Telept programok Euklides 2 4 Geometriai szerkesztprogram A

  • Slides: 91
Download presentation

Telepítő programok Euklides 2. 4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) q Wingeom (Geometriai

Telepítő programok Euklides 2. 4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) q Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) q

Súgó Menü Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott almenübe Előző dia Következő dia Információk

Súgó Menü Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott almenübe Előző dia Következő dia Információk a programról

Háromszögekről Háromszögek szerkesztése q Háromszögek csoportosítása q A háromszögek szögei, oldalai q Háromszögek területe,

Háromszögekről Háromszögek szerkesztése q Háromszögek csoportosítása q A háromszögek szögei, oldalai q Háromszögek területe, kerülete q Háromszögek nevezetes pontjai, vonalai q Pitagorasz tétele q Háromszögek egybevágóságának és hasonlóságának alapesetei q Érdekes háromszögek q

Háromszög szerkesztése három adatból q Derékszögű háromszög szerkesztése q Egyenlő szárú háromszög szerkesztése q

Háromszög szerkesztése három adatból q Derékszögű háromszög szerkesztése q Egyenlő szárú háromszög szerkesztése q Szabályos háromszög szerkesztése q Menü

Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög két oldalból és a közbezárt szögből egyértelműen megszerkeszthető

Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög két oldalból és a közbezárt szögből egyértelműen megszerkeszthető (a szög kisebb 180 ).

Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög három oldalból egyértelműen megszerkeszthető (ha az oldalakra fennáll

Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög három oldalból egyértelműen megszerkeszthető (ha az oldalakra fennáll a háromszögegyenlőtlenség).

Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög egy oldalból és két szögből egyértelműen megszerkeszthető (a

Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög egy oldalból és két szögből egyértelműen megszerkeszthető (a két szög összege kisebb 180 -nál).

Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög két oldalból és a nagyobb oldallal szemközti szögből

Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög két oldalból és a nagyobb oldallal szemközti szögből egyértelműen megszerkeszthető (a szög kisebb 180 -nál).

Derékszögű háromszög szerkesztése Derékszögű háromszög megszerkesztéséhez elegendő két megfelelő alkotóelem megadása, mert harmadik a

Derékszögű háromszög szerkesztése Derékszögű háromszög megszerkesztéséhez elegendő két megfelelő alkotóelem megadása, mert harmadik a derékszög ismerete.

Derékszögű háromszög szerkeszthető Ha ismerjük (például): q két befogóját; c a b q az

Derékszögű háromszög szerkeszthető Ha ismerjük (például): q két befogóját; c a b q az átfogóját és az egyik befogót. c a b

Egyenlő szárú háromszög szerkesztése Elegendő két alkotóelem, mert a szükséges harmadik az egyenlő szárú

Egyenlő szárú háromszög szerkesztése Elegendő két alkotóelem, mert a szükséges harmadik az egyenlő szárú háromszög tulajdonságaival biztosítható.

Egyenlő szárú háromszög szerkeszthető Ha ismerjük (például): q Az alapot és a szárat; q

Egyenlő szárú háromszög szerkeszthető Ha ismerjük (például): q Az alapot és a szárat; q Az alapot és bármelyik szöget.

Szabályos háromszög szerkesztése Az egyenlő oldalú (szabályos) háromszög szerkesztéséhez elegendő az oldal ismerete. (A

Szabályos háromszög szerkesztése Az egyenlő oldalú (szabályos) háromszög szerkesztéséhez elegendő az oldal ismerete. (A szögek 60 -osak. ) a a a

Háromszögek csoportosítása Szögeik szerint: q Hegyesszögű háromszögek q Derékszögű háromszögek q Tompaszögű háromszögek Oldalaik

Háromszögek csoportosítása Szögeik szerint: q Hegyesszögű háromszögek q Derékszögű háromszögek q Tompaszögű háromszögek Oldalaik szerint: q Egyenlő szárú háromszögek Ø Szabályos háromszögek Ø Pontosan két egyenlő oldalú háromszögek q Különböző oldalú háromszögek Csoportosítás táblázatban: Menü

Hegyesszögű háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha minden szöge hegyesszög.

Hegyesszögű háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha minden szöge hegyesszög.

Derékszögű háromszög befogó Derékszögű háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha van derékszöge. A derékszöget bezáró

Derékszögű háromszög befogó Derékszögű háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha van derékszöge. A derékszöget bezáró két oldalt befogónak, a derékszöggel szemközti oldalt átfogónak nevezzük. át fo gó befogó

Tompaszögű háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha van tompaszöge.

Tompaszögű háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha van tompaszöge.

Egyenlő szárú háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha van legalább két egyenlő szöge. Az egyenlő

Egyenlő szárú háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha van legalább két egyenlő szöge. Az egyenlő oldalakat száraknak, a háromszög harmadik oldalát alapnak nevezzük.

Szabályos háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha minden oldala egyenlő. A szabályos háromszög minden szöge

Szabályos háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha minden oldala egyenlő. A szabályos háromszög minden szöge egyenlő. Szerkesztések makrókkal:

Pontosan két egyenlő oldalú háromszög (Egyenlő szárú háromszögek) Egyenlő szárú háromszögek, amelyeknek pontosan két

Pontosan két egyenlő oldalú háromszög (Egyenlő szárú háromszögek) Egyenlő szárú háromszögek, amelyeknek pontosan két egyenlő oldaluk van.

Különböző oldalú háromszögek Háromszögek, amelyeknek minden oldaluk különböző hosszúságú. Szerkesztés makróval:

Különböző oldalú háromszögek Háromszögek, amelyeknek minden oldaluk különböző hosszúságú. Szerkesztés makróval:

Háromszögek csoportosítása Szögek szerinti csoportosítás Hegyesszögű Derékszögű Oldalak szerinti csoportosítás Egyenlő szárú Minden oldala

Háromszögek csoportosítása Szögek szerinti csoportosítás Hegyesszögű Derékszögű Oldalak szerinti csoportosítás Egyenlő szárú Minden oldala különböző Pontosan két oldala egyenlő Egyenlő oldalú Tompaszögű

„Háromszögek halmaza”

„Háromszögek halmaza”

Háromszög területe q Háromszög kerületének kiszámítása; háromszög területének kiszámítása; q területszámítás kiegészítéssel; q Menü

Háromszög területe q Háromszög kerületének kiszámítása; háromszög területének kiszámítása; q területszámítás kiegészítéssel; q Menü

Háromszög kerülete Ha a háromszög oldalainak hosszúsága a, b, c, akkor a kerülete: K

Háromszög kerülete Ha a háromszög oldalainak hosszúsága a, b, c, akkor a kerülete: K = a + b + c. b c a

A háromszög területének kiszámítása A háromszög területét kiszámíthatjuk úgy is, hogy az egyik oldal

A háromszög területének kiszámítása A háromszög területét kiszámíthatjuk úgy is, hogy az egyik oldal hosszát megszorozzuk a hozzá tartozó magasság hosszával, és a szorzatot elosztjuk kettővel. A T ABC = a. ma c 2 b ma B a C

A háromszög területének kiszámítása (egyéb összefüggések) T T ABC = = b. mb 2

A háromszög területének kiszámítása (egyéb összefüggések) T T ABC = = b. mb 2 c. mc 2

Területszámítás kiegészítéssel (téglalappá való kiegészítés) q q Foglaljuk téglalapba a háromszöget. Ekkor az így

Területszámítás kiegészítéssel (téglalappá való kiegészítés) q q Foglaljuk téglalapba a háromszöget. Ekkor az így kapott téglalap területe kétszerese a háromszög területének. T ABC = T’ C T’’ T B c. mc 2 A c

Területszámítás kiegészítéssel (paralelogrammává való kiegészítés) q q Tükrözzük a háromszöget az egyik oldalának felezőpontjára.

Területszámítás kiegészítéssel (paralelogrammává való kiegészítés) q q Tükrözzük a háromszöget az egyik oldalának felezőpontjára. Ekkor az eredeti és a tükörkép háromszög együtt középpontosan szimmetrikus négyszöget, paralelogrammát alkot. A háromszög területe fele a paralelogramma területének. A’ = D C F mc T A F c T B ABC = c. mc 2

Pitagorasz tétele és annak bizonyítása magyarázattal; q a bizonyítás lépései; q egyéb összefüggések; q

Pitagorasz tétele és annak bizonyítása magyarázattal; q a bizonyítás lépései; q egyéb összefüggések; q Pitagorasz tételének megfordítása; q Pitagoraszi számhármasok; q egyéb érdekességek. q q Tudáspróba: Menü

Pitagorasz tétele A Pitagorasz tétel bizonyítása magyarázattal:

Pitagorasz tétele A Pitagorasz tétel bizonyítása magyarázattal:

Bizonyítás: 1. lépés: Az a+b oldalú négyzetbe berajzolhatjuk az a 2 és b 2

Bizonyítás: 1. lépés: Az a+b oldalú négyzetbe berajzolhatjuk az a 2 és b 2 területű négyzetet és négy egybevágó, a és b befogójú derékszögű háromszöget. a b b b a a a b

Bizonyítás: 2. lépés: Az a+b oldalú négyzetbe másképp is berajzolhatjuk a négy egybevágó, a

Bizonyítás: 2. lépés: Az a+b oldalú négyzetbe másképp is berajzolhatjuk a négy egybevágó, a és b befogójú derékszögű háromszöget. A négyzet átlóinak metszéspontja körül 90◦ többszöröseivel elforgatva az ábrát, az eredeti ábrával fedésbe hozható, tehát forgászimmetrikus. a b b c c a c c b a a b

Bizonyítás: 3. lépés: A bevonalkázott négyszög minden oldala c, és az ábra forgásszimmetriája miatt

Bizonyítás: 3. lépés: A bevonalkázott négyszög minden oldala c, és az ábra forgásszimmetriája miatt szögei egyenlő nagyságúak. Ezért a bevonalkázott négyszög az átfogóra emelt, c 2 területű négyzet. a b b c c a c c b a a b

Bizonyítás: 4. lépés: Ha mindkét ábráról elhagyjuk a négy-négy egybevágó háromszöget, a maradék idomok

Bizonyítás: 4. lépés: Ha mindkét ábráról elhagyjuk a négy-négy egybevágó háromszöget, a maradék idomok területe megegyezik. a a 2+b 2=c 2 b b b a a a b b c c a a c c b b a

Egyéb összefüggések: Az összefüggést leíró egyenletet átrendezve az átfogó és az egyik befogó ismeretében

Egyéb összefüggések: Az összefüggést leíró egyenletet átrendezve az átfogó és az egyik befogó ismeretében kiszámíthatjuk a másik befogó négyzetét, majd a befogó is: a 2=c 2 -b 2 b 2=c 2 -a 2

Pitagorasz tételének megfordítása: Ha egy háromszög a, b, c oldalai megfelelnek a Pitagorasz-féle feltételnek:

Pitagorasz tételének megfordítása: Ha egy háromszög a, b, c oldalai megfelelnek a Pitagorasz-féle feltételnek: c 2 = a 2 + b 2, akkor a háromszög derékszögű. A derékszög a c oldallal szemközti szög.

Egyéb érdekességek „Ki volt Pitagorasz? ” q „Plimpton 322” q A babiloni számok rendszere.

Egyéb érdekességek „Ki volt Pitagorasz? ” q „Plimpton 322” q A babiloni számok rendszere. q Korabeli címerrajz. q Háromszögek Egyiptomban. q Menü

Pitagorasz (Püthagorasz) (Kr. E. kb. 582 -500). q Számoszon született. q Elsősorban vallásalapító és

Pitagorasz (Püthagorasz) (Kr. E. kb. 582 -500). q Számoszon született. q Elsősorban vallásalapító és apostol volt, csak mellékesen foglalkozott matematikával. q Nem ő fedezte fel a róla elnevezett tételt, de a sok bizonyítás közül az egyik tőle származik. q

A babiloni táblázatok q q A babiloniak a táblázatok megszállottjai voltak. Az egyik tábla,

A babiloni táblázatok q q A babiloniak a táblázatok megszállottjai voltak. Az egyik tábla, amelyet megfejtettek rendkívüli. Ezt a Columbiai Egyetem múzeumának birtokában lévő táblát úgy hívják, hogy Plimpton 322.

„Plimpton 322” q q Nincs rajta semmi más, csak 15 számhármas. Mindegyik számhármasra igaz,

„Plimpton 322” q q Nincs rajta semmi más, csak 15 számhármas. Mindegyik számhármasra igaz, hogy az első szám négyzetszám, és megegyezik a másik kettő összegével, amelyek maguk is négyzetszámok – azaz a tábla tizenöt pitagoraszi számhármast tartalmaz.

A babiloni számok rendszere q Kifinomult, 60 -as alapú számrendszert fejlesztettek ki. q Az

A babiloni számok rendszere q Kifinomult, 60 -as alapú számrendszert fejlesztettek ki. q Az 1 -nek q 2 -től 9 -ig a q 10 -nek a karakter felel meg. 20 -tól 50 -ig ezen karaktereket kombinálták. jel felel meg. Pl: A 11 leírása: szimbólumok felelnek meg.

Korabeli címerrajzok q Korabeli címerrajzokon mozaikokon szerepelt az emberi figurává kiegészített rajz.

Korabeli címerrajzok q Korabeli címerrajzokon mozaikokon szerepelt az emberi figurává kiegészített rajz.

Háromszögek Egyiptomban q q Mivel 52=32+42, a háromszög derékszögű. Sokan feltételezik, hogy az ókori

Háromszögek Egyiptomban q q Mivel 52=32+42, a háromszög derékszögű. Sokan feltételezik, hogy az ókori Egyiptomban ezt a háromszöget használták fel derékszög kitűzésére úgy, hogy zárt zsinórt 12 csomóval 12 egyenlő részre osztottak, és ezt feszítették ki három cövek közé az ábrán látható módon.

Chefren-piramis A régészek éppen ezeket az arányokat fedezték fel a Chefren-piramis faragott köveinek méreteiben.

Chefren-piramis A régészek éppen ezeket az arányokat fedezték fel a Chefren-piramis faragott köveinek méreteiben.

A baalbeki Nap-templom Szíriában a baalbeki Nap-templomban az úgynevezett királyszobának is ilyen méretei vannak.

A baalbeki Nap-templom Szíriában a baalbeki Nap-templomban az úgynevezett királyszobának is ilyen méretei vannak.

Pitagoraszi számhármasok Azokat a derékszögű háromszögeket, melyeknek mindhárom oldala valamilyen egységben mérve egész szám,

Pitagoraszi számhármasok Azokat a derékszögű háromszögeket, melyeknek mindhárom oldala valamilyen egységben mérve egész szám, pitagoraszi háromszögeknek is szokás nevezni. Az ilyen számhármasok pedig pitagoraszi számhármasok. 5 8 4 3 6

Háromszögek nevezetes vonalai és pontjai A háromszög oldalfelező merőlegesei, köré írható köre; q a

Háromszögek nevezetes vonalai és pontjai A háromszög oldalfelező merőlegesei, köré írható köre; q a háromszögfelezői, beírható köre; q a háromszög magasságvonalai, magasságpontja; q a háromszög középvonalai; q a háromszög súlyvonalai, súlypontja. q q Tudáspróba Menü

A háromszög oldalfelező merőlegesei és a háromszög köré írt köre

A háromszög oldalfelező merőlegesei és a háromszög köré írt köre

A háromszögfelezői és a háromszög beírt köre Tétel: Bármely háromszög belső szögfelezői egy pontban

A háromszögfelezői és a háromszög beírt köre Tétel: Bármely háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást. Ez a pont a beírható kör középpontja. Bizonyítás magyarázattal: Makró:

A háromszög magasságvonalai A háromszög magasságvonala a háromszög csúcsából a szemközti oldalegyenesre bocsátott merőleges

A háromszög magasságvonalai A háromszög magasságvonala a háromszög csúcsából a szemközti oldalegyenesre bocsátott merőleges egyenes. A háromszög magassága a háromszög csúcsa és a szemközti oldalegyenes távolsága. A magasságvonal és az arra merőleges oldalegyenes metszéspontja a magasság talppontja (T).

A háromszög magasságpontja A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást. A magasságvonalak metszéspontja a

A háromszög magasságpontja A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást. A magasságvonalak metszéspontja a háromszög magasságpontja (M). A magasságpont q a hegyesszögű háromszögnek a belső pontja, q a derékszögű háromszögnek a derékszögű csúcsa, q a tompaszögű háromszögnek a külső pontja.

A háromszög magassága A mb A=T ma T A B mb B C T

A háromszög magassága A mb A=T ma T A B mb B C T B Hegyesszögű háromszögben C Derékszögű háromszögben Tompaszögű háromszögben C

A háromszög középvonalai A háromszög középvonala a háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakasz, illetve

A háromszög középvonalai A háromszög középvonala a háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakasz, illetve ennek a szakasznak a hossza. Jelölése: ka, kb, kc C G kc ka A F kb H B

A háromszög középvonala Tétel: A háromszög középvonala párhuzamos a nem felezett oldallal és a

A háromszög középvonala Tétel: A háromszög középvonala párhuzamos a nem felezett oldallal és a középvonal hossza fele a nem felezett oldal hosszának. Bizonyítás magyarázattal:

A háromszög súlyvonalai A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz,

A háromszög súlyvonalai A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz, illetve ennek a szakasznak a hossza. Jelölése: sa, sb, sc C sa F A B

A háromszög súlypontja A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. A súlyvonalak metszéspontja a

A háromszög súlypontja A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. A súlyvonalak metszéspontja a háromszög súlypontja. A súlypont a háromszög belső pontja. C G A S H F B

Egybevágóság és hasonlóság Háromszögek egybevágóságának alapesetei (1) (2) (3) (4) q Háromszög hasonlóságának alapesetei

Egybevágóság és hasonlóság Háromszögek egybevágóságának alapesetei (1) (2) (3) (4) q Háromszög hasonlóságának alapesetei (1) (2) (3) (4) q Összehasonlítás q Hasonló és egybevágó háromszögek halmaza q Menü

Háromszögek egybevágóságának alapesetei (1) Két háromszög egybevágó, ha oldalaik páronként egyenlők.

Háromszögek egybevágóságának alapesetei (1) Két háromszög egybevágó, ha oldalaik páronként egyenlők.

Háromszögek egybevágóságának alapesetei (2) Két háromszög egybevágó, ha két oldaluk és az általuk közrezárt

Háromszögek egybevágóságának alapesetei (2) Két háromszög egybevágó, ha két oldaluk és az általuk közrezárt szög egyenlő. γ γ

Háromszögek egybevágóságának alapesetei (3) Két háromszög egybevágó, ha két oldaluk és a hosszabbikkal szemközti

Háromszögek egybevágóságának alapesetei (3) Két háromszög egybevágó, ha két oldaluk és a hosszabbikkal szemközti szögük egyenlő. α α

Háromszögek egybevágóságának alapesetei (4) Két háromszög egybevágó, ha az egyik oldaluk és az azon

Háromszögek egybevágóságának alapesetei (4) Két háromszög egybevágó, ha az egyik oldaluk és az azon lévő két szögük egyenlő. γ γ β β

A háromszögek hasonlóságának alapesetei (1) Ha két háromszög megfelelő oldalainak aránya megegyezik, akkor a

A háromszögek hasonlóságának alapesetei (1) Ha két háromszög megfelelő oldalainak aránya megegyezik, akkor a két háromszög hasonló. c c’ b a b’ a’ a’ a b’ b c’ c.

A háromszögek hasonlóságának alapesetei (2) Ha két háromszögben két-két oldal aránya és e két

A háromszögek hasonlóságának alapesetei (2) Ha két háromszögben két-két oldal aránya és e két oldal által közbezárt szög egyenlő, akkor a két háromszög hasonló. a’ a γ γ’ b b’ a’ a b’ ; b γ = γ’.

A háromszögek hasonlóságának alapesetei (3) Ha két háromszögben két-két oldal aránya és e két

A háromszögek hasonlóságának alapesetei (3) Ha két háromszögben két-két oldal aránya és e két oldal közül a nagyobbikkal szemközti szög egyenlő, akkor a két háromszög hasonló. α’ α b a a’ a b’ ; b a’ α = α’ (a > b és a’ > b’). b’

A háromszögek hasonlóságának alapesetei (4) Ha két háromszög megfelelő szögei egyenlők, akkor a két

A háromszögek hasonlóságának alapesetei (4) Ha két háromszög megfelelő szögei egyenlők, akkor a két háromszög hasonló. α’ α γ α = α’ ; β β = β’. γ’ β’

Összehasonlítás (A háromszög egybevágóságának alapesetei és a háromszög hasonlóságának alapesetei között. ) q Az

Összehasonlítás (A háromszög egybevágóságának alapesetei és a háromszög hasonlóságának alapesetei között. ) q Az egybevágóság esetén a két háromszög alakja és nagysága is megegyezik. Ezt a háromszög egyenlőség biztosítja. q A hasonlóság esetén a két háromszög alakja egyezik meg.

Hasonló és egybevágó háromszögek halmaza

Hasonló és egybevágó háromszögek halmaza

A háromszögek szögei és oldalai Kapcsolat a háromszög oldalai között ; (háromszög - egyenlőtlenség)

A háromszögek szögei és oldalai Kapcsolat a háromszög oldalai között ; (háromszög - egyenlőtlenség) q kapcsolat a háromszög belső szögei között; q kapcsolat a háromszög belső és külső szögei között; q kapcsolat a háromszög oldalai és szögei között. q Menü

Kapcsolat a háromszög oldalai között (háromszög-egyenlőtlenség) Tétel: A háromszög bármely két oldalának összege nagyobb,

Kapcsolat a háromszög oldalai között (háromszög-egyenlőtlenség) Tétel: A háromszög bármely két oldalának összege nagyobb, mint a harmadik oldal. Bizonyítás: q Két pont között a legrövidebb út az őket összekötő szakasz. Ezért AC + CB > AB. q Hasonlóan belátható, hogy AC + AB > BC és AB + BC > AC. C A A C B B

Kapcsolat a háromszög belső szögei között Tétel: A háromszög belső szögeinek összege 180°. C

Kapcsolat a háromszög belső szögei között Tétel: A háromszög belső szögeinek összege 180°. C γ α + β + γ = 180° α A Bizonyítás: β B

Bizonyítás: 1. lépés: q Használjuk fel a párhuzamos szárú szögek tulajdonságait. q A háromszög

Bizonyítás: 1. lépés: q Használjuk fel a párhuzamos szárú szögek tulajdonságait. q A háromszög belső szögeit α, β, γ jelöli. q Húzzunk az AB oldal egyenesével párhuzamos egyenest a C csúcson át! C γ α A β B

Bizonyítás: = = 2. lépés: q Az α és a δ fordított állású szögpárt

Bizonyítás: = = 2. lépés: q Az α és a δ fordított állású szögpárt alkot, ezért α = δ. q A β és az ε is fordított állású szögpár, ezért β = ε. q A C csúcsnál lévő három szög egyenesszöget alkot, ezért C δ + γ + ε = 180° δ γ ε α + γ + β = 180° α A β B

Kapcsolat a háromszög belső és külső szögei között Tétel: A háromszög bármely külső szöge

Kapcsolat a háromszög belső és külső szögei között Tétel: A háromszög bármely külső szöge egyenlő a szöggel nem szomszédos két belső szög összegével. C γ β’ = α + γ α Bizonyítás: A β β’ B

Bizonyítás: 1. lépés: q Használjuk fel a párhuzamos szárú szögek tulajdonságait. q A háromszög

Bizonyítás: 1. lépés: q Használjuk fel a párhuzamos szárú szögek tulajdonságait. q A háromszög belső szögei α, β, γ, megfelelő külső szögeit α’, β’, γ’ jelöli. q Húzzunk az AC oldal egyenesével párhuzamos félegyenest a B csúcsból! C γ α A β B

Bizonyítás: 2. lépés: q A γ és a φ fordított állású szögek, ezért γ

Bizonyítás: 2. lépés: q A γ és a φ fordított állású szögek, ezért γ = φ. q Az α és a δ egyállású szögek, ezért α = δ. q Az ábráról leolvasható: β’ = φ + δ C = = γ β’ = γ + α α A φ β β’ δ B

Kapcsolat a háromszög külső szögei között Tétel: A háromszög külső szögeinek összege 360°. γ’

Kapcsolat a háromszög külső szögei között Tétel: A háromszög külső szögeinek összege 360°. γ’ γ α α’ Bizonyítás: β β’

Bizonyítás: 2. lépés: q A háromszög belső szögeinek összege 180°: α’ + β’ +

Bizonyítás: 2. lépés: q A háromszög belső szögeinek összege 180°: α’ + β’ + γ’ = 2. (α + β + γ ) = 2. 180° = 360° q Azaz a háromszög külső szögeinek összege: α’ + β’ + γ’ = 360° γ’ γ α α’ β β’

Kapcsolat a háromszög oldalai és szögei között Tétel: A háromszögben az egyenlő oldalakkal szemben

Kapcsolat a háromszög oldalai és szögei között Tétel: A háromszögben az egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek vannak. Bizonyítás: q Mivel a háromszögnek vannak egyenlő oldalai, a háromszög tengelyesen szimmetrikus. A tengelyes szimmetriából következik az összefüggés. q Ha b = a, akkor β = α. C γ b a α A β c B

Kapcsolat a háromszög oldalai és szögei között Tétel: A háromszögben a hosszabb oldallal szemben

Kapcsolat a háromszög oldalai és szögei között Tétel: A háromszögben a hosszabb oldallal szemben nagyobb szög van, mint a rövidebb oldallal szemben. b<c β<γ

Kapcsolat a háromszög oldalai és szögei között Tétel: Ha két háromszögben két-két oldal egyenlő,

Kapcsolat a háromszög oldalai és szögei között Tétel: Ha két háromszögben két-két oldal egyenlő, akkor abban a háromszögben nagyobb a harmadik oldal, amelyikben a két oldal által közbezárt szög nagyobb. α 1 < α 2 < α 3 α 2 C 3 α 3 a 3 α 1 C 2 a 1 C 1

Érdekes háromszögek „Sárga háromszögek” q Uralkodó forma: A HÁROMSZÖG q Háromszög alaprajzú kápolna q

Érdekes háromszögek „Sárga háromszögek” q Uralkodó forma: A HÁROMSZÖG q Háromszög alaprajzú kápolna q Háromszögoromzat q Frankenthal minta q Repülő háromszögek q Menü

„Sárga háromszögek” PARÓCZI ÁGNES Sárga háromszögek / Yellow triangle (1998)

„Sárga háromszögek” PARÓCZI ÁGNES Sárga háromszögek / Yellow triangle (1998)

Uralkodó forma: A HÁROMSZÖG Nádler István sorozata: Háromszögek (1994 -95 termése)

Uralkodó forma: A HÁROMSZÖG Nádler István sorozata: Háromszögek (1994 -95 termése)

Háromszög alaprajzú kápolna Háromszög alaprajzú, barokk stílusban, 1757 -ben épült kápolna Sajóládon.

Háromszög alaprajzú kápolna Háromszög alaprajzú, barokk stílusban, 1757 -ben épült kápolna Sajóládon.

Háromszögoromzat Kapuzatok fölött elhelyezkedő, párkányzatos kiképzésű, háromszög alakú díszítőfelület.

Háromszögoromzat Kapuzatok fölött elhelyezkedő, párkányzatos kiképzésű, háromszög alakú díszítőfelület.

Frankenthal minta Az Frankenthal dekorral díszített tárgyakat szemlélve, azonnal megragad bennünket a mértani beosztású

Frankenthal minta Az Frankenthal dekorral díszített tárgyakat szemlélve, azonnal megragad bennünket a mértani beosztású kékfehér háromszögek vibrálása.

„Repülő háromszögek” q Már-már legenda. Az Egyesült Államokban az emberek hatalmas, csendesen repülő háromszögeket

„Repülő háromszögek” q Már-már legenda. Az Egyesült Államokban az emberek hatalmas, csendesen repülő háromszögeket látnak a városok közelében. q Vadászrepülők tervezésénél is kihasználják a háromszöget, mint geometriai formát.

Kilépés

Kilépés