Telept programok Euklides 2 4 Geometriai szerkesztprogram A
- Slides: 91
Telepítő programok Euklides 2. 4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) q Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) q
Súgó Menü Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott almenübe Előző dia Következő dia Információk a programról
Háromszögekről Háromszögek szerkesztése q Háromszögek csoportosítása q A háromszögek szögei, oldalai q Háromszögek területe, kerülete q Háromszögek nevezetes pontjai, vonalai q Pitagorasz tétele q Háromszögek egybevágóságának és hasonlóságának alapesetei q Érdekes háromszögek q
Háromszög szerkesztése három adatból q Derékszögű háromszög szerkesztése q Egyenlő szárú háromszög szerkesztése q Szabályos háromszög szerkesztése q Menü
Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög két oldalból és a közbezárt szögből egyértelműen megszerkeszthető (a szög kisebb 180 ).
Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög három oldalból egyértelműen megszerkeszthető (ha az oldalakra fennáll a háromszögegyenlőtlenség).
Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög egy oldalból és két szögből egyértelműen megszerkeszthető (a két szög összege kisebb 180 -nál).
Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög két oldalból és a nagyobb oldallal szemközti szögből egyértelműen megszerkeszthető (a szög kisebb 180 -nál).
Derékszögű háromszög szerkesztése Derékszögű háromszög megszerkesztéséhez elegendő két megfelelő alkotóelem megadása, mert harmadik a derékszög ismerete.
Derékszögű háromszög szerkeszthető Ha ismerjük (például): q két befogóját; c a b q az átfogóját és az egyik befogót. c a b
Egyenlő szárú háromszög szerkesztése Elegendő két alkotóelem, mert a szükséges harmadik az egyenlő szárú háromszög tulajdonságaival biztosítható.
Egyenlő szárú háromszög szerkeszthető Ha ismerjük (például): q Az alapot és a szárat; q Az alapot és bármelyik szöget.
Szabályos háromszög szerkesztése Az egyenlő oldalú (szabályos) háromszög szerkesztéséhez elegendő az oldal ismerete. (A szögek 60 -osak. ) a a a
Háromszögek csoportosítása Szögeik szerint: q Hegyesszögű háromszögek q Derékszögű háromszögek q Tompaszögű háromszögek Oldalaik szerint: q Egyenlő szárú háromszögek Ø Szabályos háromszögek Ø Pontosan két egyenlő oldalú háromszögek q Különböző oldalú háromszögek Csoportosítás táblázatban: Menü
Hegyesszögű háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha minden szöge hegyesszög.
Derékszögű háromszög befogó Derékszögű háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha van derékszöge. A derékszöget bezáró két oldalt befogónak, a derékszöggel szemközti oldalt átfogónak nevezzük. át fo gó befogó
Tompaszögű háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha van tompaszöge.
Egyenlő szárú háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha van legalább két egyenlő szöge. Az egyenlő oldalakat száraknak, a háromszög harmadik oldalát alapnak nevezzük.
Szabályos háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha minden oldala egyenlő. A szabályos háromszög minden szöge egyenlő. Szerkesztések makrókkal:
Pontosan két egyenlő oldalú háromszög (Egyenlő szárú háromszögek) Egyenlő szárú háromszögek, amelyeknek pontosan két egyenlő oldaluk van.
Különböző oldalú háromszögek Háromszögek, amelyeknek minden oldaluk különböző hosszúságú. Szerkesztés makróval:
Háromszögek csoportosítása Szögek szerinti csoportosítás Hegyesszögű Derékszögű Oldalak szerinti csoportosítás Egyenlő szárú Minden oldala különböző Pontosan két oldala egyenlő Egyenlő oldalú Tompaszögű
„Háromszögek halmaza”
Háromszög területe q Háromszög kerületének kiszámítása; háromszög területének kiszámítása; q területszámítás kiegészítéssel; q Menü
Háromszög kerülete Ha a háromszög oldalainak hosszúsága a, b, c, akkor a kerülete: K = a + b + c. b c a
A háromszög területének kiszámítása A háromszög területét kiszámíthatjuk úgy is, hogy az egyik oldal hosszát megszorozzuk a hozzá tartozó magasság hosszával, és a szorzatot elosztjuk kettővel. A T ABC = a. ma c 2 b ma B a C
A háromszög területének kiszámítása (egyéb összefüggések) T T ABC = = b. mb 2 c. mc 2
Területszámítás kiegészítéssel (téglalappá való kiegészítés) q q Foglaljuk téglalapba a háromszöget. Ekkor az így kapott téglalap területe kétszerese a háromszög területének. T ABC = T’ C T’’ T B c. mc 2 A c
Területszámítás kiegészítéssel (paralelogrammává való kiegészítés) q q Tükrözzük a háromszöget az egyik oldalának felezőpontjára. Ekkor az eredeti és a tükörkép háromszög együtt középpontosan szimmetrikus négyszöget, paralelogrammát alkot. A háromszög területe fele a paralelogramma területének. A’ = D C F mc T A F c T B ABC = c. mc 2
Pitagorasz tétele és annak bizonyítása magyarázattal; q a bizonyítás lépései; q egyéb összefüggések; q Pitagorasz tételének megfordítása; q Pitagoraszi számhármasok; q egyéb érdekességek. q q Tudáspróba: Menü
Pitagorasz tétele A Pitagorasz tétel bizonyítása magyarázattal:
Bizonyítás: 1. lépés: Az a+b oldalú négyzetbe berajzolhatjuk az a 2 és b 2 területű négyzetet és négy egybevágó, a és b befogójú derékszögű háromszöget. a b b b a a a b
Bizonyítás: 2. lépés: Az a+b oldalú négyzetbe másképp is berajzolhatjuk a négy egybevágó, a és b befogójú derékszögű háromszöget. A négyzet átlóinak metszéspontja körül 90◦ többszöröseivel elforgatva az ábrát, az eredeti ábrával fedésbe hozható, tehát forgászimmetrikus. a b b c c a c c b a a b
Bizonyítás: 3. lépés: A bevonalkázott négyszög minden oldala c, és az ábra forgásszimmetriája miatt szögei egyenlő nagyságúak. Ezért a bevonalkázott négyszög az átfogóra emelt, c 2 területű négyzet. a b b c c a c c b a a b
Bizonyítás: 4. lépés: Ha mindkét ábráról elhagyjuk a négy-négy egybevágó háromszöget, a maradék idomok területe megegyezik. a a 2+b 2=c 2 b b b a a a b b c c a a c c b b a
Egyéb összefüggések: Az összefüggést leíró egyenletet átrendezve az átfogó és az egyik befogó ismeretében kiszámíthatjuk a másik befogó négyzetét, majd a befogó is: a 2=c 2 -b 2 b 2=c 2 -a 2
Pitagorasz tételének megfordítása: Ha egy háromszög a, b, c oldalai megfelelnek a Pitagorasz-féle feltételnek: c 2 = a 2 + b 2, akkor a háromszög derékszögű. A derékszög a c oldallal szemközti szög.
Egyéb érdekességek „Ki volt Pitagorasz? ” q „Plimpton 322” q A babiloni számok rendszere. q Korabeli címerrajz. q Háromszögek Egyiptomban. q Menü
Pitagorasz (Püthagorasz) (Kr. E. kb. 582 -500). q Számoszon született. q Elsősorban vallásalapító és apostol volt, csak mellékesen foglalkozott matematikával. q Nem ő fedezte fel a róla elnevezett tételt, de a sok bizonyítás közül az egyik tőle származik. q
A babiloni táblázatok q q A babiloniak a táblázatok megszállottjai voltak. Az egyik tábla, amelyet megfejtettek rendkívüli. Ezt a Columbiai Egyetem múzeumának birtokában lévő táblát úgy hívják, hogy Plimpton 322.
„Plimpton 322” q q Nincs rajta semmi más, csak 15 számhármas. Mindegyik számhármasra igaz, hogy az első szám négyzetszám, és megegyezik a másik kettő összegével, amelyek maguk is négyzetszámok – azaz a tábla tizenöt pitagoraszi számhármast tartalmaz.
A babiloni számok rendszere q Kifinomult, 60 -as alapú számrendszert fejlesztettek ki. q Az 1 -nek q 2 -től 9 -ig a q 10 -nek a karakter felel meg. 20 -tól 50 -ig ezen karaktereket kombinálták. jel felel meg. Pl: A 11 leírása: szimbólumok felelnek meg.
Korabeli címerrajzok q Korabeli címerrajzokon mozaikokon szerepelt az emberi figurává kiegészített rajz.
Háromszögek Egyiptomban q q Mivel 52=32+42, a háromszög derékszögű. Sokan feltételezik, hogy az ókori Egyiptomban ezt a háromszöget használták fel derékszög kitűzésére úgy, hogy zárt zsinórt 12 csomóval 12 egyenlő részre osztottak, és ezt feszítették ki három cövek közé az ábrán látható módon.
Chefren-piramis A régészek éppen ezeket az arányokat fedezték fel a Chefren-piramis faragott köveinek méreteiben.
A baalbeki Nap-templom Szíriában a baalbeki Nap-templomban az úgynevezett királyszobának is ilyen méretei vannak.
Pitagoraszi számhármasok Azokat a derékszögű háromszögeket, melyeknek mindhárom oldala valamilyen egységben mérve egész szám, pitagoraszi háromszögeknek is szokás nevezni. Az ilyen számhármasok pedig pitagoraszi számhármasok. 5 8 4 3 6
Háromszögek nevezetes vonalai és pontjai A háromszög oldalfelező merőlegesei, köré írható köre; q a háromszögfelezői, beírható köre; q a háromszög magasságvonalai, magasságpontja; q a háromszög középvonalai; q a háromszög súlyvonalai, súlypontja. q q Tudáspróba Menü
A háromszög oldalfelező merőlegesei és a háromszög köré írt köre
A háromszögfelezői és a háromszög beírt köre Tétel: Bármely háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást. Ez a pont a beírható kör középpontja. Bizonyítás magyarázattal: Makró:
A háromszög magasságvonalai A háromszög magasságvonala a háromszög csúcsából a szemközti oldalegyenesre bocsátott merőleges egyenes. A háromszög magassága a háromszög csúcsa és a szemközti oldalegyenes távolsága. A magasságvonal és az arra merőleges oldalegyenes metszéspontja a magasság talppontja (T).
A háromszög magasságpontja A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást. A magasságvonalak metszéspontja a háromszög magasságpontja (M). A magasságpont q a hegyesszögű háromszögnek a belső pontja, q a derékszögű háromszögnek a derékszögű csúcsa, q a tompaszögű háromszögnek a külső pontja.
A háromszög magassága A mb A=T ma T A B mb B C T B Hegyesszögű háromszögben C Derékszögű háromszögben Tompaszögű háromszögben C
A háromszög középvonalai A háromszög középvonala a háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakasz, illetve ennek a szakasznak a hossza. Jelölése: ka, kb, kc C G kc ka A F kb H B
A háromszög középvonala Tétel: A háromszög középvonala párhuzamos a nem felezett oldallal és a középvonal hossza fele a nem felezett oldal hosszának. Bizonyítás magyarázattal:
A háromszög súlyvonalai A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz, illetve ennek a szakasznak a hossza. Jelölése: sa, sb, sc C sa F A B
A háromszög súlypontja A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. A súlyvonalak metszéspontja a háromszög súlypontja. A súlypont a háromszög belső pontja. C G A S H F B
Egybevágóság és hasonlóság Háromszögek egybevágóságának alapesetei (1) (2) (3) (4) q Háromszög hasonlóságának alapesetei (1) (2) (3) (4) q Összehasonlítás q Hasonló és egybevágó háromszögek halmaza q Menü
Háromszögek egybevágóságának alapesetei (1) Két háromszög egybevágó, ha oldalaik páronként egyenlők.
Háromszögek egybevágóságának alapesetei (2) Két háromszög egybevágó, ha két oldaluk és az általuk közrezárt szög egyenlő. γ γ
Háromszögek egybevágóságának alapesetei (3) Két háromszög egybevágó, ha két oldaluk és a hosszabbikkal szemközti szögük egyenlő. α α
Háromszögek egybevágóságának alapesetei (4) Két háromszög egybevágó, ha az egyik oldaluk és az azon lévő két szögük egyenlő. γ γ β β
A háromszögek hasonlóságának alapesetei (1) Ha két háromszög megfelelő oldalainak aránya megegyezik, akkor a két háromszög hasonló. c c’ b a b’ a’ a’ a b’ b c’ c.
A háromszögek hasonlóságának alapesetei (2) Ha két háromszögben két-két oldal aránya és e két oldal által közbezárt szög egyenlő, akkor a két háromszög hasonló. a’ a γ γ’ b b’ a’ a b’ ; b γ = γ’.
A háromszögek hasonlóságának alapesetei (3) Ha két háromszögben két-két oldal aránya és e két oldal közül a nagyobbikkal szemközti szög egyenlő, akkor a két háromszög hasonló. α’ α b a a’ a b’ ; b a’ α = α’ (a > b és a’ > b’). b’
A háromszögek hasonlóságának alapesetei (4) Ha két háromszög megfelelő szögei egyenlők, akkor a két háromszög hasonló. α’ α γ α = α’ ; β β = β’. γ’ β’
Összehasonlítás (A háromszög egybevágóságának alapesetei és a háromszög hasonlóságának alapesetei között. ) q Az egybevágóság esetén a két háromszög alakja és nagysága is megegyezik. Ezt a háromszög egyenlőség biztosítja. q A hasonlóság esetén a két háromszög alakja egyezik meg.
Hasonló és egybevágó háromszögek halmaza
A háromszögek szögei és oldalai Kapcsolat a háromszög oldalai között ; (háromszög - egyenlőtlenség) q kapcsolat a háromszög belső szögei között; q kapcsolat a háromszög belső és külső szögei között; q kapcsolat a háromszög oldalai és szögei között. q Menü
Kapcsolat a háromszög oldalai között (háromszög-egyenlőtlenség) Tétel: A háromszög bármely két oldalának összege nagyobb, mint a harmadik oldal. Bizonyítás: q Két pont között a legrövidebb út az őket összekötő szakasz. Ezért AC + CB > AB. q Hasonlóan belátható, hogy AC + AB > BC és AB + BC > AC. C A A C B B
Kapcsolat a háromszög belső szögei között Tétel: A háromszög belső szögeinek összege 180°. C γ α + β + γ = 180° α A Bizonyítás: β B
Bizonyítás: 1. lépés: q Használjuk fel a párhuzamos szárú szögek tulajdonságait. q A háromszög belső szögeit α, β, γ jelöli. q Húzzunk az AB oldal egyenesével párhuzamos egyenest a C csúcson át! C γ α A β B
Bizonyítás: = = 2. lépés: q Az α és a δ fordított állású szögpárt alkot, ezért α = δ. q A β és az ε is fordított állású szögpár, ezért β = ε. q A C csúcsnál lévő három szög egyenesszöget alkot, ezért C δ + γ + ε = 180° δ γ ε α + γ + β = 180° α A β B
Kapcsolat a háromszög belső és külső szögei között Tétel: A háromszög bármely külső szöge egyenlő a szöggel nem szomszédos két belső szög összegével. C γ β’ = α + γ α Bizonyítás: A β β’ B
Bizonyítás: 1. lépés: q Használjuk fel a párhuzamos szárú szögek tulajdonságait. q A háromszög belső szögei α, β, γ, megfelelő külső szögeit α’, β’, γ’ jelöli. q Húzzunk az AC oldal egyenesével párhuzamos félegyenest a B csúcsból! C γ α A β B
Bizonyítás: 2. lépés: q A γ és a φ fordított állású szögek, ezért γ = φ. q Az α és a δ egyállású szögek, ezért α = δ. q Az ábráról leolvasható: β’ = φ + δ C = = γ β’ = γ + α α A φ β β’ δ B
Kapcsolat a háromszög külső szögei között Tétel: A háromszög külső szögeinek összege 360°. γ’ γ α α’ Bizonyítás: β β’
Bizonyítás: 2. lépés: q A háromszög belső szögeinek összege 180°: α’ + β’ + γ’ = 2. (α + β + γ ) = 2. 180° = 360° q Azaz a háromszög külső szögeinek összege: α’ + β’ + γ’ = 360° γ’ γ α α’ β β’
Kapcsolat a háromszög oldalai és szögei között Tétel: A háromszögben az egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek vannak. Bizonyítás: q Mivel a háromszögnek vannak egyenlő oldalai, a háromszög tengelyesen szimmetrikus. A tengelyes szimmetriából következik az összefüggés. q Ha b = a, akkor β = α. C γ b a α A β c B
Kapcsolat a háromszög oldalai és szögei között Tétel: A háromszögben a hosszabb oldallal szemben nagyobb szög van, mint a rövidebb oldallal szemben. b<c β<γ
Kapcsolat a háromszög oldalai és szögei között Tétel: Ha két háromszögben két-két oldal egyenlő, akkor abban a háromszögben nagyobb a harmadik oldal, amelyikben a két oldal által közbezárt szög nagyobb. α 1 < α 2 < α 3 α 2 C 3 α 3 a 3 α 1 C 2 a 1 C 1
Érdekes háromszögek „Sárga háromszögek” q Uralkodó forma: A HÁROMSZÖG q Háromszög alaprajzú kápolna q Háromszögoromzat q Frankenthal minta q Repülő háromszögek q Menü
„Sárga háromszögek” PARÓCZI ÁGNES Sárga háromszögek / Yellow triangle (1998)
Uralkodó forma: A HÁROMSZÖG Nádler István sorozata: Háromszögek (1994 -95 termése)
Háromszög alaprajzú kápolna Háromszög alaprajzú, barokk stílusban, 1757 -ben épült kápolna Sajóládon.
Háromszögoromzat Kapuzatok fölött elhelyezkedő, párkányzatos kiképzésű, háromszög alakú díszítőfelület.
Frankenthal minta Az Frankenthal dekorral díszített tárgyakat szemlélve, azonnal megragad bennünket a mértani beosztású kékfehér háromszögek vibrálása.
„Repülő háromszögek” q Már-már legenda. Az Egyesült Államokban az emberek hatalmas, csendesen repülő háromszögeket látnak a városok közelében. q Vadászrepülők tervezésénél is kihasználják a háromszöget, mint geometriai formát.
Kilépés
- Rendszerközeli programok
- Vektorgrafikus programok
- Mobilra vírusirtó
- Kép
- Euklidés
- Schemat blokowy algorytmu euklidesa z dzieleniem
- Kim był euklides i czego dokonał
- Euklidove vety
- Geometriai fogalmak
- Tengelyesen és középpontosan szimmetrikus alakzatok
- Háromszögek hasonlóságának alapesetei
- Geometriai alapismeretek
- Mérethálózat
- Fénytörés feladatok megoldással