Geometriai valsznsgszmts Ksztette Horvth Andrs Kkesy Bernadett Meszlnyi
Geometriai valószínűségszámítás Készítette: Horváth András, Kékesy Bernadett, Meszlényi Nóra Elemi matematika 5 – gyakorlat 2018. November 5.
Bevezető feladat Egy lavina 2000 hektár területet betemetett egy síelésre gyakran használt térségben. Bence az nap síelni ment, és még nem jelentkezett, így a mentésére sietnek. Mi az esélye, hogy ha a mentőcsapat 500 hektárt találomra kiás a betemetett területből, megtalálnák Bencét?
Megoldás •
To ti? Geometriai valószínűségszámítás esetén egy véletlen kísérlet elemi eseményeit egy geometriai alakzat pontjainak kiválasztásával modellezzük. Annak valószínűsége, hogy egy pont egy adott geometriai alakzatba esik, arányos az alakzat hosszával, területével vagy térfogatával.
1 D-s feladatok 1. feladat A méterrúd piros és fehér 10 cm-es szakaszokból áll, melyek egymást váltják és az első szakasz piros színű. A rúd 32 cm-nél kettétört. Ha rámászik egy hangya, akkor a két rész közül melyiken lesz nagyobb az esélye, hogy piros színű szakaszon telepszik le? 2. feladat Anna minden reggel 6 és fél 7 között véletlenszerűen érkezik a buszmegállóba. A buszok, amik jók neki, a következőképp járnak. Az egyik 15, a másik 20 percenként indul 5 órától kezdve. Mennyi a valószínűsége, hogy Annának nem kell 5 percnél többet várnia a buszmegállóban?
1 D-s megoldások 1. feladat 2. feladat • •
2 D-s feladatok I. 3. Egy kör alakú céltáblára lövés érkezik. Mi a valószínűsége, hogy a lövés helye közelebb lesz a kör középpontjához, mint a határvonalához, feltéve, hogy minden lövésünk eltalálja a céltáblát?
2 D-s feladatok II. 4. A következő játékot játsszuk. Adottak A és B pörgettyűk. Kétszer pörgetünk, egyszer A-val, egyszer B-vel. Akkor nyerünk, ha a nyíl által kijelölt két szín összekeverve a lilát adja. Mekkora valószínűséggel nyerünk? (BÓNUSZ: És ha válaszhatunk mindkét pörgetésnél A és B közül? )
2 D-s feladatok III. 5. Egy raktárhoz 24 órás időtartamon belül véletlen időpontokban két kamion érkezik. Az előbb érkező kamion rögtön megkezdi a rakodást. A rakodás az egyik kamionnál 1, a másiknál 2 órát vesz igénybe. Ha a második kamion akkor érkezik, amikor az elsőre még rakodnak, akkor várakoznia kell a rakodás befejezéséig. Mekkora a valószínűsége, hogy a két kamion közül valamelyiknek várakoznia kell?
A 3 D-s feladat Három hajótörött mindegyike egy-egy órát tölt (egyhuzamban) egy szigeten ma délután valamikor 5 és 9 óra között (véletlenszerűen). Ha hármuk közül pontosan kettő fél óránál hosszabb ideig egyszerre tartózkodik ott, akkor viszály tör ki. Mekkora a valószínűsége annak, hogy békében telik el a nap?
Hajótöröttek: H 1, H 2, H 3 Egy hajótörött megjelenése a szigeten: • H 1, H 2, H 3 megérkezési időpontjai derékszögű koordináta-rendszer egy pontjának koordinátái • Eseménytér 3 egység oldalhosszúságú kocka • Minden pont egyenlő esély térfogattal jellemezhető a valószínűség
Békés nap esélye? Viszály esélye? 1. probléma: érkezési sorrend (3! = 6 -féleképpen) Részprobléma: rögzítsük a sorrendet: H 1, H 2, H 3 2. probléma: kik között alakul ki viszály? Részprobléma: vizsgáljuk a H 1 és H 2 között kialakuló viszály Ø H 1 és H 2 legalább 0, 5 órát együtt tölt a szigeten ØEzalatt nem érkezik meg H 3
Legyen P(x, y, z) olyan pont, ahol viszály van. Mit tudunk róla? P a kocka egy pontja: (1) 0 ≤ x ≤ 3 (2) 0 ≤ y ≤ 3 (3) 0 ≤ z ≤ 3 Érkezési sorrend: (4) x ≤ y ≤ z Viszály: (5) y ≤ x+0, 5 (6) z > y+0, 5
CG, DH és EF közös pontja S(0; 2, 5; 3), a CDE és a GHF lapok párhuzamosak egymással SCDE és SGHF hasonló tetraéderek. A hasonlóság aránya SF: SE = 2 : 2, 5 = 0, 8 A térfogatok aránya: VSGHF : VSCDE = 0, 83 VCDEGHF = (1− 0, 83) VSCDE
VSCDE kiszámításáshoz tekintsük a E középpontú 3: 2, 5 arányú hasonlóságot EC’D’S’ tetraéder: C’ (3; 3; 3), D’ (0; 0; 0), S’ (0; 3; 3)
Köszönjük a figyelmet!
- Slides: 20