Valsznsgszmts dr Szalkai Istvn 1 TARTALOM 0 Kombinatorika

Valószínűségszámítás dr. Szalkai István 1

TARTALOM: 0. Kombinatorika elemei (segédeszközök) 1. Eseményalgebra 2. A valószínűség: a) axiómák és következményeik b) klasszikus (=kombinatorikus) valószínűségi mező c) geometriai valószínűségi mező 3. Feltételes valószínűség, események függetlensége 4. Valószínűségi változók a) általános definíciók b) várható érték, szórás 2

5. Nevezetes diszkrét eloszlások: a) Bernoulli (= binomiális = visszatevéses mintavétel) b) Hipergeometriai (=visszatevés nélküli mintavétel) c) Geometriai (=próbálkozás amíg nem sikerül) d) Poisson (= a) közelítése) 6. Nevezetes folytonos eloszlások: a) Egyenletes (= buszváró, ="hidastábla", … ) b) Exponenciális (= nem öregedő élettartam) c) Normális (= fizikai / biológiai rendszerek) 3

7. Nagy számok törvényei (Markov, Csebisev, Bernoulli, Csebisev, Centrális, Moivre-Laplace) 8. Két diszkrét val. vált. összefüggése (=kétdimenziós v. v. ) 4

0. Kombinatorika Hány / hányféleképpen ? = hat képlet = hat új alapművelet i) Sorbarendezések: n elem egy sorban = permutációk - ha az n elem mind különböző (ismétlés/ ismétlődés nélkül) => Pn = 1· 2· 3·. . . ·(n-1)·n = n! / 0! = 1 / . - ha az n elem nem mind különböző (ismétléses), azaz s féle: az egyes típusokból k 1 , k 2 , … , ks van, akkor => Pnk 1, …, ks (ism) = n! , k 1!k 2! … ks! ( k 1 + k 2 + … + k s = n ) 5

ii) Kiválasztások n különböző elem közül k -szor választunk ki egyet-egyet a KIVÁLASZTÁS SORRENDJE számít nem számít (pl. tombola) (pl. lottó) VARIÁCIÓ KOMBINÁCIÓ V nk <= ismétlés/visszatevés nélkül => Vnk (ism) <= ismétléssel = visszatevéssel => C nk Cnk (ism) 6

Vnk = n·(n-1)·(n-2)…(n-(k-1)) = n·(n-1)·(n-2)…(n-k+1) Vnk (ism) = n·n·…. ·n = nk , C nk = ( nk ) = n·(n-1)·(n-2)…(n-k+1) = k! n = ( n+k-1 n-1 ) = / n+k-1 n-1 , k! ·(n-k) ! = " binomiális együtthatók " Ck (ism) n! / = Vnk / k! ((szövegszerkesztő !!! )) 7

Binomiális együtthatók alaptulajdonságai / Cnk = ( nk ) = n elem közül k -t kiválasztani hányféleképpen visszatevés nélkül, sorrend lényegtelen / ( n 0 ) = ( nn ) = 1 , ( nk ) = ( nn-k ) ( n 1 ) = ( nn-1 ) = n , / szimmetria tulajdonság/ pl. / 20 = 15 / / 20 = 5 / / 90 = 5/ 20· 19· 18· 17· 16 1· 2· 3· 4· 5 8

1. Eseményalgebra Definíciók: Kísérlet = aktív vagy passzív, valami történik, Eseménytér = kísérlet összes lehetséges kimenetele = tetszőleges halmaz Jele: H , Ω vagy T (=Solt Gy. ###) , …. � pl. Két kockával dobunk => Ω = { (1, 1) , (1, 2) , (1, 3) , … , (6, 6) } | Ω | = 36 Megj. : két különböző kocka / pénzérme / … 9

Def. : Esemény: Tetszőleges A Ω részhalmaz. � ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Pl. A : = " a két kocka összege = 5 " = { (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) } Ω. Def. : Lehetetlen esemény = …. . . = biztos esemény = …… = Ω (Solt: O= ) Ω Ω (Solt: I=Ω=T) ellentett esemény = tagadás = Ω A = A komplementere � Kísérlet végeredménye: x Ω Def. : A esemény bekövetkezik: x A. � A Ω Def. : A és B kizárják egymást /? / ( x A => x B és x B => x A ) tehát: A és B diszjunktak A B = . � 10

Eseményalgebra = esemény műveletek = halmazműveletek Def. : A vagy B = A B =: A+B események "összege", A és B = A B =: A • B események "szorzata", nem A = esemény "ellentettje", A— =: A— (= tagadás / komplementer) A => B = A B = " A maga után vonja B -t" (= A -ból következik B) � 11

Halmazműveletek tulajdonságai: Eseményalgebra: >>> ld. ### Solt Gy. 47. old. 12

Pl: disztributivitás (széttagolhatóság) : halmazelméletben: valószínűségszámításban A (B C) = (A B) (A C) A (B+C ) = (A B)+(A C) A (B C) = (A B) (A C) A+(B C) = (A+B) (A+C) De Morgan - azonosságok: ____ __ __ A B = A B A+B = A B ____ __ __ A B = A B __ __ A B = A + B 13

2 a) A valószínűség axiómái és következm. (Kolmogorov) P(A) = ? A esemény valószínűsége (esélye): DEF: P : A p R P : P( ) i) ii) R R tetszőleges függvény amelyre: 0 P(A) 1 P( ) = 0 , P( ) = 1 , (100% ill. 0% ) � iii) ha A és B kizáróak => P(A B) = P(A)+P(B) KÖV: tetszőleges A, B halmazokra � P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) !!!!! P(A) TA / terület / !!!!! 14

KÖV: P(A-) = 1 - P(A) ha A B => P(A) P(B) DEF: (A maga után vonja B -t) A lehetetlen esemény, ha P(A) = 0. A biztos esemény, P(A) = 1. Pl: A N , mert (tagadás) ha � � A = { négyzetszámok } lehetetlen, P(A) = limn n / n = 0. !!!!! P(A) TA / terület / !!!!! 15

DEF: teljes eseményrendszer = partíció = felosztás = B 1 B 2 B 3 … Bn és Bi Bk = ( i k) (lefed hézagtalanul) (nincs átfedés) � Állítás: Ekkor P(B 1) + P(B 2) + P(B 3) + … + P(Bn) P(A) = TA = 1 . � 16

2. b) klasszikus (=kombinatorikus) valószínűségi mező Ha véges és minden eleme egyenlő esélyű, akkor P(A) = | A | / | | (= " k/ö ") � 2. c) geometriai valószínűségi mező Ha -t geometriai alakzattal szemléltethetjük, és P(A) a területtel / hosszal arányos, akkor P(A) = TA / T = h. A / h � !!!!! GYAKORLÁS !!!!! ### Solt Gy. 91 -99. old. kimarad !!! ( Maxwell, Boltman, Bose, Einstein, Fermi, Dirac ) 17

3. a) Feltételes valószínűség " Ha B bekövetkezett, akkor A -ról mit tudunk ? " DEF: jele: P (A | B) (" A feltéve B ") kiszámítása: P (A | B) : = P(A B) P(B) Szorzás-Tétel: ha P(B) 0. � P(A | B) P(B) = P(A B) . � 18

Teljes valószínűség Tétele: Ha B 1 , B 2 , B 3 , … , Bn teljes eseményrendszer, P(Bi) 0 , akkor tetszőleges A Ω eseményre P(A) = P(A|B 1) P(B 1) + P(A|B 2) P(B 2) + …+ P(A|Bn) P(Bn). TA = P(A) = TA TA B 1 + TA B 2 + …+ TA Bn. 19 �

Bayes Tétele: (= Megfordítási Tétel) P (B | A) : = P(A | B) P(B) P(A) � 20

3. b) események függetlensége Megj: A és B független P(A|B) = P(A) és P(B|A) = P(B) Áll: P(A B) = P(A) P(B) Def: Megj: természet � ez utóbbi. � fenti képlet. � 21

4. Valószínűségi változók = a kísérlet (mérés) számszerű végeredménye. 22