Telept programok Euklides 2 4 Geometriai szerkesztprogram A
![](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-1.jpg)
![Telepítő programok Euklides 2. 4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) q Wingeom (Geometriai Telepítő programok Euklides 2. 4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) q Wingeom (Geometriai](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-2.jpg)
![Súgó Menü Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott almenübe Előző dia Következő dia Információk Súgó Menü Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott almenübe Előző dia Következő dia Információk](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-3.jpg)
![Háromszögekről Háromszögek szerkesztése q Háromszögek csoportosítása q A háromszögek szögei, oldalai q Háromszögek területe, Háromszögekről Háromszögek szerkesztése q Háromszögek csoportosítása q A háromszögek szögei, oldalai q Háromszögek területe,](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-4.jpg)
![Háromszög szerkesztése három adatból q Derékszögű háromszög szerkesztése q Egyenlő szárú háromszög szerkesztése q Háromszög szerkesztése három adatból q Derékszögű háromszög szerkesztése q Egyenlő szárú háromszög szerkesztése q](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-5.jpg)
![Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög két oldalból és a közbezárt szögből egyértelműen megszerkeszthető Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög két oldalból és a közbezárt szögből egyértelműen megszerkeszthető](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-6.jpg)
![Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög három oldalból egyértelműen megszerkeszthető (ha az oldalakra fennáll Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög három oldalból egyértelműen megszerkeszthető (ha az oldalakra fennáll](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-7.jpg)
![Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög egy oldalból és két szögből egyértelműen megszerkeszthető (a Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög egy oldalból és két szögből egyértelműen megszerkeszthető (a](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-8.jpg)
![Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög két oldalból és a nagyobb oldallal szemközti szögből Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög két oldalból és a nagyobb oldallal szemközti szögből](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-9.jpg)
![Derékszögű háromszög szerkesztése Derékszögű háromszög megszerkesztéséhez elegendő két megfelelő alkotóelem megadása, mert harmadik a Derékszögű háromszög szerkesztése Derékszögű háromszög megszerkesztéséhez elegendő két megfelelő alkotóelem megadása, mert harmadik a](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-10.jpg)
![Derékszögű háromszög szerkeszthető Ha ismerjük (például): q két befogóját; c a b q az Derékszögű háromszög szerkeszthető Ha ismerjük (például): q két befogóját; c a b q az](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-11.jpg)
![Egyenlő szárú háromszög szerkesztése Elegendő két alkotóelem, mert a szükséges harmadik az egyenlő szárú Egyenlő szárú háromszög szerkesztése Elegendő két alkotóelem, mert a szükséges harmadik az egyenlő szárú](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-12.jpg)
![Egyenlő szárú háromszög szerkeszthető Ha ismerjük (például): q Az alapot és a szárat; q Egyenlő szárú háromszög szerkeszthető Ha ismerjük (például): q Az alapot és a szárat; q](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-13.jpg)
![Szabályos háromszög szerkesztése Az egyenlő oldalú (szabályos) háromszög szerkesztéséhez elegendő az oldal ismerete. (A Szabályos háromszög szerkesztése Az egyenlő oldalú (szabályos) háromszög szerkesztéséhez elegendő az oldal ismerete. (A](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-14.jpg)
![Háromszögek csoportosítása Szögeik szerint: q Hegyesszögű háromszögek q Derékszögű háromszögek q Tompaszögű háromszögek Oldalaik Háromszögek csoportosítása Szögeik szerint: q Hegyesszögű háromszögek q Derékszögű háromszögek q Tompaszögű háromszögek Oldalaik](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-15.jpg)
![Hegyesszögű háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha minden szöge hegyesszög. Hegyesszögű háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha minden szöge hegyesszög.](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-16.jpg)
![Derékszögű háromszög befogó Derékszögű háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha van derékszöge. A derékszöget bezáró Derékszögű háromszög befogó Derékszögű háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha van derékszöge. A derékszöget bezáró](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-17.jpg)
![Tompaszögű háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha van tompaszöge. Tompaszögű háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha van tompaszöge.](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-18.jpg)
![Egyenlő szárú háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha van legalább két egyenlő szöge. Az egyenlő Egyenlő szárú háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha van legalább két egyenlő szöge. Az egyenlő](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-19.jpg)
![Szabályos háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha minden oldala egyenlő. A szabályos háromszög minden szöge Szabályos háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha minden oldala egyenlő. A szabályos háromszög minden szöge](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-20.jpg)
![Pontosan két egyenlő oldalú háromszög (Egyenlő szárú háromszögek) Egyenlő szárú háromszögek, amelyeknek pontosan két Pontosan két egyenlő oldalú háromszög (Egyenlő szárú háromszögek) Egyenlő szárú háromszögek, amelyeknek pontosan két](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-21.jpg)
![Különböző oldalú háromszögek Háromszögek, amelyeknek minden oldaluk különböző hosszúságú. Szerkesztés makróval: Különböző oldalú háromszögek Háromszögek, amelyeknek minden oldaluk különböző hosszúságú. Szerkesztés makróval:](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-22.jpg)
![Háromszögek csoportosítása Szögek szerinti csoportosítás Hegyesszögű Derékszögű Oldalak szerinti csoportosítás Egyenlő szárú Minden oldala Háromszögek csoportosítása Szögek szerinti csoportosítás Hegyesszögű Derékszögű Oldalak szerinti csoportosítás Egyenlő szárú Minden oldala](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-23.jpg)
![„Háromszögek halmaza” „Háromszögek halmaza”](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-24.jpg)
![Háromszög területe q Háromszög kerületének kiszámítása; háromszög területének kiszámítása; q területszámítás kiegészítéssel; q Menü Háromszög területe q Háromszög kerületének kiszámítása; háromszög területének kiszámítása; q területszámítás kiegészítéssel; q Menü](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-25.jpg)
![Háromszög kerülete Ha a háromszög oldalainak hosszúsága a, b, c, akkor a kerülete: K Háromszög kerülete Ha a háromszög oldalainak hosszúsága a, b, c, akkor a kerülete: K](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-26.jpg)
![A háromszög területének kiszámítása A háromszög területét kiszámíthatjuk úgy is, hogy az egyik oldal A háromszög területének kiszámítása A háromszög területét kiszámíthatjuk úgy is, hogy az egyik oldal](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-27.jpg)
![A háromszög területének kiszámítása (egyéb összefüggések) T T ABC = = b. mb 2 A háromszög területének kiszámítása (egyéb összefüggések) T T ABC = = b. mb 2](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-28.jpg)
![Területszámítás kiegészítéssel (téglalappá való kiegészítés) q q Foglaljuk téglalapba a háromszöget. Ekkor az így Területszámítás kiegészítéssel (téglalappá való kiegészítés) q q Foglaljuk téglalapba a háromszöget. Ekkor az így](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-29.jpg)
![Területszámítás kiegészítéssel (paralelogrammává való kiegészítés) q q Tükrözzük a háromszöget az egyik oldalának felezőpontjára. Területszámítás kiegészítéssel (paralelogrammává való kiegészítés) q q Tükrözzük a háromszöget az egyik oldalának felezőpontjára.](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-30.jpg)
![Pitagorasz tétele és annak bizonyítása magyarázattal; q a bizonyítás lépései; q egyéb összefüggések; q Pitagorasz tétele és annak bizonyítása magyarázattal; q a bizonyítás lépései; q egyéb összefüggések; q](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-31.jpg)
![Pitagorasz tétele A Pitagorasz tétel bizonyítása magyarázattal: Pitagorasz tétele A Pitagorasz tétel bizonyítása magyarázattal:](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-32.jpg)
![Bizonyítás: 1. lépés: Az a+b oldalú négyzetbe berajzolhatjuk az a 2 és b 2 Bizonyítás: 1. lépés: Az a+b oldalú négyzetbe berajzolhatjuk az a 2 és b 2](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-33.jpg)
![Bizonyítás: 2. lépés: Az a+b oldalú négyzetbe másképp is berajzolhatjuk a négy egybevágó, a Bizonyítás: 2. lépés: Az a+b oldalú négyzetbe másképp is berajzolhatjuk a négy egybevágó, a](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-34.jpg)
![Bizonyítás: 3. lépés: A bevonalkázott négyszög minden oldala c, és az ábra forgásszimmetriája miatt Bizonyítás: 3. lépés: A bevonalkázott négyszög minden oldala c, és az ábra forgásszimmetriája miatt](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-35.jpg)
![Bizonyítás: 4. lépés: Ha mindkét ábráról elhagyjuk a négy-négy egybevágó háromszöget, a maradék idomok Bizonyítás: 4. lépés: Ha mindkét ábráról elhagyjuk a négy-négy egybevágó háromszöget, a maradék idomok](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-36.jpg)
![Egyéb összefüggések: Az összefüggést leíró egyenletet átrendezve az átfogó és az egyik befogó ismeretében Egyéb összefüggések: Az összefüggést leíró egyenletet átrendezve az átfogó és az egyik befogó ismeretében](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-37.jpg)
![Pitagorasz tételének megfordítása: Ha egy háromszög a, b, c oldalai megfelelnek a Pitagorasz-féle feltételnek: Pitagorasz tételének megfordítása: Ha egy háromszög a, b, c oldalai megfelelnek a Pitagorasz-féle feltételnek:](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-38.jpg)
![Egyéb érdekességek „Ki volt Pitagorasz? ” q „Plimpton 322” q A babiloni számok rendszere. Egyéb érdekességek „Ki volt Pitagorasz? ” q „Plimpton 322” q A babiloni számok rendszere.](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-39.jpg)
![Pitagorasz (Püthagorasz) (Kr. E. kb. 582 -500). q Számoszon született. q Elsősorban vallásalapító és Pitagorasz (Püthagorasz) (Kr. E. kb. 582 -500). q Számoszon született. q Elsősorban vallásalapító és](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-40.jpg)
![A babiloni táblázatok q q A babiloniak a táblázatok megszállottjai voltak. Az egyik tábla, A babiloni táblázatok q q A babiloniak a táblázatok megszállottjai voltak. Az egyik tábla,](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-41.jpg)
![„Plimpton 322” q q Nincs rajta semmi más, csak 15 számhármas. Mindegyik számhármasra igaz, „Plimpton 322” q q Nincs rajta semmi más, csak 15 számhármas. Mindegyik számhármasra igaz,](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-42.jpg)
![A babiloni számok rendszere q Kifinomult, 60 -as alapú számrendszert fejlesztettek ki. q Az A babiloni számok rendszere q Kifinomult, 60 -as alapú számrendszert fejlesztettek ki. q Az](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-43.jpg)
![Korabeli címerrajzok q Korabeli címerrajzokon mozaikokon szerepelt az emberi figurává kiegészített rajz. Korabeli címerrajzok q Korabeli címerrajzokon mozaikokon szerepelt az emberi figurává kiegészített rajz.](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-44.jpg)
![Háromszögek Egyiptomban q q Mivel 52=32+42, a háromszög derékszögű. Sokan feltételezik, hogy az ókori Háromszögek Egyiptomban q q Mivel 52=32+42, a háromszög derékszögű. Sokan feltételezik, hogy az ókori](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-45.jpg)
![Chefren-piramis A régészek éppen ezeket az arányokat fedezték fel a Chefren-piramis faragott köveinek méreteiben. Chefren-piramis A régészek éppen ezeket az arányokat fedezték fel a Chefren-piramis faragott köveinek méreteiben.](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-46.jpg)
![A baalbeki Nap-templom Szíriában a baalbeki Nap-templomban az úgynevezett királyszobának is ilyen méretei vannak. A baalbeki Nap-templom Szíriában a baalbeki Nap-templomban az úgynevezett királyszobának is ilyen méretei vannak.](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-47.jpg)
![Pitagoraszi számhármasok Azokat a derékszögű háromszögeket, melyeknek mindhárom oldala valamilyen egységben mérve egész szám, Pitagoraszi számhármasok Azokat a derékszögű háromszögeket, melyeknek mindhárom oldala valamilyen egységben mérve egész szám,](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-48.jpg)
![Háromszögek nevezetes vonalai és pontjai A háromszög oldalfelező merőlegesei, köré írható köre; q a Háromszögek nevezetes vonalai és pontjai A háromszög oldalfelező merőlegesei, köré írható köre; q a](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-49.jpg)
![A háromszög oldalfelező merőlegesei és a háromszög köré írt köre A háromszög oldalfelező merőlegesei és a háromszög köré írt köre](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-50.jpg)
![A háromszögfelezői és a háromszög beírt köre Tétel: Bármely háromszög belső szögfelezői egy pontban A háromszögfelezői és a háromszög beírt köre Tétel: Bármely háromszög belső szögfelezői egy pontban](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-51.jpg)
![A háromszög magasságvonalai A háromszög magasságvonala a háromszög csúcsából a szemközti oldalegyenesre bocsátott merőleges A háromszög magasságvonalai A háromszög magasságvonala a háromszög csúcsából a szemközti oldalegyenesre bocsátott merőleges](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-52.jpg)
![A háromszög magasságpontja A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást. A magasságvonalak metszéspontja a A háromszög magasságpontja A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást. A magasságvonalak metszéspontja a](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-53.jpg)
![A háromszög magassága A mb A=T ma T A B mb B C T A háromszög magassága A mb A=T ma T A B mb B C T](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-54.jpg)
![A háromszög középvonalai A háromszög középvonala a háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakasz, illetve A háromszög középvonalai A háromszög középvonala a háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakasz, illetve](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-55.jpg)
![A háromszög középvonala Tétel: A háromszög középvonala párhuzamos a nem felezett oldallal és a A háromszög középvonala Tétel: A háromszög középvonala párhuzamos a nem felezett oldallal és a](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-56.jpg)
![A háromszög súlyvonalai A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz, A háromszög súlyvonalai A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz,](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-57.jpg)
![A háromszög súlypontja A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. A súlyvonalak metszéspontja a A háromszög súlypontja A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. A súlyvonalak metszéspontja a](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-58.jpg)
![Egybevágóság és hasonlóság Háromszögek egybevágóságának alapesetei (1) (2) (3) (4) q Háromszög hasonlóságának alapesetei Egybevágóság és hasonlóság Háromszögek egybevágóságának alapesetei (1) (2) (3) (4) q Háromszög hasonlóságának alapesetei](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-59.jpg)
![Háromszögek egybevágóságának alapesetei (1) Két háromszög egybevágó, ha oldalaik páronként egyenlők. Háromszögek egybevágóságának alapesetei (1) Két háromszög egybevágó, ha oldalaik páronként egyenlők.](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-60.jpg)
![Háromszögek egybevágóságának alapesetei (2) Két háromszög egybevágó, ha két oldaluk és az általuk közrezárt Háromszögek egybevágóságának alapesetei (2) Két háromszög egybevágó, ha két oldaluk és az általuk közrezárt](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-61.jpg)
![Háromszögek egybevágóságának alapesetei (3) Két háromszög egybevágó, ha két oldaluk és a hosszabbikkal szemközti Háromszögek egybevágóságának alapesetei (3) Két háromszög egybevágó, ha két oldaluk és a hosszabbikkal szemközti](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-62.jpg)
![Háromszögek egybevágóságának alapesetei (4) Két háromszög egybevágó, ha az egyik oldaluk és az azon Háromszögek egybevágóságának alapesetei (4) Két háromszög egybevágó, ha az egyik oldaluk és az azon](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-63.jpg)
![A háromszögek hasonlóságának alapesetei (1) Ha két háromszög megfelelő oldalainak aránya megegyezik, akkor a A háromszögek hasonlóságának alapesetei (1) Ha két háromszög megfelelő oldalainak aránya megegyezik, akkor a](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-64.jpg)
![A háromszögek hasonlóságának alapesetei (2) Ha két háromszögben két-két oldal aránya és e két A háromszögek hasonlóságának alapesetei (2) Ha két háromszögben két-két oldal aránya és e két](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-65.jpg)
![A háromszögek hasonlóságának alapesetei (3) Ha két háromszögben két-két oldal aránya és e két A háromszögek hasonlóságának alapesetei (3) Ha két háromszögben két-két oldal aránya és e két](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-66.jpg)
![A háromszögek hasonlóságának alapesetei (4) Ha két háromszög megfelelő szögei egyenlők, akkor a két A háromszögek hasonlóságának alapesetei (4) Ha két háromszög megfelelő szögei egyenlők, akkor a két](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-67.jpg)
![Összehasonlítás (A háromszög egybevágóságának alapesetei és a háromszög hasonlóságának alapesetei között. ) q Az Összehasonlítás (A háromszög egybevágóságának alapesetei és a háromszög hasonlóságának alapesetei között. ) q Az](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-68.jpg)
![Hasonló és egybevágó háromszögek halmaza Hasonló és egybevágó háromszögek halmaza](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-69.jpg)
![A háromszögek szögei és oldalai Kapcsolat a háromszög oldalai között ; (háromszög - egyenlőtlenség) A háromszögek szögei és oldalai Kapcsolat a háromszög oldalai között ; (háromszög - egyenlőtlenség)](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-70.jpg)
![Kapcsolat a háromszög oldalai között (háromszög-egyenlőtlenség) Tétel: A háromszög bármely két oldalának összege nagyobb, Kapcsolat a háromszög oldalai között (háromszög-egyenlőtlenség) Tétel: A háromszög bármely két oldalának összege nagyobb,](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-71.jpg)
![Kapcsolat a háromszög belső szögei között Tétel: A háromszög belső szögeinek összege 180°. C Kapcsolat a háromszög belső szögei között Tétel: A háromszög belső szögeinek összege 180°. C](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-72.jpg)
![Bizonyítás: 1. lépés: q Használjuk fel a párhuzamos szárú szögek tulajdonságait. q A háromszög Bizonyítás: 1. lépés: q Használjuk fel a párhuzamos szárú szögek tulajdonságait. q A háromszög](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-73.jpg)
![Bizonyítás: = = 2. lépés: q Az α és a δ fordított állású szögpárt Bizonyítás: = = 2. lépés: q Az α és a δ fordított állású szögpárt](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-74.jpg)
![Kapcsolat a háromszög belső és külső szögei között Tétel: A háromszög bármely külső szöge Kapcsolat a háromszög belső és külső szögei között Tétel: A háromszög bármely külső szöge](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-75.jpg)
![Bizonyítás: 1. lépés: q Használjuk fel a párhuzamos szárú szögek tulajdonságait. q A háromszög Bizonyítás: 1. lépés: q Használjuk fel a párhuzamos szárú szögek tulajdonságait. q A háromszög](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-76.jpg)
![Bizonyítás: 2. lépés: q A γ és a φ fordított állású szögek, ezért γ Bizonyítás: 2. lépés: q A γ és a φ fordított állású szögek, ezért γ](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-77.jpg)
![Kapcsolat a háromszög külső szögei között Tétel: A háromszög külső szögeinek összege 360°. γ’ Kapcsolat a háromszög külső szögei között Tétel: A háromszög külső szögeinek összege 360°. γ’](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-78.jpg)
![](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-79.jpg)
![Bizonyítás: 2. lépés: q A háromszög belső szögeinek összege 180°: α’ + β’ + Bizonyítás: 2. lépés: q A háromszög belső szögeinek összege 180°: α’ + β’ +](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-80.jpg)
![Kapcsolat a háromszög oldalai és szögei között Tétel: A háromszögben az egyenlő oldalakkal szemben Kapcsolat a háromszög oldalai és szögei között Tétel: A háromszögben az egyenlő oldalakkal szemben](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-81.jpg)
![Kapcsolat a háromszög oldalai és szögei között Tétel: A háromszögben a hosszabb oldallal szemben Kapcsolat a háromszög oldalai és szögei között Tétel: A háromszögben a hosszabb oldallal szemben](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-82.jpg)
![Kapcsolat a háromszög oldalai és szögei között Tétel: Ha két háromszögben két-két oldal egyenlő, Kapcsolat a háromszög oldalai és szögei között Tétel: Ha két háromszögben két-két oldal egyenlő,](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-83.jpg)
![Érdekes háromszögek „Sárga háromszögek” q Uralkodó forma: A HÁROMSZÖG q Háromszög alaprajzú kápolna q Érdekes háromszögek „Sárga háromszögek” q Uralkodó forma: A HÁROMSZÖG q Háromszög alaprajzú kápolna q](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-84.jpg)
![„Sárga háromszögek” PARÓCZI ÁGNES Sárga háromszögek / Yellow triangle (1998) „Sárga háromszögek” PARÓCZI ÁGNES Sárga háromszögek / Yellow triangle (1998)](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-85.jpg)
![Uralkodó forma: A HÁROMSZÖG Nádler István sorozata: Háromszögek (1994 -95 termése) Uralkodó forma: A HÁROMSZÖG Nádler István sorozata: Háromszögek (1994 -95 termése)](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-86.jpg)
![Háromszög alaprajzú kápolna Háromszög alaprajzú, barokk stílusban, 1757 -ben épült kápolna Sajóládon. Háromszög alaprajzú kápolna Háromszög alaprajzú, barokk stílusban, 1757 -ben épült kápolna Sajóládon.](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-87.jpg)
![Háromszögoromzat Kapuzatok fölött elhelyezkedő, párkányzatos kiképzésű, háromszög alakú díszítőfelület. Háromszögoromzat Kapuzatok fölött elhelyezkedő, párkányzatos kiképzésű, háromszög alakú díszítőfelület.](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-88.jpg)
![Frankenthal minta Az Frankenthal dekorral díszített tárgyakat szemlélve, azonnal megragad bennünket a mértani beosztású Frankenthal minta Az Frankenthal dekorral díszített tárgyakat szemlélve, azonnal megragad bennünket a mértani beosztású](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-89.jpg)
![„Repülő háromszögek” q Már-már legenda. Az Egyesült Államokban az emberek hatalmas, csendesen repülő háromszögeket „Repülő háromszögek” q Már-már legenda. Az Egyesült Államokban az emberek hatalmas, csendesen repülő háromszögeket](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-90.jpg)
![Kilépés Kilépés](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-91.jpg)
- Slides: 91
![](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-1.jpg)
![Telepítő programok Euklides 2 4 Geometriai szerkesztőprogram A makrók megnyitásához szükséges q Wingeom Geometriai Telepítő programok Euklides 2. 4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) q Wingeom (Geometriai](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-2.jpg)
Telepítő programok Euklides 2. 4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) q Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) q
![Súgó Menü Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott almenübe Előző dia Következő dia Információk Súgó Menü Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott almenübe Előző dia Következő dia Információk](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-3.jpg)
Súgó Menü Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott almenübe Előző dia Következő dia Információk a programról
![Háromszögekről Háromszögek szerkesztése q Háromszögek csoportosítása q A háromszögek szögei oldalai q Háromszögek területe Háromszögekről Háromszögek szerkesztése q Háromszögek csoportosítása q A háromszögek szögei, oldalai q Háromszögek területe,](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-4.jpg)
Háromszögekről Háromszögek szerkesztése q Háromszögek csoportosítása q A háromszögek szögei, oldalai q Háromszögek területe, kerülete q Háromszögek nevezetes pontjai, vonalai q Pitagorasz tétele q Háromszögek egybevágóságának és hasonlóságának alapesetei q Érdekes háromszögek q
![Háromszög szerkesztése három adatból q Derékszögű háromszög szerkesztése q Egyenlő szárú háromszög szerkesztése q Háromszög szerkesztése három adatból q Derékszögű háromszög szerkesztése q Egyenlő szárú háromszög szerkesztése q](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-5.jpg)
Háromszög szerkesztése három adatból q Derékszögű háromszög szerkesztése q Egyenlő szárú háromszög szerkesztése q Szabályos háromszög szerkesztése q Menü
![Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög két oldalból és a közbezárt szögből egyértelműen megszerkeszthető Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög két oldalból és a közbezárt szögből egyértelműen megszerkeszthető](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-6.jpg)
Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög két oldalból és a közbezárt szögből egyértelműen megszerkeszthető (a szög kisebb 180 ).
![Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög három oldalból egyértelműen megszerkeszthető ha az oldalakra fennáll Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög három oldalból egyértelműen megszerkeszthető (ha az oldalakra fennáll](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-7.jpg)
Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög három oldalból egyértelműen megszerkeszthető (ha az oldalakra fennáll a háromszögegyenlőtlenség).
![Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög egy oldalból és két szögből egyértelműen megszerkeszthető a Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög egy oldalból és két szögből egyértelműen megszerkeszthető (a](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-8.jpg)
Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög egy oldalból és két szögből egyértelműen megszerkeszthető (a két szög összege kisebb 180 -nál).
![Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög két oldalból és a nagyobb oldallal szemközti szögből Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög két oldalból és a nagyobb oldallal szemközti szögből](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-9.jpg)
Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög két oldalból és a nagyobb oldallal szemközti szögből egyértelműen megszerkeszthető (a szög kisebb 180 -nál).
![Derékszögű háromszög szerkesztése Derékszögű háromszög megszerkesztéséhez elegendő két megfelelő alkotóelem megadása mert harmadik a Derékszögű háromszög szerkesztése Derékszögű háromszög megszerkesztéséhez elegendő két megfelelő alkotóelem megadása, mert harmadik a](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-10.jpg)
Derékszögű háromszög szerkesztése Derékszögű háromszög megszerkesztéséhez elegendő két megfelelő alkotóelem megadása, mert harmadik a derékszög ismerete.
![Derékszögű háromszög szerkeszthető Ha ismerjük például q két befogóját c a b q az Derékszögű háromszög szerkeszthető Ha ismerjük (például): q két befogóját; c a b q az](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-11.jpg)
Derékszögű háromszög szerkeszthető Ha ismerjük (például): q két befogóját; c a b q az átfogóját és az egyik befogót. c a b
![Egyenlő szárú háromszög szerkesztése Elegendő két alkotóelem mert a szükséges harmadik az egyenlő szárú Egyenlő szárú háromszög szerkesztése Elegendő két alkotóelem, mert a szükséges harmadik az egyenlő szárú](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-12.jpg)
Egyenlő szárú háromszög szerkesztése Elegendő két alkotóelem, mert a szükséges harmadik az egyenlő szárú háromszög tulajdonságaival biztosítható.
![Egyenlő szárú háromszög szerkeszthető Ha ismerjük például q Az alapot és a szárat q Egyenlő szárú háromszög szerkeszthető Ha ismerjük (például): q Az alapot és a szárat; q](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-13.jpg)
Egyenlő szárú háromszög szerkeszthető Ha ismerjük (például): q Az alapot és a szárat; q Az alapot és bármelyik szöget.
![Szabályos háromszög szerkesztése Az egyenlő oldalú szabályos háromszög szerkesztéséhez elegendő az oldal ismerete A Szabályos háromszög szerkesztése Az egyenlő oldalú (szabályos) háromszög szerkesztéséhez elegendő az oldal ismerete. (A](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-14.jpg)
Szabályos háromszög szerkesztése Az egyenlő oldalú (szabályos) háromszög szerkesztéséhez elegendő az oldal ismerete. (A szögek 60 -osak. ) a a a
![Háromszögek csoportosítása Szögeik szerint q Hegyesszögű háromszögek q Derékszögű háromszögek q Tompaszögű háromszögek Oldalaik Háromszögek csoportosítása Szögeik szerint: q Hegyesszögű háromszögek q Derékszögű háromszögek q Tompaszögű háromszögek Oldalaik](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-15.jpg)
Háromszögek csoportosítása Szögeik szerint: q Hegyesszögű háromszögek q Derékszögű háromszögek q Tompaszögű háromszögek Oldalaik szerint: q Egyenlő szárú háromszögek Ø Szabályos háromszögek Ø Pontosan két egyenlő oldalú háromszögek q Különböző oldalú háromszögek Csoportosítás táblázatban: Menü
![Hegyesszögű háromszögnek nevezzük a háromszöget ha minden szöge hegyesszög Hegyesszögű háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha minden szöge hegyesszög.](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-16.jpg)
Hegyesszögű háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha minden szöge hegyesszög.
![Derékszögű háromszög befogó Derékszögű háromszögnek nevezzük a háromszöget ha van derékszöge A derékszöget bezáró Derékszögű háromszög befogó Derékszögű háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha van derékszöge. A derékszöget bezáró](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-17.jpg)
Derékszögű háromszög befogó Derékszögű háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha van derékszöge. A derékszöget bezáró két oldalt befogónak, a derékszöggel szemközti oldalt átfogónak nevezzük. át fo gó befogó
![Tompaszögű háromszögnek nevezzük a háromszöget ha van tompaszöge Tompaszögű háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha van tompaszöge.](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-18.jpg)
Tompaszögű háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha van tompaszöge.
![Egyenlő szárú háromszögnek nevezzük a háromszöget ha van legalább két egyenlő szöge Az egyenlő Egyenlő szárú háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha van legalább két egyenlő szöge. Az egyenlő](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-19.jpg)
Egyenlő szárú háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha van legalább két egyenlő szöge. Az egyenlő oldalakat száraknak, a háromszög harmadik oldalát alapnak nevezzük.
![Szabályos háromszögnek nevezzük a háromszöget ha minden oldala egyenlő A szabályos háromszög minden szöge Szabályos háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha minden oldala egyenlő. A szabályos háromszög minden szöge](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-20.jpg)
Szabályos háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha minden oldala egyenlő. A szabályos háromszög minden szöge egyenlő. Szerkesztések makrókkal:
![Pontosan két egyenlő oldalú háromszög Egyenlő szárú háromszögek Egyenlő szárú háromszögek amelyeknek pontosan két Pontosan két egyenlő oldalú háromszög (Egyenlő szárú háromszögek) Egyenlő szárú háromszögek, amelyeknek pontosan két](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-21.jpg)
Pontosan két egyenlő oldalú háromszög (Egyenlő szárú háromszögek) Egyenlő szárú háromszögek, amelyeknek pontosan két egyenlő oldaluk van.
![Különböző oldalú háromszögek Háromszögek amelyeknek minden oldaluk különböző hosszúságú Szerkesztés makróval Különböző oldalú háromszögek Háromszögek, amelyeknek minden oldaluk különböző hosszúságú. Szerkesztés makróval:](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-22.jpg)
Különböző oldalú háromszögek Háromszögek, amelyeknek minden oldaluk különböző hosszúságú. Szerkesztés makróval:
![Háromszögek csoportosítása Szögek szerinti csoportosítás Hegyesszögű Derékszögű Oldalak szerinti csoportosítás Egyenlő szárú Minden oldala Háromszögek csoportosítása Szögek szerinti csoportosítás Hegyesszögű Derékszögű Oldalak szerinti csoportosítás Egyenlő szárú Minden oldala](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-23.jpg)
Háromszögek csoportosítása Szögek szerinti csoportosítás Hegyesszögű Derékszögű Oldalak szerinti csoportosítás Egyenlő szárú Minden oldala különböző Pontosan két oldala egyenlő Egyenlő oldalú Tompaszögű
![Háromszögek halmaza „Háromszögek halmaza”](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-24.jpg)
„Háromszögek halmaza”
![Háromszög területe q Háromszög kerületének kiszámítása háromszög területének kiszámítása q területszámítás kiegészítéssel q Menü Háromszög területe q Háromszög kerületének kiszámítása; háromszög területének kiszámítása; q területszámítás kiegészítéssel; q Menü](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-25.jpg)
Háromszög területe q Háromszög kerületének kiszámítása; háromszög területének kiszámítása; q területszámítás kiegészítéssel; q Menü
![Háromszög kerülete Ha a háromszög oldalainak hosszúsága a b c akkor a kerülete K Háromszög kerülete Ha a háromszög oldalainak hosszúsága a, b, c, akkor a kerülete: K](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-26.jpg)
Háromszög kerülete Ha a háromszög oldalainak hosszúsága a, b, c, akkor a kerülete: K = a + b + c. b c a
![A háromszög területének kiszámítása A háromszög területét kiszámíthatjuk úgy is hogy az egyik oldal A háromszög területének kiszámítása A háromszög területét kiszámíthatjuk úgy is, hogy az egyik oldal](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-27.jpg)
A háromszög területének kiszámítása A háromszög területét kiszámíthatjuk úgy is, hogy az egyik oldal hosszát megszorozzuk a hozzá tartozó magasság hosszával, és a szorzatot elosztjuk kettővel. A T ABC = a. ma c 2 b ma B a C
![A háromszög területének kiszámítása egyéb összefüggések T T ABC b mb 2 A háromszög területének kiszámítása (egyéb összefüggések) T T ABC = = b. mb 2](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-28.jpg)
A háromszög területének kiszámítása (egyéb összefüggések) T T ABC = = b. mb 2 c. mc 2
![Területszámítás kiegészítéssel téglalappá való kiegészítés q q Foglaljuk téglalapba a háromszöget Ekkor az így Területszámítás kiegészítéssel (téglalappá való kiegészítés) q q Foglaljuk téglalapba a háromszöget. Ekkor az így](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-29.jpg)
Területszámítás kiegészítéssel (téglalappá való kiegészítés) q q Foglaljuk téglalapba a háromszöget. Ekkor az így kapott téglalap területe kétszerese a háromszög területének. T ABC = T’ C T’’ T B c. mc 2 A c
![Területszámítás kiegészítéssel paralelogrammává való kiegészítés q q Tükrözzük a háromszöget az egyik oldalának felezőpontjára Területszámítás kiegészítéssel (paralelogrammává való kiegészítés) q q Tükrözzük a háromszöget az egyik oldalának felezőpontjára.](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-30.jpg)
Területszámítás kiegészítéssel (paralelogrammává való kiegészítés) q q Tükrözzük a háromszöget az egyik oldalának felezőpontjára. Ekkor az eredeti és a tükörkép háromszög együtt középpontosan szimmetrikus négyszöget, paralelogrammát alkot. A háromszög területe fele a paralelogramma területének. A’ = D C F mc T A F c T B ABC = c. mc 2
![Pitagorasz tétele és annak bizonyítása magyarázattal q a bizonyítás lépései q egyéb összefüggések q Pitagorasz tétele és annak bizonyítása magyarázattal; q a bizonyítás lépései; q egyéb összefüggések; q](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-31.jpg)
Pitagorasz tétele és annak bizonyítása magyarázattal; q a bizonyítás lépései; q egyéb összefüggések; q Pitagorasz tételének megfordítása; q Pitagoraszi számhármasok; q egyéb érdekességek. q q Tudáspróba: Menü
![Pitagorasz tétele A Pitagorasz tétel bizonyítása magyarázattal Pitagorasz tétele A Pitagorasz tétel bizonyítása magyarázattal:](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-32.jpg)
Pitagorasz tétele A Pitagorasz tétel bizonyítása magyarázattal:
![Bizonyítás 1 lépés Az ab oldalú négyzetbe berajzolhatjuk az a 2 és b 2 Bizonyítás: 1. lépés: Az a+b oldalú négyzetbe berajzolhatjuk az a 2 és b 2](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-33.jpg)
Bizonyítás: 1. lépés: Az a+b oldalú négyzetbe berajzolhatjuk az a 2 és b 2 területű négyzetet és négy egybevágó, a és b befogójú derékszögű háromszöget. a b b b a a a b
![Bizonyítás 2 lépés Az ab oldalú négyzetbe másképp is berajzolhatjuk a négy egybevágó a Bizonyítás: 2. lépés: Az a+b oldalú négyzetbe másképp is berajzolhatjuk a négy egybevágó, a](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-34.jpg)
Bizonyítás: 2. lépés: Az a+b oldalú négyzetbe másképp is berajzolhatjuk a négy egybevágó, a és b befogójú derékszögű háromszöget. A négyzet átlóinak metszéspontja körül 90◦ többszöröseivel elforgatva az ábrát, az eredeti ábrával fedésbe hozható, tehát forgászimmetrikus. a b b c c a c c b a a b
![Bizonyítás 3 lépés A bevonalkázott négyszög minden oldala c és az ábra forgásszimmetriája miatt Bizonyítás: 3. lépés: A bevonalkázott négyszög minden oldala c, és az ábra forgásszimmetriája miatt](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-35.jpg)
Bizonyítás: 3. lépés: A bevonalkázott négyszög minden oldala c, és az ábra forgásszimmetriája miatt szögei egyenlő nagyságúak. Ezért a bevonalkázott négyszög az átfogóra emelt, c 2 területű négyzet. a b b c c a c c b a a b
![Bizonyítás 4 lépés Ha mindkét ábráról elhagyjuk a négynégy egybevágó háromszöget a maradék idomok Bizonyítás: 4. lépés: Ha mindkét ábráról elhagyjuk a négy-négy egybevágó háromszöget, a maradék idomok](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-36.jpg)
Bizonyítás: 4. lépés: Ha mindkét ábráról elhagyjuk a négy-négy egybevágó háromszöget, a maradék idomok területe megegyezik. a a 2+b 2=c 2 b b b a a a b b c c a a c c b b a
![Egyéb összefüggések Az összefüggést leíró egyenletet átrendezve az átfogó és az egyik befogó ismeretében Egyéb összefüggések: Az összefüggést leíró egyenletet átrendezve az átfogó és az egyik befogó ismeretében](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-37.jpg)
Egyéb összefüggések: Az összefüggést leíró egyenletet átrendezve az átfogó és az egyik befogó ismeretében kiszámíthatjuk a másik befogó négyzetét, majd a befogó is: a 2=c 2 -b 2 b 2=c 2 -a 2
![Pitagorasz tételének megfordítása Ha egy háromszög a b c oldalai megfelelnek a Pitagoraszféle feltételnek Pitagorasz tételének megfordítása: Ha egy háromszög a, b, c oldalai megfelelnek a Pitagorasz-féle feltételnek:](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-38.jpg)
Pitagorasz tételének megfordítása: Ha egy háromszög a, b, c oldalai megfelelnek a Pitagorasz-féle feltételnek: c 2 = a 2 + b 2, akkor a háromszög derékszögű. A derékszög a c oldallal szemközti szög.
![Egyéb érdekességek Ki volt Pitagorasz q Plimpton 322 q A babiloni számok rendszere Egyéb érdekességek „Ki volt Pitagorasz? ” q „Plimpton 322” q A babiloni számok rendszere.](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-39.jpg)
Egyéb érdekességek „Ki volt Pitagorasz? ” q „Plimpton 322” q A babiloni számok rendszere. q Korabeli címerrajz. q Háromszögek Egyiptomban. q Menü
![Pitagorasz Püthagorasz Kr E kb 582 500 q Számoszon született q Elsősorban vallásalapító és Pitagorasz (Püthagorasz) (Kr. E. kb. 582 -500). q Számoszon született. q Elsősorban vallásalapító és](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-40.jpg)
Pitagorasz (Püthagorasz) (Kr. E. kb. 582 -500). q Számoszon született. q Elsősorban vallásalapító és apostol volt, csak mellékesen foglalkozott matematikával. q Nem ő fedezte fel a róla elnevezett tételt, de a sok bizonyítás közül az egyik tőle származik. q
![A babiloni táblázatok q q A babiloniak a táblázatok megszállottjai voltak Az egyik tábla A babiloni táblázatok q q A babiloniak a táblázatok megszállottjai voltak. Az egyik tábla,](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-41.jpg)
A babiloni táblázatok q q A babiloniak a táblázatok megszállottjai voltak. Az egyik tábla, amelyet megfejtettek rendkívüli. Ezt a Columbiai Egyetem múzeumának birtokában lévő táblát úgy hívják, hogy Plimpton 322.
![Plimpton 322 q q Nincs rajta semmi más csak 15 számhármas Mindegyik számhármasra igaz „Plimpton 322” q q Nincs rajta semmi más, csak 15 számhármas. Mindegyik számhármasra igaz,](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-42.jpg)
„Plimpton 322” q q Nincs rajta semmi más, csak 15 számhármas. Mindegyik számhármasra igaz, hogy az első szám négyzetszám, és megegyezik a másik kettő összegével, amelyek maguk is négyzetszámok – azaz a tábla tizenöt pitagoraszi számhármast tartalmaz.
![A babiloni számok rendszere q Kifinomult 60 as alapú számrendszert fejlesztettek ki q Az A babiloni számok rendszere q Kifinomult, 60 -as alapú számrendszert fejlesztettek ki. q Az](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-43.jpg)
A babiloni számok rendszere q Kifinomult, 60 -as alapú számrendszert fejlesztettek ki. q Az 1 -nek q 2 -től 9 -ig a q 10 -nek a karakter felel meg. 20 -tól 50 -ig ezen karaktereket kombinálták. jel felel meg. Pl: A 11 leírása: szimbólumok felelnek meg.
![Korabeli címerrajzok q Korabeli címerrajzokon mozaikokon szerepelt az emberi figurává kiegészített rajz Korabeli címerrajzok q Korabeli címerrajzokon mozaikokon szerepelt az emberi figurává kiegészített rajz.](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-44.jpg)
Korabeli címerrajzok q Korabeli címerrajzokon mozaikokon szerepelt az emberi figurává kiegészített rajz.
![Háromszögek Egyiptomban q q Mivel 523242 a háromszög derékszögű Sokan feltételezik hogy az ókori Háromszögek Egyiptomban q q Mivel 52=32+42, a háromszög derékszögű. Sokan feltételezik, hogy az ókori](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-45.jpg)
Háromszögek Egyiptomban q q Mivel 52=32+42, a háromszög derékszögű. Sokan feltételezik, hogy az ókori Egyiptomban ezt a háromszöget használták fel derékszög kitűzésére úgy, hogy zárt zsinórt 12 csomóval 12 egyenlő részre osztottak, és ezt feszítették ki három cövek közé az ábrán látható módon.
![Chefrenpiramis A régészek éppen ezeket az arányokat fedezték fel a Chefrenpiramis faragott köveinek méreteiben Chefren-piramis A régészek éppen ezeket az arányokat fedezték fel a Chefren-piramis faragott köveinek méreteiben.](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-46.jpg)
Chefren-piramis A régészek éppen ezeket az arányokat fedezték fel a Chefren-piramis faragott köveinek méreteiben.
![A baalbeki Naptemplom Szíriában a baalbeki Naptemplomban az úgynevezett királyszobának is ilyen méretei vannak A baalbeki Nap-templom Szíriában a baalbeki Nap-templomban az úgynevezett királyszobának is ilyen méretei vannak.](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-47.jpg)
A baalbeki Nap-templom Szíriában a baalbeki Nap-templomban az úgynevezett királyszobának is ilyen méretei vannak.
![Pitagoraszi számhármasok Azokat a derékszögű háromszögeket melyeknek mindhárom oldala valamilyen egységben mérve egész szám Pitagoraszi számhármasok Azokat a derékszögű háromszögeket, melyeknek mindhárom oldala valamilyen egységben mérve egész szám,](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-48.jpg)
Pitagoraszi számhármasok Azokat a derékszögű háromszögeket, melyeknek mindhárom oldala valamilyen egységben mérve egész szám, pitagoraszi háromszögeknek is szokás nevezni. Az ilyen számhármasok pedig pitagoraszi számhármasok. 5 8 4 3 6
![Háromszögek nevezetes vonalai és pontjai A háromszög oldalfelező merőlegesei köré írható köre q a Háromszögek nevezetes vonalai és pontjai A háromszög oldalfelező merőlegesei, köré írható köre; q a](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-49.jpg)
Háromszögek nevezetes vonalai és pontjai A háromszög oldalfelező merőlegesei, köré írható köre; q a háromszögfelezői, beírható köre; q a háromszög magasságvonalai, magasságpontja; q a háromszög középvonalai; q a háromszög súlyvonalai, súlypontja. q q Tudáspróba Menü
![A háromszög oldalfelező merőlegesei és a háromszög köré írt köre A háromszög oldalfelező merőlegesei és a háromszög köré írt köre](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-50.jpg)
A háromszög oldalfelező merőlegesei és a háromszög köré írt köre
![A háromszögfelezői és a háromszög beírt köre Tétel Bármely háromszög belső szögfelezői egy pontban A háromszögfelezői és a háromszög beírt köre Tétel: Bármely háromszög belső szögfelezői egy pontban](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-51.jpg)
A háromszögfelezői és a háromszög beírt köre Tétel: Bármely háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást. Ez a pont a beírható kör középpontja. Bizonyítás magyarázattal: Makró:
![A háromszög magasságvonalai A háromszög magasságvonala a háromszög csúcsából a szemközti oldalegyenesre bocsátott merőleges A háromszög magasságvonalai A háromszög magasságvonala a háromszög csúcsából a szemközti oldalegyenesre bocsátott merőleges](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-52.jpg)
A háromszög magasságvonalai A háromszög magasságvonala a háromszög csúcsából a szemközti oldalegyenesre bocsátott merőleges egyenes. A háromszög magassága a háromszög csúcsa és a szemközti oldalegyenes távolsága. A magasságvonal és az arra merőleges oldalegyenes metszéspontja a magasság talppontja (T).
![A háromszög magasságpontja A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást A magasságvonalak metszéspontja a A háromszög magasságpontja A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást. A magasságvonalak metszéspontja a](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-53.jpg)
A háromszög magasságpontja A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást. A magasságvonalak metszéspontja a háromszög magasságpontja (M). A magasságpont q a hegyesszögű háromszögnek a belső pontja, q a derékszögű háromszögnek a derékszögű csúcsa, q a tompaszögű háromszögnek a külső pontja.
![A háromszög magassága A mb AT ma T A B mb B C T A háromszög magassága A mb A=T ma T A B mb B C T](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-54.jpg)
A háromszög magassága A mb A=T ma T A B mb B C T B Hegyesszögű háromszögben C Derékszögű háromszögben Tompaszögű háromszögben C
![A háromszög középvonalai A háromszög középvonala a háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakasz illetve A háromszög középvonalai A háromszög középvonala a háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakasz, illetve](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-55.jpg)
A háromszög középvonalai A háromszög középvonala a háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakasz, illetve ennek a szakasznak a hossza. Jelölése: ka, kb, kc C G kc ka A F kb H B
![A háromszög középvonala Tétel A háromszög középvonala párhuzamos a nem felezett oldallal és a A háromszög középvonala Tétel: A háromszög középvonala párhuzamos a nem felezett oldallal és a](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-56.jpg)
A háromszög középvonala Tétel: A háromszög középvonala párhuzamos a nem felezett oldallal és a középvonal hossza fele a nem felezett oldal hosszának. Bizonyítás magyarázattal:
![A háromszög súlyvonalai A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz A háromszög súlyvonalai A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz,](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-57.jpg)
A háromszög súlyvonalai A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz, illetve ennek a szakasznak a hossza. Jelölése: sa, sb, sc C sa F A B
![A háromszög súlypontja A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást A súlyvonalak metszéspontja a A háromszög súlypontja A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. A súlyvonalak metszéspontja a](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-58.jpg)
A háromszög súlypontja A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. A súlyvonalak metszéspontja a háromszög súlypontja. A súlypont a háromszög belső pontja. C G A S H F B
![Egybevágóság és hasonlóság Háromszögek egybevágóságának alapesetei 1 2 3 4 q Háromszög hasonlóságának alapesetei Egybevágóság és hasonlóság Háromszögek egybevágóságának alapesetei (1) (2) (3) (4) q Háromszög hasonlóságának alapesetei](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-59.jpg)
Egybevágóság és hasonlóság Háromszögek egybevágóságának alapesetei (1) (2) (3) (4) q Háromszög hasonlóságának alapesetei (1) (2) (3) (4) q Összehasonlítás q Hasonló és egybevágó háromszögek halmaza q Menü
![Háromszögek egybevágóságának alapesetei 1 Két háromszög egybevágó ha oldalaik páronként egyenlők Háromszögek egybevágóságának alapesetei (1) Két háromszög egybevágó, ha oldalaik páronként egyenlők.](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-60.jpg)
Háromszögek egybevágóságának alapesetei (1) Két háromszög egybevágó, ha oldalaik páronként egyenlők.
![Háromszögek egybevágóságának alapesetei 2 Két háromszög egybevágó ha két oldaluk és az általuk közrezárt Háromszögek egybevágóságának alapesetei (2) Két háromszög egybevágó, ha két oldaluk és az általuk közrezárt](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-61.jpg)
Háromszögek egybevágóságának alapesetei (2) Két háromszög egybevágó, ha két oldaluk és az általuk közrezárt szög egyenlő. γ γ
![Háromszögek egybevágóságának alapesetei 3 Két háromszög egybevágó ha két oldaluk és a hosszabbikkal szemközti Háromszögek egybevágóságának alapesetei (3) Két háromszög egybevágó, ha két oldaluk és a hosszabbikkal szemközti](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-62.jpg)
Háromszögek egybevágóságának alapesetei (3) Két háromszög egybevágó, ha két oldaluk és a hosszabbikkal szemközti szögük egyenlő. α α
![Háromszögek egybevágóságának alapesetei 4 Két háromszög egybevágó ha az egyik oldaluk és az azon Háromszögek egybevágóságának alapesetei (4) Két háromszög egybevágó, ha az egyik oldaluk és az azon](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-63.jpg)
Háromszögek egybevágóságának alapesetei (4) Két háromszög egybevágó, ha az egyik oldaluk és az azon lévő két szögük egyenlő. γ γ β β
![A háromszögek hasonlóságának alapesetei 1 Ha két háromszög megfelelő oldalainak aránya megegyezik akkor a A háromszögek hasonlóságának alapesetei (1) Ha két háromszög megfelelő oldalainak aránya megegyezik, akkor a](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-64.jpg)
A háromszögek hasonlóságának alapesetei (1) Ha két háromszög megfelelő oldalainak aránya megegyezik, akkor a két háromszög hasonló. c c’ b a b’ a’ a’ a b’ b c’ c.
![A háromszögek hasonlóságának alapesetei 2 Ha két háromszögben kétkét oldal aránya és e két A háromszögek hasonlóságának alapesetei (2) Ha két háromszögben két-két oldal aránya és e két](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-65.jpg)
A háromszögek hasonlóságának alapesetei (2) Ha két háromszögben két-két oldal aránya és e két oldal által közbezárt szög egyenlő, akkor a két háromszög hasonló. a’ a γ γ’ b b’ a’ a b’ ; b γ = γ’.
![A háromszögek hasonlóságának alapesetei 3 Ha két háromszögben kétkét oldal aránya és e két A háromszögek hasonlóságának alapesetei (3) Ha két háromszögben két-két oldal aránya és e két](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-66.jpg)
A háromszögek hasonlóságának alapesetei (3) Ha két háromszögben két-két oldal aránya és e két oldal közül a nagyobbikkal szemközti szög egyenlő, akkor a két háromszög hasonló. α’ α b a a’ a b’ ; b a’ α = α’ (a > b és a’ > b’). b’
![A háromszögek hasonlóságának alapesetei 4 Ha két háromszög megfelelő szögei egyenlők akkor a két A háromszögek hasonlóságának alapesetei (4) Ha két háromszög megfelelő szögei egyenlők, akkor a két](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-67.jpg)
A háromszögek hasonlóságának alapesetei (4) Ha két háromszög megfelelő szögei egyenlők, akkor a két háromszög hasonló. α’ α γ α = α’ ; β β = β’. γ’ β’
![Összehasonlítás A háromszög egybevágóságának alapesetei és a háromszög hasonlóságának alapesetei között q Az Összehasonlítás (A háromszög egybevágóságának alapesetei és a háromszög hasonlóságának alapesetei között. ) q Az](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-68.jpg)
Összehasonlítás (A háromszög egybevágóságának alapesetei és a háromszög hasonlóságának alapesetei között. ) q Az egybevágóság esetén a két háromszög alakja és nagysága is megegyezik. Ezt a háromszög egyenlőség biztosítja. q A hasonlóság esetén a két háromszög alakja egyezik meg.
![Hasonló és egybevágó háromszögek halmaza Hasonló és egybevágó háromszögek halmaza](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-69.jpg)
Hasonló és egybevágó háromszögek halmaza
![A háromszögek szögei és oldalai Kapcsolat a háromszög oldalai között háromszög egyenlőtlenség A háromszögek szögei és oldalai Kapcsolat a háromszög oldalai között ; (háromszög - egyenlőtlenség)](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-70.jpg)
A háromszögek szögei és oldalai Kapcsolat a háromszög oldalai között ; (háromszög - egyenlőtlenség) q kapcsolat a háromszög belső szögei között; q kapcsolat a háromszög belső és külső szögei között; q kapcsolat a háromszög oldalai és szögei között. q Menü
![Kapcsolat a háromszög oldalai között háromszögegyenlőtlenség Tétel A háromszög bármely két oldalának összege nagyobb Kapcsolat a háromszög oldalai között (háromszög-egyenlőtlenség) Tétel: A háromszög bármely két oldalának összege nagyobb,](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-71.jpg)
Kapcsolat a háromszög oldalai között (háromszög-egyenlőtlenség) Tétel: A háromszög bármely két oldalának összege nagyobb, mint a harmadik oldal. Bizonyítás: q Két pont között a legrövidebb út az őket összekötő szakasz. Ezért AC + CB > AB. q Hasonlóan belátható, hogy AC + AB > BC és AB + BC > AC. C A A C B B
![Kapcsolat a háromszög belső szögei között Tétel A háromszög belső szögeinek összege 180 C Kapcsolat a háromszög belső szögei között Tétel: A háromszög belső szögeinek összege 180°. C](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-72.jpg)
Kapcsolat a háromszög belső szögei között Tétel: A háromszög belső szögeinek összege 180°. C γ α + β + γ = 180° α A Bizonyítás: β B
![Bizonyítás 1 lépés q Használjuk fel a párhuzamos szárú szögek tulajdonságait q A háromszög Bizonyítás: 1. lépés: q Használjuk fel a párhuzamos szárú szögek tulajdonságait. q A háromszög](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-73.jpg)
Bizonyítás: 1. lépés: q Használjuk fel a párhuzamos szárú szögek tulajdonságait. q A háromszög belső szögeit α, β, γ jelöli. q Húzzunk az AB oldal egyenesével párhuzamos egyenest a C csúcson át! C γ α A β B
![Bizonyítás 2 lépés q Az α és a δ fordított állású szögpárt Bizonyítás: = = 2. lépés: q Az α és a δ fordított állású szögpárt](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-74.jpg)
Bizonyítás: = = 2. lépés: q Az α és a δ fordított állású szögpárt alkot, ezért α = δ. q A β és az ε is fordított állású szögpár, ezért β = ε. q A C csúcsnál lévő három szög egyenesszöget alkot, ezért C δ + γ + ε = 180° δ γ ε α + γ + β = 180° α A β B
![Kapcsolat a háromszög belső és külső szögei között Tétel A háromszög bármely külső szöge Kapcsolat a háromszög belső és külső szögei között Tétel: A háromszög bármely külső szöge](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-75.jpg)
Kapcsolat a háromszög belső és külső szögei között Tétel: A háromszög bármely külső szöge egyenlő a szöggel nem szomszédos két belső szög összegével. C γ β’ = α + γ α Bizonyítás: A β β’ B
![Bizonyítás 1 lépés q Használjuk fel a párhuzamos szárú szögek tulajdonságait q A háromszög Bizonyítás: 1. lépés: q Használjuk fel a párhuzamos szárú szögek tulajdonságait. q A háromszög](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-76.jpg)
Bizonyítás: 1. lépés: q Használjuk fel a párhuzamos szárú szögek tulajdonságait. q A háromszög belső szögei α, β, γ, megfelelő külső szögeit α’, β’, γ’ jelöli. q Húzzunk az AC oldal egyenesével párhuzamos félegyenest a B csúcsból! C γ α A β B
![Bizonyítás 2 lépés q A γ és a φ fordított állású szögek ezért γ Bizonyítás: 2. lépés: q A γ és a φ fordított állású szögek, ezért γ](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-77.jpg)
Bizonyítás: 2. lépés: q A γ és a φ fordított állású szögek, ezért γ = φ. q Az α és a δ egyállású szögek, ezért α = δ. q Az ábráról leolvasható: β’ = φ + δ C = = γ β’ = γ + α α A φ β β’ δ B
![Kapcsolat a háromszög külső szögei között Tétel A háromszög külső szögeinek összege 360 γ Kapcsolat a háromszög külső szögei között Tétel: A háromszög külső szögeinek összege 360°. γ’](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-78.jpg)
Kapcsolat a háromszög külső szögei között Tétel: A háromszög külső szögeinek összege 360°. γ’ γ α α’ Bizonyítás: β β’
![](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-79.jpg)
![Bizonyítás 2 lépés q A háromszög belső szögeinek összege 180 α β Bizonyítás: 2. lépés: q A háromszög belső szögeinek összege 180°: α’ + β’ +](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-80.jpg)
Bizonyítás: 2. lépés: q A háromszög belső szögeinek összege 180°: α’ + β’ + γ’ = 2. (α + β + γ ) = 2. 180° = 360° q Azaz a háromszög külső szögeinek összege: α’ + β’ + γ’ = 360° γ’ γ α α’ β β’
![Kapcsolat a háromszög oldalai és szögei között Tétel A háromszögben az egyenlő oldalakkal szemben Kapcsolat a háromszög oldalai és szögei között Tétel: A háromszögben az egyenlő oldalakkal szemben](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-81.jpg)
Kapcsolat a háromszög oldalai és szögei között Tétel: A háromszögben az egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek vannak. Bizonyítás: q Mivel a háromszögnek vannak egyenlő oldalai, a háromszög tengelyesen szimmetrikus. A tengelyes szimmetriából következik az összefüggés. q Ha b = a, akkor β = α. C γ b a α A β c B
![Kapcsolat a háromszög oldalai és szögei között Tétel A háromszögben a hosszabb oldallal szemben Kapcsolat a háromszög oldalai és szögei között Tétel: A háromszögben a hosszabb oldallal szemben](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-82.jpg)
Kapcsolat a háromszög oldalai és szögei között Tétel: A háromszögben a hosszabb oldallal szemben nagyobb szög van, mint a rövidebb oldallal szemben. b<c β<γ
![Kapcsolat a háromszög oldalai és szögei között Tétel Ha két háromszögben kétkét oldal egyenlő Kapcsolat a háromszög oldalai és szögei között Tétel: Ha két háromszögben két-két oldal egyenlő,](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-83.jpg)
Kapcsolat a háromszög oldalai és szögei között Tétel: Ha két háromszögben két-két oldal egyenlő, akkor abban a háromszögben nagyobb a harmadik oldal, amelyikben a két oldal által közbezárt szög nagyobb. α 1 < α 2 < α 3 α 2 C 3 α 3 a 3 α 1 C 2 a 1 C 1
![Érdekes háromszögek Sárga háromszögek q Uralkodó forma A HÁROMSZÖG q Háromszög alaprajzú kápolna q Érdekes háromszögek „Sárga háromszögek” q Uralkodó forma: A HÁROMSZÖG q Háromszög alaprajzú kápolna q](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-84.jpg)
Érdekes háromszögek „Sárga háromszögek” q Uralkodó forma: A HÁROMSZÖG q Háromszög alaprajzú kápolna q Háromszögoromzat q Frankenthal minta q Repülő háromszögek q Menü
![Sárga háromszögek PARÓCZI ÁGNES Sárga háromszögek Yellow triangle 1998 „Sárga háromszögek” PARÓCZI ÁGNES Sárga háromszögek / Yellow triangle (1998)](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-85.jpg)
„Sárga háromszögek” PARÓCZI ÁGNES Sárga háromszögek / Yellow triangle (1998)
![Uralkodó forma A HÁROMSZÖG Nádler István sorozata Háromszögek 1994 95 termése Uralkodó forma: A HÁROMSZÖG Nádler István sorozata: Háromszögek (1994 -95 termése)](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-86.jpg)
Uralkodó forma: A HÁROMSZÖG Nádler István sorozata: Háromszögek (1994 -95 termése)
![Háromszög alaprajzú kápolna Háromszög alaprajzú barokk stílusban 1757 ben épült kápolna Sajóládon Háromszög alaprajzú kápolna Háromszög alaprajzú, barokk stílusban, 1757 -ben épült kápolna Sajóládon.](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-87.jpg)
Háromszög alaprajzú kápolna Háromszög alaprajzú, barokk stílusban, 1757 -ben épült kápolna Sajóládon.
![Háromszögoromzat Kapuzatok fölött elhelyezkedő párkányzatos kiképzésű háromszög alakú díszítőfelület Háromszögoromzat Kapuzatok fölött elhelyezkedő, párkányzatos kiképzésű, háromszög alakú díszítőfelület.](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-88.jpg)
Háromszögoromzat Kapuzatok fölött elhelyezkedő, párkányzatos kiképzésű, háromszög alakú díszítőfelület.
![Frankenthal minta Az Frankenthal dekorral díszített tárgyakat szemlélve azonnal megragad bennünket a mértani beosztású Frankenthal minta Az Frankenthal dekorral díszített tárgyakat szemlélve, azonnal megragad bennünket a mértani beosztású](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-89.jpg)
Frankenthal minta Az Frankenthal dekorral díszített tárgyakat szemlélve, azonnal megragad bennünket a mértani beosztású kékfehér háromszögek vibrálása.
![Repülő háromszögek q Mármár legenda Az Egyesült Államokban az emberek hatalmas csendesen repülő háromszögeket „Repülő háromszögek” q Már-már legenda. Az Egyesült Államokban az emberek hatalmas, csendesen repülő háromszögeket](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-90.jpg)
„Repülő háromszögek” q Már-már legenda. Az Egyesült Államokban az emberek hatalmas, csendesen repülő háromszögeket látnak a városok közelében. q Vadászrepülők tervezésénél is kihasználják a háromszöget, mint geometriai formát.
![Kilépés Kilépés](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/dbedc93551d97204a766be9c62f82562/image-91.jpg)
Kilépés
Rendszerközeli programok
Vektorgrafikus programok
Mobilra vírusirtó
Kép
Euklidés
Schemat blokowy algorytmu euklidesa z dzieleniem
Kim był euklides i czego dokonał
Euklidove vety
Geometriai fogalmak
Tengelyesen és középpontosan szimmetrikus alakzatok
Háromszögek hasonlóságának alapesetei
Geometriai alapismeretek
Mérethálózat
Fénytörés feladatok megoldással