la igualdad original

Aplicación práctica Los términos que están sumando en el un miembros pasan al otro miembro restando y viceversa: 2 x – 5 = x + 10 2 x – 5 - x = 10 2 x – x = 10 + 5 x = 15 Los términos que están multiplicando en el un miembros pasan al otro miembro dividiendo y viceversa 2 ( x+ 1) = 4 x + 1 = 4/2 x =2– 1 x =1

Tipos de ecuaciones de primer grado Al resolver ecuaciones de primer grado aplicando las reglas anteriores, vamos obteniendo ecuaciones cada vez más sencillas hasta llegar a la expresión general a · x = b Tipos de ecuaciones de primer grado: • Si a ≠ 0, la solución es x = b/a. Decimos que la ecuación es compatible, tiene una única solución. • Si a = 0 y b ≠ 0 → 0 · x = b. La ecuación no tiene solución, es una ecuación incompatible. • Si a = 0 y b = 0 → 0 · x = 0 La ecuación es una identidad, tiene infinitas soluciones Recordar: 0/m = 0 m/0 = No existe 0/0 = ∞ 9

Resolución de ecuaciones de primer grado Resolver una ecuación es encontrar el valor de la incógnita que verifica la igualdad algebraica • Método general de resolución – Eliminar paréntesis. – Eliminar denominadores (reduciendo a común denominador a través del MCM) – Reducir términos semejantes (agrupar) – Transponer términos. – Reducir términos semejantes. (al transponer pueden aparecer nuevamente términos semejantes) – Despejar la incógnita y hallar su valor numérico.

Resolución de problemas de ecuaciones Pasos • Comprensión del problema. Se debe leer detalladamente el enunciado del problema para identificar los datos y lo que debemos obtener, la incógnita x. • Planteamiento. Consiste en traducir el enunciado del problema al lenguaje matemático mediante expresiones algebraicas, para obtener una ecuación. • Resolución de la ecuación obtenida. • Comprobación y análisis de la solución. Nota: Es necesario comprobar si la solución obtenida es correcta, y, después, analizar si esa solución tiene sentido en el contexto del problema. 11

Ecuaciones de 2º grado Expresión general: ax 2 + bx + c = 0 § a, b y c son números reales y a ≠ 0 § ax 2 es el término cuadrático § bx es el término lineal § c es el término independiente. Nota: Para resolver una ecuación de segundo grado es necesario expresarla primero en la forma general, pasando todos los términos al miembro de la izquierda y reduciendo después los términos semejantes. Tipos de ecuaciones de 2º grado: § Completas: ax 2 + bx + c = 0 § Incompletas: § bx = 0 → ax 2 + c = 0 § c = 0 → ax 2 + bx = 0 12

Ecuaciones de 2º grado Fórmula resolución: Discriminante: ∆ = b 2 – 4 ac Soluciones: Una ecuación de segundo grado puede tener: § Dos soluciones: Si el discriminante es > 0 § Una solución: Si el discriminante es = 0 § Ninguna solución: Si el discriminante es < 0 14

Ecuaciones de 2º grado completas • Definición: Una ecuación de segundo grado es completa cuando todos sus coeficientes son distintos de cero, es decir, si b y c son distintos de cero. • Fórmula general resolución ec. 2º grado: Nota: La fórmula general sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o no. • Algunas propiedades. Relación entre raíces y coeficientes. Si sumamos las soluciones de la ecuación de segundo grado se obtiene: X 1 + X 2 = - b/a (realizar demostración) § Si multiplicamos las soluciones de la ecuación de segundo grado se obtiene: X 1 · X 2 = c/a (realizar demostración) § 15

Ecuaciones de 2º grado completas • Algunas propiedades adicionales. § Conocidos la suma y el producto de sus raíces X 1 y X 2 determinar la ecuación: § Si S es la suma y P el producto, se tendrá: § S = -b/a; Despejando b → b = -S · a § P = c/a; Despejando c → c=P·a § Sustituyendo en la expresión general ax 2 + bx + c = 0 → ax 2 – sax + pa = 0 y dividiendo entre a → x 2 – sx + p=0 16

Ecuaciones de 2º grado incompletas • Definición: Una ecuación de segundo grado es incompleta si los coeficientes b o c (o ambos simultáneamente) son cero. Nota: Las ecuaciones incompletas, aunque pueden resolverse con la fórmula general, se resuelven más fácilmente usando los métodos que veremos a continuación • Casos: § Resolución ec. del tipo ax 2 ± bx = 0 1. Extraemos factor común x en el primer miembro → x · (ax ± b) = 0 2. Como el producto es igual a cero, se plantean dos posibles soluciones: I. x = 0 II. ax ± b = 0 → x = ± b/a 17

Ecuaciones de 2º grado incompletas § Resolución ec. del tipo ax 2 ± c = 0 1. Despejamos x 2 → x 2 = ± c/a 2. Por tanto x = ± I. Si el radicando es < 0 → No existe solución II. Si el radicando es > 0 → Existen dos soluciones iguales y opuestas § Resolución ec. del tipo ax 2 = 0 1. Despejamos x 2 → x 2 = 0/a → x 2 = 0 2. Por tanto x = 0 Resolución de problemas de ec. de 2º grado: Resolver es traducir al lenguaje algebraico y encontrar su solución. La solución de la ec. pueden no ser soluciones del problema. En los problemas de ec. de 2º grado suelen haber dos soluciones, una positiva y otra negativa. En muchos casos, la solución negativa no tiene sentido, ya que no existen medidas, precios, edades. . . negativos. 18

Ecuaciones bicuadradas • Definición: Es una ecuación de grado 4 sin términos de grado 3 ni de grado 1. • Expresión general: ax 4 + bx 2 + c = 0, con a, b y c números reales y a distinto de cero. • Resolución: Sustituir x 2 por otra variable, por ej. z, y resolver la ecuación como una ecuación de segundo grado. • Sustituimos x 2 por z; x 2 = z → La ecuación ax 4 + bx 2 + c = 0 se convertirá en az 2 + bz + c = 0 • Aplicamos la formula general para resolver z; • Una vez hallada z y sabiendo que x 2 = z → x = ± 19

Sistemas de ecuaciones • Ecuaciones lineales: Son ecuaciones de primer grado con dos incógnitas • Expresión general: ax + by = c • Solución de las ec. lineales: • Tiene infinitas soluciones • Cada solución es un par de valores. • Cada par de valores se obtiene despejando una de las incógnitas que denominaremos variable dependiente, y dándole un valor a la otra, variable independiente. X -3 -2 -1 0 1 2 3 Y Creciente Decreciente • Representación gráfica: La representación gráfica de una ec. lineal siempre es una recta. 20

Sistemas de ecuaciones • Definición: Es un conjunto de ecuaciones lineales. Nosotros vamos a trabajar con sistemas formados por dos ecuaciones lineales, cada una de ellas con dos incógnitas. • Expresión general: ax + by = c a’x + b’y = c’ • Solución del sistema: Es todo par de valores que cumple las igualdades de las dos ecuaciones lineales. • Sistemas equivalentes: Son aquellos que tienen las mismas soluciones. • Clasificación de los sistemas: § § § Compatible determinado: el sistema tiene una solución única. Compatible indeterminado: el sistema tiene infinitas soluciones. Incompatible: el sistema no tiene ninguna solución. 21

Representación gráfica de los sistemas de ecuaciones Compatible determinado Compatible indeterminado Incompatible 22

Sistemas de ecuaciones • Métodos de resolución: § Representación gráfica → Se trata de representar ambas ecuaciones lineales y gráficamente determinar cual es la solución § Igualación → Se despeja en las dos ecuaciones la misma incógnita y se igualan las expresiones despejadas ax + by = c a’x + b’y = c’ § c – by a c’ – b’y a’ Sustitución → Se despeja en una de las ecuaciones una incógnita y la expresión despejada se sustituye en la otra ax + by = c a’x + b’y = c’ § x = (c – by)/a x = (c’ – b’y)/a’ x = (c – by)/a a’x + b’y = c’ a’ (c – by)/a + b’y = c’ Reducción → Se trata de multiplicar una o ambas ecuaciones por coeficientes pensados para que al sumar las ecuaciones equivalentes obtenidas se anule alguna de las incógnitas 23

Resolver: 3 X + 4 = 7. 237 X = 2. 412 X = 2. 411 X = 2. 614