Shors Algorithmus Effiziente Faktorisierung 16 Januar 2003 Gregor

Shors Algorithmus Effiziente Faktorisierung 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung

I Motivation l Kryptographie (RSA): • p, q: große Primzahlen, n: • d: relativ prim zu (p-1)(q-1), e aus • Schlüssel: öffentlich (e, n), geheim (d, n) • Verschlüsseln Entschlüsseln 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung 2

l Brechen von RSA: • n faktorisierbar: p, q: geheimer Schlüssel errechenbar • Allerdings exponentielle Laufzeit! l „Killerapplikation“ für Quantenrechner 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung 3

II Der Algorithmus von Shor 1. Klassische Faktorisierung 2. Faktorisierung mit Quantencomputern 3. Shors Faktorisierung 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung 4

1. Klassische Faktorisierung l Mathematische Grundlagen • n groß, soll faktorisiert werden • • Periodisch: (Periode/Ordnung r) 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung 5

2 Teiler: • Besonderheiten: • r gerade! • Teiler können auch 1 und 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung sein 6

l Effizienz • Geeignete a: • hohe Wahrscheinlichkeit • Richtige Periode r: • Zufall: raten oder rechnen (alle Möglichkeiten durchprobieren) • leider exponentiell viele Möglichkeiten! • Worst Case: n ist prim 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung 7

• Bester klassischer Algorithmus (n: L Bits): • Zeitkomplexität: 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung 8

2. Faktorisierung mit Quantenrechnern l Wo? • Bestimmung der Periode l Wie? • Superposition: • alle möglichen Perioden gleichzeitig! rechnen • Fourier-Transformation: • Extraktion von Frequenzen periodischer Funktionen 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung 9

3. Shors Algorithmus l Effizientes Raten von r: • Lade alle nötigen x (Superposition!) • Anwenden von • Fouriertransformation • Frequenzen von • Grundfrequenz • Brauchbares Ergebnis mit hoher Wahrscheinlichkeit Gregor Rößle - Shors 16. Januar 2003 schnelle Faktorisierung 10

Shors Algorithmus l Schritt 1: • Vorbereitung: • Zahl n (m Bits) • 1<a<n beliebig • q beliebig mit Zweierpotenz • Register laden: 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung 11

Shors Algorithmus l Schritt 2: • Funktion berechnen: • Hadamard-Operator auf 4. Register anwenden: • Superposition aller Werte von 0, 1, . . . , q-1 im 4. Register 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung 12

• Berechnung 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung 13

Shors Algorithmus l Schritt 3: • Messung letztes Register • Ergebnis y uninteressant • Wirkung auf vorderes Register: Vielfache von r, um Offset l verschoben • Zustand: 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung 14

Shors Algorithmus l Schritt 4: • Fourier-Transformation QFT • Offset l jetzt in Phase, nicht im Zustand 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung 15

Shors Algorithmus l Schritt 5: • Messung 4. Register: • c aus Messung, q bekannt: 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung 16

Shors Algorithmus l Schritt 6: • Errechnen der Periode r aus • Kettenbruchzerlegung • Bestimmen der Faktoren: 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung 17

Shors Algorithmus l Mögliche Probleme: • r ungerade • Faktoren sind n und 1 • r nicht bestimmbar, Kettenbruchzerlegung endet nicht 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung 18

III Anhang 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung 19

1. Keine Messung l Messung setzt 4. Register auf 0 außer an Werten für x von • periodische Funktion: • Grundfrequenz + Oberschwingungen (in Superposition): • Fouriertransformation extrahiert Frequenzspektrum (in Superposition) l Ohne Messung: • QFT auf 5. Register anwenden Gregor Rößle - Shors 16. Januar 2003 schnelle Faktorisierung 20

2. QFT l Verwandt mit FFT • Effizienz: • Hadamard- und X-Gatter 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung 21

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3. Kettenbruchzerlegung l Messergebnis: liegt mit hoher Wahrscheinlichkeit nahe l Genauer (Shor): 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung 23

l Algorithmus: Terminiert, wenn: Ergebnis: 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung 24

4. Komplexität l Für Shors Algorithmus: • • 300 lg n Elementargatter n: 130 Stellen: 2 Wochen bei 1 MHz n: 260 Stellen: 32 Wochen bei 1 MHz Beckman et al. (1996): • m-Bit Integer: Zeit: Speicher: 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung 25