ELEMI GEOMETRIAI ISMERETEK Mszros Andrea Tartalomjegyzk Geometriai transzformcik

ELEMI GEOMETRIAI ISMERETEK Mészáros Andrea

Tartalomjegyzék Ø Geometriai transzformációk - Egybevágósági transzformációk - Hasonlósági transzformáció Ø Síkidomok - háromszögek - négyszögek Ø Térgeometria 12/4/2020 Mészáros Andrea 2

A geometriai transzformációkról általában Azokat a függvényeket, amelyeknek értelmezési tartománya is, értékkészlete is ponthalmaz, geometriai transzformációknak nevezzük Az f geometriai transzformáció fixpontjának nevezzük az olyan pontot, amely önmagának a képe. Több transzformáció egymás utáni alkalmazásaként nyert transzformációt a transzformációk szorzatának nevezzük. Az olyan transzformációt, amely minden pontot helyben hagy, identikus leképezésnek nevezzük. 12/4/2020 Mészáros Andrea 3

Egybevágósági transzformációk A transzformáció neve Fix pontja(i) Helyettesíthető egyenesre (tengelyre) vonatkozó tükrözás a tengely minden pontja a tengely körüli 180 -os (térbeli) elforgatás pontra vonatkozó tükrözés a tükrözés középpontja a tükrözés középpontján áthaladó és egymásra merőleges két egyenesre történő egymás utáni tükrözéssel pont körüli nagyságú adott irányú elforgatás az elforgatás középpontja, esetén miden pont az elforgatás középpontján áthaladó t 1és t 2 egyenesekre történő egymás utáni tükrözéssel. A t 1 egyenes forgásszöggel vihető át a t 2 egyenesbe d nagyságú, adott irányú eltolás d esetén nincs, d esetén minden pont az eltolás irányára merőleges és egymástól d/2 távolságban lévő párhuzamos egyenesekre történő egymás utáni tükrözéssel (a tükrözések sorrendje lényeges!) 12/4/2020 Mészáros Andrea 4

Síkidomok egybevágósága Az egybevágóság fogalma: Két alakzat egybevágó, ha létezik olyan egybevágósági transzformáció, ill. transzformációk sorozata, amely az egyik alakzatot a másikba viszi át. Háromszögek egybevágósága: - oldalaik páronként megegyeznek - két oldaluk és az általuk bezárt szög páronként megegyezik - két oldaluk és a nagyobbik oldallal szemben fekvő szögük páronként egyenlő - egy oldaluk és a rajta fekvő szögek páronként egyenlők 12/4/2020 Mészáros Andrea 5

Négyszögek egybevágósága: Két négyszög egybevágó, ha megfelelő oldalaik és szögeik páronként megegyeznek • két négyzet egybevágó, ha egy megfelelő adatuk megegyezik • két téglalap egybevágó, ha két megfelelő adatuk megegyezik • két rombusz egybevágó, ha két megfelelő adatuk megegyezik • két paralelogramma egybevágó, ha három megfelelő adatuk megegyezik • két trapéz egybevágó, ha négy megfelelő adatuk megegyezik 12/4/2020 Mészáros Andrea 6

Hasonlósági transzformációk A hasonlóság olyan transzformáció, ahol bármely két képpont távolságát osztva a tárgypontok távolságával, ugyanazt a pozitív valós számot kapjuk. Tehát, ha a transzformáció A-hoz A’-t, Bhez B’-t rendeli, akkor d. A’B’/d. AB=l minden A, B pont esetén. A középpontos hasonlóság szintén rendelkezik a definícióban előírt tulajdonsággal, tehát hasonlósági transzformáció Minden hasonlóság megkapható mint egybevágóság és egy középpontos hasonlóság szorzata. 12/4/2020 Mészáros Andrea 7

Középpontos hasonlóság Jelöljünk ki egy O pontot, és adjunk meg egy l>0 valós számot. Az O ponthoz rendeljük hozzá önmagát. Egy tetszőleges, de Otól különböző P ponthoz rendeljük hozzá azt az OP félegyenesre eső P’ pontot, amelyre d. OP’=ld. OP. Az így definiált ponttranszformációt középpontos hasonlóságnak nevezzük. Az O pont a hasonlóság középpontja, a l>0 valós számot a hasonlóság arányának nevezzük. Ha l>1, akkor az O centrumból való nagyításról, ha 0<l<1 kicsinyítésről beszélünk. 12/4/2020 Mészáros Andrea 8

Síkidomok hasonlósága háromszögek hasonlósága - a megfelelő oldalak aránya egyenlő - két-két megfelelő oldal aránya és az általuk közbezárt szög egyenlő - két-két megfelelő oldal aránya és a nagyobbik oldalakkal szemközti szögük egyenlő - két-két szögük páronként egyenlő négyszögek hasonlósága: - két négyzet mindig hasonló egymáshoz - két téglalap hasonló, ha oldalaik aránya megegyezik - két rombusz hasonló, ha egy-egy szögük egyenlő körök hasonlósága: bármely két kör hasonló egymáshoz 12/4/2020 Mészáros Andrea 9

Síkidomok háromszögek Egy háromszög a legnagyobb szöge szerint v hegyesszögű, ha minden szöge hegyesszög v derékszögű, ha egyik szöge derékszög v tompaszögű, ha egyik szöge tompaszög v. Az oldalak alapján v egyenlő oldalú, ha mindhárom oldala egyenlő v egyenlő szárú, ha van két egyenlő oldala v általános, ha nem egyenlő szárú 12/4/2020 Mészáros Andrea 10

C c A g a b a B b Összefüggések a háromszög adatai között: ü a háromszög belső szögeinek össze 180° ü bármelyik külső szöge egyenlő a nem mellette fekvő két belső szög összegével ü két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál ü ugyanabban a háromszögben egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek vannak 12/4/2020 Mészáros Andrea 11

C B 1 O A 1 B A C 1 A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög köré írható kör középpontja. Az a, b, c oldalú, T területű háromszög köré írt kör R sugara: R= abc/4 T 12/4/2020 Mészáros Andrea 12

C a b r O A c B A háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszögbe írható kör középpontja. A T területű és a+b+c=2 s kerületű háromszögbe írt kör r sugara: r=T/s 12/4/2020 Mészáros Andrea 13

D a/2 C a/2 a b A x y E mc a/2 a B c 2 b c 1. ábra 2. ábra A háromszög bármely szögfelezője a szemközti oldalt a közrefogó oldalak arányában felezi. (1. ábra) (Vetületi tétel): c=bcosa+acosb (2. ábra) 12/4/2020 Mészáros Andrea 14

Háromszögek nevezetes vonalai Magasságtétel: a derékszögű háromszög a átfogójához tartozó magasság a befogók átfogóra eső merőleges vetületeinek mértani közepe. b a m p q a b c Befogótétel: A derékszögű háromszög befogója az átfogónak és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepe. 12/4/2020 Mészáros Andrea 15

négyszögek minden konvex négyszög belső szögeinek összege 360° Azt a négyszöget, melynek két-két szemközti oldala párhuzamos paralelogrammának nevezzük. O a b a Egy négyszög akkor és csak akkor paralelogramma, ha 12/4/2020 i. két-két szemben fekvő oldala párhuzamos ii. két-két szemben fekvő oldala egyenlő iii. két szemben fekvő oldala párhuzamos és egyenlő Mészáros Andrea 16

iv. két-két szemben fekvő szöge egyenlő v. két átlója felezi egymást vi. középpontosan szimmetrikus Ha a paralelogramma oldalai egyenlők, rombusznak hívjuk. - egy paralelogramma akkor, és csak akkor rombusz, ha átlói egymásra merőlegesek - egy négyszög akkor, és csak akkor rombusz, ha átlói merőlegesen felezik egymást Ha a paralelogramma szögei egyenlők, téglalapnak nevezzük. 12/4/2020 Mészáros Andrea 17

Ha egy négyszögnek van két párhuzamos oldala, trapéznak hívjuk. A trapéz bármely szárán nyugvó szögek összege 180° Ha a trapéz egyik alapján fekvő két szög megegyezik, akkor a trapézt, szimmetrikus trapéznak nevezzük. Szimmetrikus trapéz szárai és átlói egyenlők Ha egy négyszög két-két szemközti oldala egyenlő, akkor deltoidnak nevezzük. 12/4/2020 Mészáros Andrea 18

Azokat a konvex négyszögeket, amelyeknek minden csúcsa ugyanazon a körön van, húrnégyszögnek nevezzük. (1. Ábra) Egy négyszög, akkor és csak akkor húrnégyszög, ha két szemközti szögének összege 180° c a 2 b 2 a d b a b 2. ábra 1. ábra Érintőnégyszögnek nevezzük azokat a négyszögeket, amelyeknek minden oldala egy adott kört érint. (2. ábra) Egy négyszög akkor, és csak akkor érintőnégyszög, ha két-két szemközti oldalának összege egyenlő 12/4/2020 Mészáros Andrea 19

Térgeometria Poliéderek Az olyan térrészt, amelyet véges sokszögtartomány határol, s amely teljes egyenest nem tartalmaz, poliédereknek nevezzük. Egy-egy szögtartomány a poliéder egy-egy lapja, a szögtartomány síkja a poliéder lapsíkja, a lapokat határoló szakaszok a poliéder élei, az élek végpontjai a poliéder csúcsai. A csúcsokat összekötő az élektől különböző szakaszok a lapátlók, ha egyetlen lapsíkban vannak; s testátlók, ha egyetlen lapsíkhoz sem tartoznak. 12/4/2020 Mészáros Andrea 20

C B 1 O B Euler tétele: A konvex poliéderben a csúcsok (c), és lapok (l), C számának összege kettővel nagyobb az élek (e), számánál. c+l=e+2 A 1 Az olyan konvex poliédert, amelynek élei, élszögei és lapszögei egyenlők, szabályos testnek nevezzük. 12/4/2020 Elnevezés n m c e f Tetraéder 3 3 4 6 4 Hexaéder 4 3 8 12 6 Oktaéder 3 4 6 12 8 Dodekaéder 5 3 20 30 12 Ikozaéder 3 5 12 30 20 Mészáros Andrea 21

12/4/2020 Mészáros Andrea 22

12/4/2020 Mészáros Andrea 23