Simulazione dei fenomeni di trasporto Strato limite In

Simulazione dei fenomeni di trasporto Strato limite In prossimità delle superfici solide si utilizza la teoria dello strato limite Vedi anche: http: //www. ingegneriameccanica. net/Tematiche/2 FMteorica. B/2 F Mteorica. B_stratolimite/2 FMteorica. B_stratolimite. htm 1

Simulazione dei fenomeni di trasporto Strato limite Soluzione approssimata delle equazioni di N-S Ipotesi: - Le variazioni di velocità avvengono in uno spessore molto piccolo vicino alla superficie (si può quindi trascurare la curvatura) - Si assume x diretto secondo la direzione del moto e y ortogonale - Moto bidimensionale (componente x e y) 2

Simulazione dei fenomeni di trasporto Strato limite: fluido newtoniano cond. stazionarie T e r costanti Eq. di continuità comp x eq. N-S comp y eq. N-S Alcuni termini di queste equazioni vengono trascurati in base a un ragionamento sugli ordini di grandezza. Si usano come riferimento: Si assume Velocità di avvicinamento Dimensione caratteristica dell’oggetto Spessore dello strato limite 3

Simulazione dei fenomeni di trasporto Strato limite: ordini di grandezza Si valutano gli ordini di grandezza e dalla eq. di continuità integrando possiamo valutare gli ordini di grandezza di vx e vy 4

Simulazione dei fenomeni di trasporto Strato limite: ordini di grandezza Gli ordini di grandezza dei termini della eq. di bilancio di qdm componente x sono 5

Simulazione dei fenomeni di trasporto Strato limite: ordini di grandezza Quindi l’equazione di bilancio di qdm componente x si può scrivere così L’odg dei termini a destra deve essere uguale a quello dei termini a sinistra Operando algebricamente si ha Per valori elevati di Re L’ipotesi quindi è verificata per Re elevati 6

Simulazione dei fenomeni di trasporto Strato limite: ordini di grandezza Analogamente si dimostra per la componente y Per esempio: Invece: 7

Simulazione dei fenomeni di trasporto Strato limite: ordini di grandezza Quindi Le eq. semplificate sono quindi Si dimostra inoltre che Per cui possiamo scrivere solo la componente x del moto Eq. di Prandtl dello strato limite 8

Simulazione dei fenomeni di trasporto Strato limite: Equazioni di Prandtl Eq. di Prandtl dello strato limite La pressione ridotta • si assume nota dalla soluzione a potenziale BC: Principio di aderenza (no-slip) Impenetrabilità della superficie dalla massa Ipotesi che al di fuori dello sl v=v∞ La pressione ridotta • si trascura in quanto la sua variazione è in genere piccola 9

Simulazione dei fenomeni di trasporto Strato limite: Equazioni risolutive Dalla eq. di continuità Eq. differenziale alle derivate parziali nella sola variabile vx 10

Simulazione dei fenomeni di trasporto Strato limite: soluzioni Può essere risolta per avere soluzioni numeriche esatte (vedi esempio 4. 4 -2 Bird) Oppure sono possibili soluzioni approssimate Eq. di N-S Semplificazioni in base alla teoria dello sl Eq. di Prandtl dello strato limite Soluzione esatta Soluzioni approssimate 11

Simulazione dei fenomeni di trasporto Strato limite: soluzione approssimata per lastra piana assumendo BC: Principio di aderenza (no-slip) Ipotesi che al di fuori dello sl v=v∞ Soluzione approssimata Si fa l’ipotesi di profili simili 12

Simulazione dei fenomeni di trasporto Strato limite: soluzione approssimata lastra piana Si calcolano le derivate Sostituendo le espressioni trovate e integrando per h da 0 a 1 si ottiene 13

Simulazione dei fenomeni di trasporto Strato limite: soluzione approssimata lastra piana Integrando da x=0 a x (N. B. d=0 per x=0) Lo spessore dello strato limite cresce con 14

Simulazione dei fenomeni di trasporto Strato limite: soluzione approssimata lastra piana Si ipotizza un profilo di velocità La soluzione deve rispettare le seguenti condizioni meno stringente Esempio Profilo che rispetta le condizioni fissate 15

Simulazione dei fenomeni di trasporto Strato limite: soluzione approssimata lastra piana Sostituendo in si ottiene e quindi 16

Simulazione dei fenomeni di trasporto Strato limite: soluzione approssimata lastra piana Noto il profilo di velocità si può calcolare la forza esercitata sulla piastra si ottiene dalla soluzione esatta della si ottiene 17

Simulazione dei fenomeni di trasporto Strato limite: fattore d’attrito lastra piana Su una faccia si avrebbe Si può ricavare il fattore d’attrito per lastra piana Fattore d’attrito per lastra piana 18

Simulazione dei fenomeni di trasporto Strato limite: turbolento Al crescere di x e quindi dello spessore dello strato limite porta a situazioni instabili e all’instaurarsi di un moto turbolento all’interno dello strato limite. Nel caso di lastra piana la transizione avviene per Per x inferiori lo sl è laminare per x superiori è turbolento Per lo sl turbolento valgono altre relazioni rispetto a quelle ricavate per lo sl laminare zona di transizione Sl turbolento Sl laminare v∞ x 19

Simulazione dei fenomeni di trasporto Strato limite: separazione Per superfici curve lo sl non tiene conto di un fenomeno che si chiama separazione dello sl è quindi vale solo per x inferiori a quelle di distacco Scrivendo l’equazione in corrispondenza della superficie vx= vy= 0 e trascurando il termine gravitazionale (in genere la differenza di quota è piccola) B. C. Può essere 20

Simulazione dei fenomeni di trasporto Strato limite: separazione all’interno dello strato limite (Figura 2). 21