Multiple Korrelation Gliederung Partialkorrelation Semipartialkorrelation Multiple Korrelation Inkrementelle

Multiple Korrelation Gliederung • Partialkorrelation • Semipartialkorrelation • Multiple Korrelation • Inkrementelle Validität • Beispiele für multiple Korrelationen • Multiple Korrelation in SPSS 01_multiple_korrelation 1

Ziel der Multiplen Korrelation Ziele der Multiplen Korrelation • Die Multiple Korrelation befasst sich mit dem Zusammenhang mehrere Variablen untereinander. • Es wird die Frage beantwortet, wie viel Varianz ein Kriterium mit mehreren Prädiktoren gemeinsam hat. • Die MK stellt damit eine Vorstufe der Multiplen Regression dar. Beispiel • Wie eng ist der Zusammenhang der Lebenszufriedenheit mit körperlicher Gesundheit, Einkommen, und Optimismus? 01_multiple_korrelation 2

Aufgeklärte Varianz Der Anteil aufgeklärter Varianz wird oft durch Venn-Diagramme veranschaulicht: Varianz von X Varianz von Y r² Gemeinsame Varianz 01_multiple_korrelation 3 1 -r²

Aufgeklärte Varianz • Die MK gibt an, wie viel Varianz des Kriteriums durch die Prädiktoren aufgeklärt wird. • Bei einem bivariaten Zusammenhang wird der Anteil der aufgeklärten Varianz durch den Determinationskoeffizienten angegeben: r² • Die Varianz des Kriteriums setzt sich additiv aus erklärbarer Varianz und nicht erklärter Varianz zusammen: Aufgeklärte Varianz 01_multiple_korrelation 4 nicht-erklärbare Varianz

Partialkorrelation Problem: • psychologische Merkmale hängen in aller Regel von vielen Faktoren (Variablen) ab. • Die Korrelation zweier Variablen wird meist von (mehreren) dritten Variablen beeinflusst / vermittelt. Beispiel: x: Anzahl von Badeunfällen im Freibad y: Menge des konsumierten Speises Lösung: Konstanthalten/Eliminieren bekannter Drittvariablen durch die Partialkorrelation (rxy. z) 01_multiple_korrelation 5

Partialkorrelation Die Partialkorrelation im Venn-Diagramm: x x. z y y. z z Die quadrierte Partialkorrelation r²xy. z ist der Anteil der Varianz von x, den die Variable y erklärt, wenn z aus beiden Variablen herauspartialisiert wird. 01_multiple_korrelation 6

Partialkorrelation Definition - Die Partialkorrelation rxy. z beschreibt den linearen Zusammenhang von zwei Variablen, … - … aus dem der Einfluss einer dritten Variable eliminiert wurde. „Korrelation der Variablen x und y, nachdem eine Variable z aus x und y herauspartialisiert wurde“ 01_multiple_korrelation 7

Partialkorrelation (Theoretisches) Vorgehen: - Die Variablen x und y werden durch eine Regression auf z residualisiert. - Anschließend werden die Residuen miteinander korreliert. 01_multiple_korrelation 8

Partialkorrelation Beispiel: Gewichtabnahme durch Sport - Fragestellung: Wie stark hängt das Körpergewicht von sportlicher Betätigung ab? - Gemessen werden: - Gewichtsabnahme (y) Trainingsdauer (x 1) Kalorienaufnahme (x 2) - Dabei ergeben sich folgende Korrelationen y y x 1 1. 0 . 43 -. 51 x 1 1. 0 x 2 01_multiple_korrelation x 2. 41 1. 0 9

Partialkorrelation y x 1 x 2 • Fragestellung: Wie stark hängt der y 1. 0. 43 -. 51 Gewichtsverlust vom Training ab? r(y, x 1) =. 43 x 1 1. 0. 41 • Aber: Der Gewichtsverlust hängt auch x 2 1. 0 mit der Kalorienaufnahme zusammen. Wie hoch wäre die Korrelation zwischen Training und Gewichtsverlust, wenn alle Probanden gleich viele Kalorien zu sich genommen hätten? • Berechnung der Partialkorrelation: 01_multiple_korrelation 10

Semipartialkorrelation Die Semipartialkorrelation rx(y. z) • Die Semipartialkorrelation ist die Korrelation der Variablen x mit y, nachdem z nur aus y „herauspartialisiert“ wurde. • Mit der Semipartialkorelation kann berechnet werden, wie viel Varianz von y durch x zusätzlich zu z aufgeklärt werden kann. • Beispiel: – „Wie viel Varianz des Gewichtsverlusts (y) erklärt das Training (x) zusätzlich zur Kalorienaufnahme (y)? “ 01_multiple_korrelation 11

Semipartialkorrelation Die Semipartialkorrelation im Venn-Diagramm: x x y y. z z Die quadrierte Semipartialkorrelation r²x(y. z) ist der Anteil der Varianz von x, den die Variable y zusätzlich zu z erklärt. 01_multiple_korrelation 12

Semipartialkorrelation • Fragestellung: Wie viel Varianz des Gewichtsverlusts erklärt das Training zusätzlich zur Kalorienaufnahme? y y x 1 x 2 • Berechnung der Semipartialkorrelation: 01_multiple_korrelation 13 1. 0 x 1 x 2 . 43 -. 51 1. 0 . 41 1. 0

Zusammenfassung • Partialkorrelation rxy. z – Herauspartialisieren eines dritten Merkmals aus beiden Variablen x. z y. z • Semipartialkorrelation rx(y. z) – Herauspartialisieren eines dritten Merkmals aus nur einer Variable 01_multiple_korrelation 14 x y. z

Multiple Korrelation Die Multiple Korrelation • Der Multiple Korrelationskoeffizient (R) erfasst den Zusammenhang zwischen mehreren Prädiktorvariablen und einem Kriterium. • Dies entspricht der Korrelation zwischen einem durch mehrere Prädiktoren vorhergesagtem Kriterium ( Multiple Regression) und dem tatsächlichem Kriteriumswert. • Beispiel: – Wie stark hängt der Gewichtsverlust vom Training und der Kalorienaufnahme gemeinsam ab? – Wie viel Varianz des Gewichtsverlustes können durch beide Variablen gemeinsam aufgeklärt werden? • R vereinigter Zusammenhang aller Prädiktoren mit Kriterium • R² Anteil der durch alle Prädiktoren aufgeklärten Varianz = Maß für die Effektstärke bei der multiplen Regression 01_multiple_korrelation 15

Multiple Korrelation x 1 x 2 – Wie stark hängt der Gewichtsverlust vom Training y 1. 0. 43 und der Kalorienaufnahme gemeinsam ab? x 1 1. 0 – Wie viel Varianz des Gewichtsverlustes können durch beide Variablen gemeinsam aufgeklärt werden? x 2 -. 51 • Fragestellung: y • Berechnung der Multiplen Korrelation (für zwei Prädiktoren): 01_multiple_korrelation 16 . 41 1. 0

Multiple Korrelation ryx (bivariate Korrelation) x Ry. xz (multiple Korrelation) x y y z z 01_multiple_korrelation 17

Multiple Korrelation x = y z 01_multiple_korrelation y z 18 x x + y y z

Multiple Korrelation x = y z x x + y z x … y z 01_multiple_korrelation … z x y z 19 y y

Inkrementelle Validität • Eine Variable besitzt inkrementelle Validität, wenn ihre Aufnahme als zusätzlicher Prädiktor den Anteil der aufgeklärten Varianz (R²) am Kriterium erhöht. • D. h. eine Variable mit inkrementeller Validität verbessert die Vorhersage des Kriteriums. x y z 01_multiple_korrelation 20

Inkrementelle Validität Beispiel • Aufgeklärte Varianz: – x 1 klärt 36% der Varianz von y auf – x 2 klärt 20% der Varianz von y auf y x 1 x 2 1. 0 . 60 . 45 1. 0 . 30 • Frage: besitzt x 2 inkrementelle Validität? Berechnung der Varianz, die durch x 1 und x 2 gemeinsam aufgeklärt wird: 1. 0 • Fazit: Weil R²y. x 1 x 2 > r²yx 1 klärt x 2 also auch einen Varianzanteil auf x 2 besitzt inkrementelle Validität! 01_multiple_korrelation 21

Beispiele für multiple Korrelationen Einige Spezialfälle der Multiplen Korrelation a. Nullkorrelation b. Ein Prädiktor korreliert c. Inkrementelle Validität d. Keine inkrementelle Validität e. Suppressor-Effekt 01_multiple_korrelation 22

Beispiele für multiple Korrelationen Beispiel a: Nullkorrelation y y x 1 x 2 1. 0 . 00 1. 0 . 60 x 1 x 2 • Wenn keiner der Prädiktoren mit dem Kriterium korreliert, ist die multiple Korrelation immer R² = 0. 01_multiple_korrelation 23 1. 0 x 1 x 2 y

Beispiele für multiple Korrelationen Beispiel b: Ein Prädiktor korreliert y y x 1 x 2 1. 0 . 60 . 00 1. 0 . 00 x 1 x 2 • Wenn nur ein Prädiktoren mit dem Kriterium korreliert, ist die gemeinsame Vorhersage ist genauso gut, wie die Vorhersage durch x 1 alleine. (Ausnahme: siehe Suppressor-Effekt) • x 2 besitzt keine inkrementelle Validität. 01_multiple_korrelation 24 1. 0 x 1 y x 2

Beispiele für multiple Korrelationen Beispiel c: Inkrementelle Validität y x 1 x 2 1. 0 . 60 . 45 1. 0 . 30 x 2 1. 0 x 1 • Beide Prädiktoren besitzen inkrementelle Validität! 01_multiple_korrelation 25 y x 2

Beispiele für multiple Korrelationen Beispiel d: Keine Inkrementelle Validität y x 1 x 2 • Weil R²y. x 1 x 2 = r²yx 1 besitzt x 2 keine inkrementelle Validität! 01_multiple_korrelation 26 y x 1 x 2 1. 0 . 60 . 45 1. 0 . 80 1. 0

Beispiele für multiple Korrelationen Beispiel e: Suppressor-Effekt y y x 1 x 2 1. 0 . 55 . 00 1. 0 . 55 x 1 x 2 • Obwohl y und x 2 nicht korrelieren, ist R²y. x 1 x 2 > r²yx 1. • x 2 besitzt demnach inkrementelle Validität! • Diese liegt daran, dass der Anteil von x 1, der nichts mit x 2 gemeinsam hat, y besonders gut vorhersagen kann. 01_multiple_korrelation 27 1. 0 y x 1 x 2

Beispiele für multiple Korrelationen Ein Suppressor Effekt liegt also vor, wenn • … ein Prädiktor nicht mit dem Kriterium korreliert • … aber trotzdem die Varianzaufklärung verbessert. • Dies ist der Fall, wenn der Prädiktor mit anderen Prädiktoren deutlich korreliert. 01_multiple_korrelation 28

Die Multiple Korrelation in SPSS - Menubefehl • In SPSS wird die Multiple Korrelation als Teil der (Multiplen) Regression berechnet. 01_multiple_korrelation 29

Die Multiple Korrelation in SPSS - Syntax regression /dependent gv /method enter training kalorien. 01_multiple_korrelation 30

Die Multiple Korrelation in SPSS - Ausgabe Modellzusammenfassung Korrigiertes Standardfehler Modell R R-Quadrat des Schätzers 1 , 546 a , 298 , 273 3, 03409 a. Einflußvariablen : (Konstante), kalorien, training • Die komplette SPSS-Ausgabe wird detailliert im nächsten Kapitel (Multiple Regression) besprochen. 01_multiple_korrelation 31

Zusammenfassung • Partialkorrelation Herauspartialisieren eines zusätzlichen Prädiktors aus allen anderen Variablen. • Semipartialkorrelation Herauspartialisieren eines zusätzlichen Prädiktors aus einem anderen Prädiktor • Multiple Korrelation Varianzaufklärung mit mehreren Prädiktoren – Inkrementelle Validität: durch einen Prädiktor zusätzlich erklärte Varianz – Suppressor-Effekt: Ein Prädiktor verbessert die multiple Korrelation ohne dass er mit dem Kriterium korreliert. 01_multiple_korrelation 32