Si consideri un punto materiale posto ad un

• Si consideri un punto materiale – – • • posto ad un altezza h dal suolo, posto su un piano inclinato liscio di altezza h, attaccato ad un filo di lunghezza h il cui altro estremo è attaccato ad un soffitto che dista h dal suolo: quando il filo si trova in posizione verticale, il corpo sfiora il pavimento, posto su una guida liscia di forma qualsiasi di altezza h In tutti e quattro i casi, inizialmente il corpo si trova ad altezza h, e viene abbandonato con velocità nulla da questa posizione Determinare la velocità con cui il corpo raggiunge il pavimento. Appli cazio ne h G. M. - Edile A 2002/03

• Nel primo caso – Agisce solo la forza peso (che è conservativa) – Posso applicare la conservazione dell’energia h Appli cazio ne Abbiamo scelto il pavimento come punto di riferimento ed assegnato al pavimento energia potenziale nulla L’energia potenziale iniziale viene trasformata in energia cinetica G. M. - Edile A 2002/03

• Nel secondo caso agiscono – – • • Appli cazio ne Sia la forza peso, che è conservativa, E la reazione vincolare del piano inclinato, Solo la componente normale, perché per ipotesi il piano è liscio Possiamo applicare la relazione lavoro energia: N h La normale è perpendicolare allo spostamento: quindi il suo lavoro è nullo P Si ritorna la caso precedente La velocità finale è la stessa del caso precedente G. M. - Edile A 2002/03

• – – • Appli cazio ne Nel terzo caso agiscono Sia la forza peso, che è conservativa, E la tensione nella corda. Possiamo applicare la relazione lavoro energia: h T P Il lavoro infinitesimo fatto dalla tensione T è nullo, ma anche il lavoro complessivo Si ritorna la caso precedente La velocità finale è la stessa del caso precedente G. M. - Edile A 2002/03

• Nell’ultimo caso agiscono – – • • Appli cazio ne Sia la forza peso, che è conservativa, E la reazione vincolare della guida, Solo la componente normale, perché per ipotesi la guida è liscia Possiamo applicare la relazione lavoro energia: N h P Il lavoro infinitesimo fatto dalla Normale N è nullo, ma anche il lavoro complessivo Si ritorna la caso precedente Conclusione: la velocità finale è sempre la stessa in tutti e quattro i casi esaminati. G. M. - Edile A 2002/03

• Una sfera di raggio r =1 m è poggiata su un piano orizzontale e mantenuta fissa. Un cubetto di piccole dimensioni è posto in equilibrio instabile sulla sommità della sfera. Il cubetto, spostato di pochissimo dalla posizione di equilibrio, comincia a scivolare sulla sfera con velocità iniziale nulla. Calcolare a che distanza cadrà sul piano orizzontale dal punto di appoggio della sfera. Appli cazio ne N h q v P Questo termine aumenta (in valore assoluto) all’aumentare di q Questo termine diminuisce all’aumentare di q Per un certo valore di q, N si annullerà: in quel momento avverrà il distacco tra il cubetto e la sfera. Troviamo l’espressione della velocità in funzione di q, e imponiamo che N sia nulla. G. M. - Edile A 2002/03

Poniamo l’energia potenziale uguale a zero quando il cubetto si trova alla sommità della sfera. Appli cazio ne y h q N v P La normale N si annullerà quando x Il distacco avverrà nel punto: G. M. - Edile A 2002/03

Appli cazio ne La velocità al momento del distacco Le cui componenti x e y valgono y h q N v P Il moto dopo il distacco avverrà sotto la sola azione della forza peso (moto del proiettile) x Facendo ripartire il cronometro nel momento del distacco. L’istante in cui il cubetto impatta al suolo si ottiene imponendo y=0. G. M. - Edile A 2002/03

• Un blocchetto di massa m può scorrere lungo una pista, priva di attrito, a spirale mostrata in figura. Da quale altezza sopra il punto più basso si dovrebbe lasciar cadere il blocchetto (con velocità iniziale nulla), per far si che riesca a fare un il giro completo del “ricciolo”? Quanto vale la forza complessiva agente sul blocchetto quando passa per il punto Q della figura? Affinché ci sia il contatto occorre che N sia sempre maggiore di zero Il punto più delicato è la sommità del ricciolo in quanto in quella posizione • v è minima • Mentre il secondo termine diventa in modulo uguale a mg Occorre quindi imporre che N sia al massimo nulla al vertice del ricciolo: imporre cioè che, in quella posizione, la forza centripeta sia fornita dalla sola forza peso Appli cazio ne q N P G. M. - Edile A 2002/03

• Appli cazio ne La velocità alla sommità del ricciolo deve quindi essere almeno: Imponendo la relazione lavoro-energia tra il punto di partenza, ad altezza h e la sommità del ricciolo, si ottiene Tenendo conto del limite minimo su v, si ottiene: N P La velocità in Q: G. M. - Edile A 2002/03

• Due bambini stanno facendo una gara a chi riesce a centrare una scatoletta sul pavimento con una biglia sparata da una pistola a molla, montata su un tavolo orizzontale. Come si vede dalla figura, il bersaglio è piazzato a 2. 20 m in orizzontale dal bordo del tavolo. Orazio comprime la molla di 1. 10 cm, ma il suo tiro risulta corto di 27 cm. Di quanto deve comprimerla Giustina per fare centro? Ignorate gli attriti. Appli cazio ne La biglia una volta rilasciata dalla molla ed abbandonato il tavolo si muove sotto l’azione della sola forza peso (moto del proiettile). Se si comincia a contare il tempo nel momento in cui la biglia abbandona il tavolo, le condizioni iniziali sono xo=0, yo=h vxo=? vyo=0 vxo è la velocità con cui la biglia abbandona la molla La legge oraria sarà: Indichiamo con Dt l’intervallo di tempo impiegato per cadere. Il percorso orizzontale effettuato sarà: G. M. - Edile A 2002/03

• Dato che il primo lancio è corto, occorre aumentare la velocità vxo affinchè la biglia colpisca il bersaglio: • Dividendo membro a membro si ottiene: La velocità vxo 1 è la velocità acquistata dalla biglia er una compressione di 1, 1 cm della molla. Quale deve essere la compressione della molla per ottenere la velocità vxo 2 che ci consentirà di colpire il bersaglio? Determiniamo la relazione tra compressione e velocità orizzontale della biglia. Durante l’espansione della molla, la biglia è sottoposta alla forza elastica, alla forza peso e alla Normale. Le ultime due forze compiono lavoro nullo, la forza elastica è conservativa. Appli cazio ne Si conserva l’energia meccanca totale G. M. - Edile A 2002/03

• Tarzan, che pesa 688 N, salta da una roccia appeso ad una provvidenziale liana lunga 18 m (vedi figura). Dall’alto della roccia al punto più basso della sua oscillazione cala di 3. 2 m. La liana è soggetta a rompersi se la tensione supera 950 N. Determinare se la fune si romperà Se sì, determinare l’angolo rispetto alla verticale a cui avviene la rottura Se no, determinare il suo valore massimo. Appli cazio ne G. M. - Edile A 2002/03

• Un blocco di legno da 0. 520 kg è saldamente attaccato ad una leggerissima molla orizzontale (k=180 N/m), ed è appoggiato su un tavolo orizzontale come mostrato in figura. Il blocco viene spostato in maniera da comprimere la molla di 5. 0 cm e quindi rilasciato con velocità nulla. Si osserva che il blocco supera la posizione di equilibrio di 2. 3 cm prima di fermarsi per poi tornare indietro. Determinare il coefficiente di attrito tra il tavolo ed il blocco di legno. Appli cazio ne G. M. - Edile A 2002/03

• Un blocco di legno da 0. 520 kg è saldamente attaccato ad una leggerissima molla orizzontale (k=180 N/m), ed è appoggiato su un tavolo orizzontale come mostrato in figura. Il blocco viene spostato in maniera da comprimere la molla di 5. 0 cm e quindi rilasciato con velocità nulla. Si osserva che il blocco supera la posizione di equilibrio di 2. 3 cm prima di fermarsi per poi tornare indietro. Determinare il coefficiente di attrito tra il tavolo ed il blocco di legno. Appli cazio ne G. M. - Edile A 2002/03

• Le due masse mostrate in figura inizialmente sono poste ciascuna a 1. 80 m dal suolo e la carrucola, priva di massa e di attrito, è a 4. 80 m dal suolo. Qual è l’altezza massima raggiunta dal corpo più leggero una volta che il sistema viene lasciato libero di muoversi? Appli cazio ne 4, 80 m 2, 2 kg 3, 2 kg 1, 80 m G. M. - Edile A 2002/03

• • • Un pattinatore di massa m = 52 kg sta ruotando su una circonferenza di raggio r=20 m ad una velocità di 3 m/s. Egli si mantiene su questa traiettoria reggendo una fune attaccata mediante un cuscinetto privo di attrito ad un palo posto al centro del cerchio. Calcolare la tensione T esercitata dalla fune. Il ghiaccio su cui egli pattina può essere considerato privo di attrito, ma per una parte del moto attraversa una pozza sabbiosa di lunghezza 48 cm dove il coefficiente di attrito è m = 0. 10. Quanto vale la velocità subito dopo aver attraversato la pozza sabbiosa? Quanto deve valere la tensione nella fune affinché continui a percorrere la stessa traiettoria dopo aver attraversato la pozza sabbiosa? Appli cazio ne G. M. - Edile A 2002/03

• • • Un pattinatore di massa m = 52 kg sta ruotando su una circonferenza di raggio r=20 m ad una velocità di 3 m/s. Egli si mantiene su questa traiettoria reggendo una fune attaccata mediante un cuscinetto privo di attrito ad un palo posto al centro del cerchio. Calcolare la tensione T esercitata dalla fune. Il ghiaccio su cui egli pattina può essere considerato privo di attrito, ma per una parte del moto attraversa una pozza sabbiosa di lunghezza 48 cm dove il coefficiente di attrito è m = 0. 10. Quanto vale la velocità subito dopo aver attraversato la pozza sabbiosa? Quanto deve valere la tensione nella fune affinché continui a percorrere la stessa traiettoria dopo aver attraversato la pozza sabbiosa? Appli cazio ne Le forse agenti G. M. - Edile A 2002/03

• • • Un pattinatore di massa m = 52 kg sta ruotando su una circonferenza di raggio r=20 m ad una velocità di 3 m/s. Egli si mantiene su questa traiettoria reggendo una fune attaccata mediante un cuscinetto privo di attrito ad un palo posto al centro del cerchio. Calcolare la tensione T esercitata dalla fune. Il ghiaccio su cui egli pattina può essere considerato privo di attrito, ma per una parte del moto attraversa una pozza sabbiosa di lunghezza 48 cm dove il coefficiente di attrito è m = 0. 10. Quanto vale la velocità subito dopo aver attraversato la pozza sabbiosa? Quanto deve valere la tensione nella fune affinché continui a percorrere la stessa traiettoria dopo aver attraversato la pozza sabbiosa? Appli cazio ne Possiamo determinare la velocità dopo la pozza sabbiosa applicando il teorema delle forze vive. La forza peso, la normale, la tensione fanno lavoro nullo perché sempre perpendicolari allo spostamento. G. M. - Edile A 2002/03

L’energia meccanica totale Il diagramma dell’energia dell’oscillatore armonico La normale N e la forza peso non fanno lavoro Punti di inversione del moto K<0 N Punto di equilibrio stabile Fel P G. M. - Edile A 2002/03

La determinazione della forza dall’energia potenziale • • Nota l’espressione dell’energia potenziale possiamo determinare la forza (direzione verso ed intensità) Superfici equipotenziali – Sono il luogo dei punti in cui l’energia potenziale assume lo stesso valore • Forza peso: piani orizzontali (h=cost) • Forza elastica: piani perpendicolari all’asse x (x=cost) • Forza di gravitazione universale e forza di Coulomb: superfici sferiche con centro nell’origine della forza. • La forza è perpendicolare alle superfici equipotenziale – Consideriamo un qualsiasi spostamento infinitesimo su una superficie equipotenziale (dr tangente alla superficie). – Poiché la superficie è equipotenziale d. U=0 G. M. - Edile A 2002/03

La determinazione della forza dall’energia potenziale • Per uno spostamento che avviene lungo l’asse x: • Per uno spostamento che avviene lungo l’asse y: • Per uno spostamento che avviene lungo l’asse z: Conoscere l’energia potenziale in tutti i punti dello spazio è equivalente a conoscere la forza in tutti i punti dello spazio. La descrizione attraverso l’energia potenziale è più conveniente perché è necessario conoscre un solo valore per ciascun punto dello spazio anziché tre (le tre componenti della forza) G. M. - Edile A 2002/03

Il diagramma dell’energia Punti di equilibrio instabile Punti di equilibrio stabile equilibrio indifferente G. M. - Edile A 2002/03

Il digramma dell’energia • Se l’energia meccanica totale è nulla il punto materiale può trovarsi solo in x 2 • Se l’energia meccanica ha un valore pari ad 1 J, punto materiale oscillerà all’intorno del punto x 2, oppure sarà fermo nel punto x 4. • Se l’energia meccanica ha un valore di 2 J, potrà oscillare all’intorno del punto x 2, oppure intorno al punto x 4 (tratti marrone nella figura) a seconda della sua posizione iniziale. Non c’è alcuna possibilità che il punto laterale possa superare la barriera di potenziale (il valore dell’energia potenziale in x 3) per passare da una parte all’altra di x 3. • Se l’energia meccanica ha un valore leggermente maggiore di 3 J, potrà muoversi in tutto l’intervallo rappresentato dal segmento rosa. • Se l’energia meccanica ha un valore di 5 J, c’è un solo punto di inversione e il punto materiale potrà allontanarsi fino a più infinito. • Per valori dell’energia meccanica superiori alla linea 6, punto materiale può trovarsi in qualunque posizione tra meno infinito e più infinito. G. M. - Edile A 2002/03

Il teorema dell’impulso • Consideriamo un punto materiale in moto rettilineo sotto l’azione di una forza F costante O x xo F • xo punto di partenza • x punto di arrivo spostamento x Tempo impiegato • L’accelerazione (costante) • Le equazioni del moto G. M. - Edile-Architettura 2004/05

Generalizzazione del teorema dell’impulso • Dalla seconda legge della dinamica • Dove F è la risultante delle forze agenti sulla particella • Per ogni intervallo infinitesimo dt • Sommando su tutti gli intervalli infinitesimi (integrando tra zero r t) • Se la forza F è costante (modulo, direzione e verso) • La forza F media in Dt G. M. - Edile-Architettura 2004/05

Il prodotto vettoriale • Dati i vettori a e b , si definisce prodotto vettoriale il vettore c così individuato: – Il modulo del vettore c è dato da: dove l’angolo f è l’angolo minore di 180° compreso tra i due vettori – La direzione è perpendicolare al piano individuato dai vettori a e b. – Il verso è determinato con la regola della mano destra: • I formulazione: – Si dispone il pollice della mano destra lungo il primo vettore – Si dispone l’indice della mano destra secondo il secondo vettore – Il verso del medio individua il verso del prodotto vettoriale • II formulazione – Si chiude a pugno la mano destra mantenendo sollevato il pollice – Si dispone la mano destra in maniera che le dita chiuse a pugno indichino il verso in cui bisogna far ruotare il primo vettore per sovrapporlo al secondo percorrendo l’angolo f minore di 180° – Il verso del pollice individua il verso del prodotto vettoriale. G. M. - Edile-Architettura 2004/05

Proprietà del prodotto vettoriale • Il prodotto vettoriale non è commutativo: • Infatti: • Interpretazione geometrica del prodotto vettoriale • • Il modulo del prodotto vettoriale è uguale all’area del parallelogramma formato con u due vettori. Vettori paralleli o antiparalleli hanno un prodotto vettoriale nullo G. M. - Edile-Architettura 2004/05

Ulteriori proprietà del prodotto vettoriale • Prodotto vettoriale attraverso le componenti cartesiane: Proprietà distributiva G. M. - Edile-Architettura 2004/05

Il momento di un vettore • Dato un vettore V qualsiasi ed il punto O, che in questa occasione si chiama “polo”, si definisce momento del vettore V rispetto quantità: al polo O la r posizione rispetto ad O del punto di applicazione del vettore V. y q MO=r. Vsenq =V(rsenq) =b. V Il modulo del momento, MO, è uguale al q O b=r senq x È importante l’ordine! Prima r poi V! modulo del vettore V per il braccio del vettore V rispetto al polo O • Il braccio è la distanza della retta di azione del vettore V dal polo O • Spostando il vettore V sulla sua retta di azione il momento resta invariato. G. M. - Edile-Architettura 2004/05

Momento della quantità di moto o momento angolare • y Data la particella di massa m, – la cui posizione è individuata, al tempo t, dal vettore posizione r, – che al tempo t si muove con velocità v – E quindi possiede una quantità di moto p=mv q • Si definisce momento della quantità di moto della particella rispetto al polo O, la grandezza: x O Il modulo vale: Le dimensioni: Le unità di misura: kgm 2 s-1 G. M. - Edile-Architettura 2004/05

Momento della forza – Data la particella di massa m, y • la cui posizione è individuata, al tempo t, dal vettore posizione r, • che al tempo t subisce l’azione della forza F q – Si definisce momento della forza F rispetto al polo O, la grandezza: O x Il modulo vale: Le dimensioni: Le unità di misura: kgm 2 s-2 Da non confondere con il lavoro che ha le stesse dimensioni (il lavoro è uno scalare, il momento della forza un vettore: sono due grandezze completamente diverse) G. M. - Edile-Architettura 2004/05

Relazione tra il momento della quantità di moto ed il momento della forza • Durante il moto di una particella, sia la sua posizione r che la sua velocità cambiano con il tempo, – È lecito aspettarsi che anche il momento della quantità di moto della particella rispetto al polo O vari con il tempo. – Valutiamo a quanto è uguale la sua variazione (calcoliamo la derivata): • Attenzione a non cambiare il posto dei vettori, il prodotto vettoriale non commuta. • Il primo termine è nullo: i due vettori sono paralleli • La variazione del momento della quantità di moto della particella rispetto al polo O è uguale al momento della forza applicata valutato rispetto allo stesso polo! (è una diretta conseguenza della II legge di Newton) G. M. - Edile-Architettura 2004/05

Forze centrali • Si definisce forza centrale una forza agente in una certa regione dello spazio con le seguenti proprietà: – per qualunque posizione del punto materiale P che subisce la forza, – la direzione della forza agente su P passa sempre per un punto fisso dello spazio, detto centro della forza centrale, – e il suo modulo è funzione soltanto della distanza del punto materiale P dal centro stesso. • Esempio di forza centrale: la forza di gravitazione universale. • Anche la forza di Coulomb è centrale • Così come la forza elastica • Le forze centrali sono conservative G. M. - Edile-Architettura 2004/05

Moto di un punto materiale sotto l’azione di una forza centrale • Il momento di una forza centrale valutato rispetto al centro della forza è nullo y – La forza ed il vettore posizione sono paralleli o anti paralleli • Il momento della quantità di moto rispetto al centro della forza deve rimanere costante – in direzione • Il moto è un moto piano O x y – Verso • La traiettoria viene percorsa sempre nello stesso verso: orario o antiorario – Modulo • La velocità areale è costante: il segmento che connette il centro della forza con il punto materiale spazza aree uguali in tempi uguali. O x G. M. - Edile-Architettura 2004/05

La velocità areale • y Consideriamo l’intervallo di tempo Dt – L’area spazzata nell’intervallo Dt è quella evidenziata in figura – Approssimativamente uguale all’area del triangolo di lati r(t), r(t+Dt), Dr. – L’eguaglianza approssimata diventa precisa per Dt che tende a zero. – L’area del triangolo vale: O x La velocità areale: Ma: Pertanto: Il modulo del momento della quantità di moto rispetto al centro della forza vale: e quindi Nel caso di forze centrali, poiché il modulo del momento della quantità di moto è costante, allora la velocità areale è costante G. M. - Edile-Architettura 2004/05

La velocità areale • Se indichiamo con Dq l’angolo formato tra i vettori posizione all’istante t e t+Dt y Dq O q x Il momento angolare: Perielio Più veloce Afelio Più lento G. M. - Edile-Architettura 2004/05

Le leggi di Keplero • Le orbite dei pianeti sono delle ellissi. Il sole occupa uno dei fuochi. • Il segmento che congiunge il pianeta con il sole, spazza aree uguali in tempi uguali: in altre parole la velocità areale (l'area spazzata nell'unità di tempo), è costante. • Il quadrato del tempo di rivoluzione (T 2), è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell'ellisse (a 3). La costante di proporzionalità è la stessa per tutti i pianeti del sistema solare. • • L’ipotesi che la forza di gravitazione universale sia una forza centrale insieme con quella che un sistema di riferimento legato al sole possa essere considerato inerziale giustifica le prime due leggi di Keplero ( in realtà la prima solo parzialmente) • G. M. - Edile-Architettura 2004/05

Verifica della III legge di Keplero • Faremo la verifica supponendo che le orbite dei pianeti siano circolari anziché ellittiche. – L’eccentricità per la terra è 0. 0167 – a è il semiasse maggiore – b quello minore • • • Se la traiettoria è circolare il moto è uniforme (la velocità areale deve essere costante) Il pianeta è soggetto ad un’accelerazione centripeta Quindi la forza di gravitazione universale si comporterà da forza centripeta: G. M. - Edile-Architettura 2004/05

Verifica della III legge di Keplero Ma la velocità è legata al periodo dalla relazione: Che appunto verifica la III legge di Keplero G. M. - Edile-Architettura 2004/05

L’energia potenziale della forza di gravitazione universale - la velocità di fuga • La forza di gravitazione universale è conservativa • La velocità di fuga dalla terra: • Per la fuga dalla terra, E>=0: G. M. - Edile-Architettura 2004/05