SKALENTRANSFORMATION KORRELATION Von Sophia Rosar Jan Schmitz Hannah

SKALENTRANSFORMATION & KORRELATION Von Sophia Rosar, Jan Schmitz, Hannah Kölle, Theresa Nix

Ablauf • Variablen • Skalentransformation • Korrelationen • Übungsaufgaben

Vom Merkmal zur Variable • Merkmalsträger: Statistische Einheit (z. B. Personen) • Merkmal: Eigenschaft einer statistischen Einheit (z. B. X=Haarfarbe) • Merkmalsausprägung: Wert/Ausprägung, die ein Merkmal annehmen kann (z. B. blond) • Variable: Eindeutige Zuordnung von Zahlen (Realisationen) zu Merkmalen (z. B. x 1=0, wenn Haarfarbe blond)

Variablen-Definitionen • Extensionale Definition: • Zählt alle Realisationen der Variable • Kann jede beliebige Zahl sein • z. B. Liste der Studenten im ersten Semester • Intensionale Definition • Gibt Vorschrift an, die Variable eindeutig spezifiziert (Nennung der Grenzen des Wertebereichs) • Sinnvoll, wenn Merkmal zu viele Ausprägungen hat • z. B. Größen (alle reellen Zahlen)

Arten von Variablen Diskrete Variablen • Endlich und feste Variablen -> begrenzte Anzahl von Werten v. Dichotom: 2 mögliche, diskrete Werte v. Polytom: Mehr als 2 diskrete Werte Stetige Variablen • Kann unendlich viele beliebige Werte annehmen (reelle Zahlen) • Z. B. Körpergröße

Die Skala „…ein Messinstrument, mit dem man empirischen Gegenständen Zahlenwerte zuordnet, die der Stärke bestimmter Eigenschaften dieser Gegenstände entsprechen. “ Definition „Skala“ nach DORSCH, Lexikon der Psychologie

Skalen • 5 verschiedene Skalenniveaus Qualitativ: Nominalskala & Ordinalskala Quantitativ: Intervall-, Verhältnis- & Absolutskala • Direkte Vergleichbarkeit nur bei Variablen, die auf selbiger Skala gemessen werden -> Sonst: Skalentransformation

Nominalskala • Unterscheidung von Kategorien • Zahlen arbiträr, nicht interpretierbar • Zulässige Operationen: Äquivalenzrelation • Zulässige Transformationen: in eindeutige Abbildungen • Kennwerte: Modus, Häufigkeiten, Chi² • Beispiel: Geschlecht/ Wohnort etc.

Nominalskala- Grafische Darstellung Säulendiagramm Kreisdiagramm

Ordinalskala • Realisationen können (natürlich) geordnet werden ->Objekte können gemäß der Skalenwerte in eine Rangreihe gebracht werden • Numerische Abstände nicht interpretierbar/ quantifizierbar

• Operationen: Äquivalenzrelation, Ordnungsrelation • Transformationen: streng monotone Transformationen, die Ordnung der Rangreihe erhalten -> Transitivität darf nicht verletzt werden! • Kennwerte: Modalwert, Median, Extrema, Quantile, Quantilsrang -> Fragestellung: Wie viele waren besser? Beispiel: Schulnoten, Tabellenplätze bei Sportveranstaltungen

Ordinalskala-Grafische Darstellung • Empirische Häufigkeitsverteilung • Empirische Verteilungsfunktion

Intervallskala • Differenzen von Werten vergleichbar, nicht Werte selbst • Einheit wird definiert, kein natürlicher Nullpunkt • Operationen: Äquivalenzrelation, Vergleichsrelation • Transformationen: alle linearen Transformationen (Grundrechenarten) -> Differenzverhältnisse müssen erhalten bleiben! • Kennwerte: Mittelwerte, Streuungsmaße: Spannweite& Interquartilsabstand, Mittlere Abweichung zum Median, Abweichungsquadratsumme, Varianz, Standardabweichung • Beispiel: Temperatur in Celsius

Intervallskala-Grafische Darstellung Fehlerbalkendiagramm Box-Whisker-Plot x. 25 = 1. Quartil x. 75 = 3. Quartil X_quer = Mittelwert dq = Interquartilsabstand

Skalentransformation- ZStandardisierung • Umwandlung von einer Skala in eine Andere • Ziel: Merkmalsverteilungen mit unterschiedlichen Mittelwerten und Streuungen vergleichbar machen • Beurteilung der Werte bezüglich ihrer relativen Lage in der Verteilung

Skalentransformation • Schritt 1: z-Standardisierung jedes Datenpunktes • Z = transformierter Stichprobenwert, auch z-Wert • X = Stichprobenwert • μ = Mittelwert • σ = Standardabweichung • Schritt 2: (lineare) Transformation jedes Datenpunktes in die neue Skala

Z-Standardisierung Eigenschaften • Für normalverteilte z-Werte gilt: µ = 0 σ= 1 (Bzw. Festlegung eines neuen Mittelwerten & Standardabweichung) • Der Wert z gibt an, wie viele Standardabweichungen und in welche Richtung ein Messwert xi vom Mittelwert entfernt ist • Durch die z-Transformation wird die Form der Verteilung nicht beeinflusst!

Beispiele: Hamburg-Wechsler IQ-Test (MW=100, s=15), IQ-Skala laut IST (MW=100, s=10), Stanine-Skala (MW=5, s=2)

Korrelationen 1. Kovarianz 2. Korrelation 3. Punktbiseriale Korrelation 4. Bisereale Korrelation 5. Tetrachorische Korrelation 6. Rangkorrelation nach Spearman (Ordinaldaten) 7. Phi-Koeffizient (bivariante Nominaldaten) 8. Chi 2 Koeffizient -> Cramers V (Vergleich Kontingenztabelle mit Indifferenztabelle

Kovarianz • Bivariate Intervalldaten • Positiver oder negativer Zusammenhang zwischen 2 Datenreihen • Positiv wenn gleichsinniger Zusammenhang/ negativ wenn gegensinnig • Erfüllt nicht Forderung der Invarianz • Äquivarianz keine gute Eigenschaft

Produkt-Moment-Korrelation (Pearson) • X & Y z-standardisieren -> befreit von Äquivarianz • Korrelationskoeffizient Eigenschaften: • Ab Intervallskala • Zwischen -1 & 1 • r= 0 -> kein Zusammenhang • neg. r = gegensinniger Zusammenhang / pos. R = gleichsinnig • Ausreißer abhängig • Lineare Transformationen keine Auswirkung

Faustregeln Cohen 1988 • Vorsicht bei Interpretation -> hohe Korrelation nur wegen Ausreißer? -> Scatterplot betrachten • In experimentellen Studien erst r=. 75 hoch • Zufallskorrelation wegen zu kleiner Stichproben

Voraussetzung für Kausalität KORRELATION IST NICHT GLEICH KAUSALITÄT • Korrelation ungleich Null • Ursache vor Wirkung • Andere Erklärung für Kovariation ausgeschlossen • Raum-zeitlich indifferent

Grafische Beschreibung • Scatterplot: ØZusammenhang von Messwertpaar in Punktwolke abgebildet ØEinfach interpretierbar

Punktbiseriale Korrelation • X = dichotom & nominalskaliert / Y = intervallskaliert • wie 2 intervallskalierte Variablen betrachten • Dichotomisieren von Variablen gibt nicht wahren Zusammenhang an X‘ X Y • Selben Eigenschaften wie PMK

Biseriale Korrelation • Korrektur der kriteriumsabhängigen Veränderung (dichotomisieren) • Selben Eigenschaften wie PMK • Normalverteilungsannahme der stetigen Variable • rpbis vorzuziehen, da keine Normalverteilungsannahme

Tetrachorische Korrelation • 2 künstlich dichotomisierte Variablen • 2 x 2 Kontingenztabelle • Überschätzt Korrelation wenn Randverteilung stark asymmetrisch oder n xy < 5 • Selten in Praxis genutzt

Rangkorrelation nach Spearman • Bivariante Ordinaldaten • Abstände nicht interpretierbar -> Rangordnung nutzen • Rangbildung • Ties bilden bei mehreren gleichen Werten von X • PMK der Ränge berechnen

Spearman‘s rs • Wertebereich: -1 bis 1 (Vorzeichen = Richtung des Zusammenhangs) • Robust bezüglich Ausreißern • Invariant bei streng monotonen Transformationen

Phi-Koeffizient • Bivariante Nominaldaten • Unabhängigkeit in Kontingenztabellen ØVariable X sagt nichts über Y aus ØRandhäufigkeiten bleiben gleich • Abhängigkeit in Kontingenztabellen ØVariable X sagt etwas über Y aus ØVerbundhäufigkeiten betrachten

Phi-Koeffizient 1. Weg: 1) Variablen numerisch beschreiben 2) Datentabellen erstellen 3) PMK berechnen 2. Weg: 1) Phi-Koeffizient-Formel anhand 2 x 2 Kontingenztabelle

Phi-Koeffizient • Gleiches Maß wie r • Positives Phi: Kombination auf Hauptdiagonale hoch • Negatives Phi: Kombination auf Nebendiagonale hoch • Selbe Eigenschaften wie PMK • Nur interpretierbar in Bezug auf Kontingenztabelle

Phi Koeffizient • Nur interpretierbar in Bezug auf Kontingenztabelle & Vorzeichen • Wegen schiefen Randhäufigkeiten Phi = -1 & +1 nicht erreichbar • Phi Max + & - berechnen • Hauptdiagonale / Nebendiagonale auf 0 setzen • Phi an maximal mögliche Korrelation normieren = Phi norm

Phi Koeffizient • Interpretation: ØPhi & Phinorm sehr unterschiedlich -> Phi max sehr klein Ø 2 Gruppen in Daten ØFür Mehrheit stimmt schwacher Zusammenhang

Chi² Koeffizient • Beobachtete Kontingenztabelle mit erwarteter (fiktiver) vergleichen • Indifferenztabelle berechnen = Verbundhäufigkeiten unter Unabhängigkeit

Chi² Koeffizient • Chi² = 0 bei perfekter Unabhängigkeit • beliebig große Werte • Normieren um zu interpretieren

Cramers V • Als Korrelationskoeffizient interpretierbar • V = 0 bei perfekter Unabhängigkeit • Zwischen 0 & 1 • Sagt ob Zusammenhang da, aber nicht wo

Quellen • https: //www. emathzone. com/tutorials/basic-statistics/scatter-diagram. html (Scatterplot Bild, 23. 10. 2019) • https: //www. methodenberatung. uzh. ch/de/skalenniveau. html#1. 2. _Ordinalskala (Beispielbilder zu Nominalskala und Ordinalskala, 29. 10. 2019) • http: //www. fsrpsychologie. uni-jena. de/fsr_psychologiemedia/-p-154. pdf%3 Frewrite_engine%3 Did (Bild zur Normalverteilung, 29. 10. 2019) • Iversity: https: //iversity. org/de/my/courses/primer-deskriptive-statistik/lesson_units; Kapitel 2 -6; 28. 10. 2019 • Markus Wirtz, Christof Nachtigall: Deskriptive Statistik-Statistische Methoden für Psychologen Teil 1, 4. überarbeitete Auflage 2006, Juventa Verlag Weinheim und München, Kapitel 2: S. 43 -55; S. 88 -93 • https: //www. mathe-lexikon. at/statistik/einfuhrung/grafische-darstellung/kreisdiagramm. html (Bild Kreisdiagramm, 03. 11. 2019) • https: //www. mathe-lexikon. at/statistik/einfuhrung/grafische-darstellung/saulendiagramm. html (Bild Säulendiagramm, 03. 11. 2019)