Das RSAVerfahren Klaus Becker 2010 2 Lehrplan Leistungsfach

Das RSA-Verfahren Klaus Becker 2010

2 Lehrplan - Leistungsfach Ziel ist es, das RSAVerfahren als eines der klassischen asymmetrischen Verschlüsselungsverfahren genauer zu untersuchen, um die Funktionsweise dieses Verfahrens zu verstehen. Die Vorgehensweise folgt einem Vorschlag von Witten und Schulz, der in den folgenden Artikeln beschrieben wird: H. Witten, R. -H. Schulz: RSA & Co. in der Schule, Teil 1. LOG IN 140 S. 45 ff. H. Witten, R. -H. Schulz: RSA & Co. in der Schule, Teil 2. LOG IN 143 S. 50 ff. Lehrplan für das Leistungsfach

3 Teil 1 Experimente mit Cryp. Tool

4 Experimente mit Cryp. Tool Einen ersten Eindruck vom RSA-Verfahren kann man sich mit dem Software -Werkzeug Cryp. Tool verschaffen. Dieses Werkzeug macht die wichtigsten Schritte des RSA-Verfahrens transparent. Experimente mit Cryp. Tool lassen direkt erkennen, dass das RSA-Verfahren auf Berechnungen mit Zahlen beruht. Die Experimente führen aber noch nicht dazu, dass man versteht, warum gerade dieses Verfahren heutzutage benutzt wird. Hierzu sind vertiefende Untersuchungen erforderlich.

5 Experimente mit Cryp. Tool Mit den Menüpunkten [Einzelverfahren][RSAKryptosystem][RSA-Demo. . . ] kommst du in Bereich, in dem das RSAVerfahren durchgespielt werden kann. Gib zunächst zwei verschiedene Primzahlen in die dafür vorgesehenen Felder ein. Mit [Parameter aktualisieren] werden dann die beiden Schlüssel erzeugt.

6 Experimente mit Cryp. Tool Wähle jetzt [Optionen für Alphabet und Zahlensystem. . . ] und lege die vom Programm vorgesehenen Optionen fest. Am besten übernimmst du zunächst die Einstellungen der folgenden Abbildung (beachte das Leerzeichen im Alphabet).

7 Experimente mit Cryp. Tool Jetzt kannst du Texte (mit Zeichen aus dem voreingestellten Alphabet) verschlüsseln und die Verschlüsselung auch wieder entschlüsseln.

8 Aufgabe Probiere die oben beschriebenen Schritte selbst einmal aus. Variiere auch die möglichen Vorgaben (z. B. eingegebene Primzahlen) und Einstellungsmöglichkeiten (z. B. Alphabetoptionen).

9 Teil 2 Modulares Rechnen

10 Vorbemerkung Das RSA-Verfahren basiert auf modularem Rechnen. Um die Details des RSA-Verfahren zu verstehen, muss man modulares Rechnen beherrschen und einige zahlentheoretische Zusammenhänge kennen. Im Unterricht kann man die mathematischen Grundlagen vorab erarbeiten, oder beim Erarbeiten des RSA-Verfahres - je nach Bedarf immer wieder zu den mathematischen Betrachtungen zurückkommen.

11 Uhrenaddition Modulare Addition kennt man aus dem täglichen Leben. Aufgabe: Ergänze die in der Tabelle fehlenden Angaben zur Uhrzeit (Moskauer Zeit). Wie rechnet man mit Uhrzeiten? Wie kann man z. B. direkt aus 17 und 149 zum Ergebnis 22 gelangen?

12 Modulare Gleichheit Verallgemeinerte Uhrzeiten Bei Beginn der Reise in Moskau ist es 17 Uhr. Nach 149 Stunden wird das Ziel Wladiwostok erreicht. Es ist jetzt (17+149) Uhr bzw. 166 Uhr. Das entspricht - auch im fernen Sibirien - 22 Uhr. Man kann diese Uhrzeit leicht rechnerisch ermitteln indem man den Rest bei der Division durch 24 ermittelt: 166 % 24 = 22 Uhrzeiten werden eigentlich nur mit den Zahlen 0, 1, . . . , 23 angegeben. Im Alltag lässt man auch manchmal die Zahl 24 zu. 24 Uhr ist dasselbe wie 0 Uhr. Die 24 ist - bei Uhrzeitangaben - also gleich zu behandeln wie die 0. 31 Uhr und 55 Uhr (als verallgemeinerte Uhrzeiten) würden für dieselben Uhrzeiten stehen, weil der zyklisch sich drehende und immer wieder bei 0 neu beginnende Uhrzeiger dieselbe Stelle anzeigen würde. Rechnerisch zeigt sich das, indem beide Zahlen 31 und 55 denselben Rest bei der Division durch 24 hinterlassen. Def. : Vorgegeben sei eine natürliche Zahl n. Zwei natürliche Zahlen a und b heißen gleich modulo n bzw. kongruent modulo n genau dann, wenn sie beide den gleichen Rest bei der Division durch n erzeugen. Beispiel: 31 und 55 sind gleich modulo 24, denn es gilt: [31]%24 = 7 = [55]%24

Modulare Gleichheit 13 Zählen modulo vorgegebener Primzahlen n: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 [n]%3: 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 [n]%5: 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 [n]%15: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Satz (über modulare Gleichheit bzgl. Primzahlen): p und q seien zwei vorgegebene verschiedene Primzahlen. Wenn zwei natürliche Zahlen a und b sowohl gleich modulo p als auch gleich modulo q sind, dann sind sie auch gleich modulo p*q. Anders formuliert: Aus [a]%p = [b]%p und [a]%q = [b]%q folgt [a]%(p*q) = [b]%(p*q).

14 Modulare Addition Aufgabe: (a) Führe die Rechnung für weitere Städte durch. (b) Darf man für EKATERINBURG auch so rechen: [17 + 26]%24 = [17]%24 + [26]%24 =. . . (c) Geht das auch für NOVOSIBIRSK? Was müsste man hier noch tun? [17 + 46]%24 = [17]%24 + [46]%24 =. . .

15 Modulare Addition Vorgegeben sei eine natürliche Zahl n. Zwei natürliche Zahlen a und b werden modulo n addiert, indem man sie addiert und anschließend von der Summe den Rest bei der Division durch n berechnet. Das Ergebnis ist also [a+b]%n. Beachte, dass das Ergebnis bei der Addition modulo n immer eine Zahl kleiner als n ist. Aufgabe: Erstelle selbst eine Verknüpfungstafel für die Addition modulo n = 5. Rechengesetz (Modulare Gleichheit bei der Addition): Aus [a 1]%n = [b 1]%n und [a 2]%n = [b 2]%n folgt [a 1+a 2]%n = [b 1+b 2]%n. Das erste Rechengesetz besagt, dass Zahlen, die modulo n gleich sind, auch zu gleichen Additionsergebnissen modulo n führen. Rechengesetz (Addition und iterierte Modulberechnung): [a+b]%n = [[a]%n + [b]%n]%n Das zweite Rechengesetz erlaubt es, bei der Addition modulo n zuerst die Summanden zu verkleinern und dann erst die Addition durchzuführen.

16 Modulare Multiplikation Vorgegeben sei eine natürliche Zahl n. Zwei natürliche Zahlen a und b werden modulo n multipliziert, indem man sie multipliziert und anschließend vom Produkt den Rest bei der Division durch n berechnet. Das Ergebnis ist also [a*b]%n. Beachte, dass das Ergebnis bei der Multiplikation modulo n immer eine Zahl kleiner als n ist. Aufgabe: Erstelle selbst eine Verknüpfungstafel für die Multiplikation modulo n = 8. Rechengesetz (Modulare Gleichheit bei der Addition): Aus [a 1]%n = [b 1]%n und [a 2]%n = [b 2]%n folgt [a 1+a 2]%n = [b 1+b 2]%n. Das erste Rechengesetz besagt, dass Zahlen, die modulo n gleich sind, auch zu gleichen Additionsergebnissen modulo n führen. Rechengesetz (Addition und iterierte Modulberechnung): [a+b]%n = [[a]%n + [b]%n]%n Das zweite Rechengesetz erlaubt es, bei der Addition modulo n zuerst die Summanden zu verkleinern und dann erst die Addition durchzuführen.

Aufgaben 17 Bestätige die Rechengesetze für modulare Addition und Multiplikation anhand von Beispielen. Du kannst Python als Taschenrechner benutzen. >>> >>> >>> 2 >>> 5 >>>. . . n = 14 a 1 = 16 b 1 = 19 a 2 = 44 b 2 = 75 a 1%n a 2%n b 1%n b 2%n (a 1+b 1)%n

18 Modulares Inverses Def. : Zwei natürliche Zahlen a und b heißen modular invers zueinander bezüglich n genau dann, wenn gilt: [a*b]%n = 1. Beispiel: [2*3]%5 = 1. Die beiden Zahlen 2 und 3 sind also modular invers zueinander bzgl. 5. Die Zahl 2 ist das modulare Inverse von 3 bzgl. des Moduls 5. Ebenso ist 3 das modulare Inverse von 2 bzgl. des Moduls 5. Aufgabe: (a) Betrachte den Fall n = 5 (siehe Verknüpfungstafel oben). Bestimme zu a = 1, 2, 3, 4 jeweils das modulare Inverse bzgl. n. (b) Betrachte den Fall n = 8 (siehe Folie 16). Für welche der Zahlen a = 1, 2, . . . , 7 kann man das modulare Inverse bzgl. n bestimmen? (c) Betrachte den Fall n = 15. Hast du bereits eine Vermutung, für welche der Zahlen a = 1, 2, . . . , 14 man das modulare Inverse bzgl. n bestimmen kann?

19 Existenz des modularen Inversen Satz (über die Existenz des modularen Inversen): Gegeben sei eine natürliche Zahl n. Das modulare Inverse zu einer Zahl a ungleich Null existiert genau dann, wenn a und n keinen gemeinsamen Teiler größer als 1 haben - d. h. , wenn gg. T(a, n) = 1 gilt.

20 Berechnung des modularen Inversen Entwickle eine Python-Funktion mod. Inv(a, n), die das modulare Inverse von a bzgl. n zurückgibt, sofern dieses Inverse existiert. Wenn keine solche Zahl existiert, soll der Wert -1 zurückgegeben werden. Tipp: Man kann der Reihe nach alle in Frage kommenden Zahlen durchprobieren.

21 Modulare Potenz Vorgegeben sei eine natürliche Zahl n. Eine natürliche Zahl a wird mit einer natürlichen Zahl x modulo n potenziert, indem man sie mit x potenziert und anschließend von der Potenz den Rest bei der Division durch n berechnet. Das Ergebnis ist also [a x]%n. Beachte, dass das Ergebnis bei der Potenzbildung modulo n immer eine Zahl kleiner als n ist. Aufgabe: (a) Berechne [34]%5. (b) Berechne [64]%5. Berechne auch [([([([6]%5)*6]%5)*6]%5. Was stellst du fest? (c) Welche Vorteile ergeben sich bei großen Zahlen, wenn man [a x]%n wie folgt berechnet: [(. . . ([([a]%n)*a]%n). . . )*a]%n ? Aufgabe: Berechne [a(p-1)]%p für verschiedene natürliche Zahlen a und verschiedene Primzahlen p. Für welche Zahlen erhält man als Ergebnis 1? Du kannst hierzu einfaches Python-Programm schreiben, das die Berechnungen für verschiedene Primzahlen p und natürliche Zahlen a übernimmt.

22 Kleiner Fermatscher Satz (Kleiner Fermatscher Satz): Sei p eine Primzahl und a eine natürliche Zahl, die kein Vielfaches von p ist. Dann gilt [a(p-1)]%p = 1 Gegeben sei eine Primzahl p und eine natürliche Zahl, die kein Vielfaches von p ist (z. B. p=5 und a = 12). Wenn man [1*a]%p, [2*a]%p, [3*a]%p, . . . , [(p-1)*a]%p berechnet, so erhält man als Ergebnisse die Zahlen 1, 2, 3, . . . , p-1 - allerdings in anderer Reihenfolge. Hieraus lässt sich mit einigen Rechengesetzen folgender Zusammenhang herleiten: [(1*a)*(2*a)*(3*a)*. . . *((p-1)*a)]%p = [1*2*3*. . . *(p-1)]%p Umgeformt erhält man: [1*2*3*. . . *(p-1)*a(p-1)]%p = [1*2*3*. . . *(p-1)]%p Hieraus kann man mit einigen zusätzlichen Überlegungen schließen: [a(p-1)]%p = 1

23 Teil 3 Verschlüsseln mit modularer Addition

24 Vorbemerkung Als Vorstufe zum RSA-Verfahren betrachten wir hier ein Verfahren, das auf modularer Addition beruht und bereits viele Ähnlichkeiten zum RSAVerfahren aufweist. Der Vorteil dieser Vorgehensweise besteht darin, dass wir an das sehr einfache Caesar-Verfahren anknüpfen können und durch Verallgemeinerung dieses Verfahrens zu den zahlenbasierten Verfahren gelangen.

Den Anfang macht Caesar 25 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C Quelltext: SALVEASTERIX Schlüssel: D Geheimtext: VDOYHDVWHULA

26 Caesar-Verfahren mit Zahlen Codierung: Umwandlung von Zeichen in Zahlen Verschlüsselung: Verarbeitung von Zahlen Entschlüsselung: Verarbeitung von Zahlen Decodierung: Umwandlung von Zahlen in Zeichen A → 00 B → 01. . . Z → 25 A, S, T, E, R, I, X 00, 18, 19, 04, 17, 08, 23 (00 + 3) % 26 = 03 (18 + 3) % 26 = 21. . . (23 + 3) % 26 = 00 00, 18, 19, 04, 17, 08, 23 (03 + 23) % 26 = 00 (21 + 23) % 26 = 18. . . (00 + 23) % 26 = 23 03, 21, 22, 07, 20, 11, 00 A → 00 B → 01. . . Z → 25 00, 18, 19, 04, 17, 08, 23 03, 21, 22, 07, 20, 11, 00 00, 18, 19, 04, 17, 08, 23 D, V, W, H, U, L, A

27 Caesar-Variation: zusätzliche Zeichen Codierung: Umwandlung von Zeichen in Zahlen Verschlüsselung: Verarbeitung von Zahlen Entschlüsselung: Verarbeitung von Zahlen Decodierung: Umwandlung von Zahlen in Zeichen ' ' → 00 'A' → 01. . . 'Z' → 26 N, A, C, H, , R, O, M 14, 01, 03, 08, 00, 18, 15, 13 (14 + 9) % 27 = 23 (01 + 9) % 27 = 10. . . (13 + 9) % 27 = 22 14, 01, 03, 08, 00, 18, 15, 13 (23 + 18) % 27 = 14 (10 + 18) % 27 = 01. . . (22 + 18) % 27 = 13 23, 10, 12, 17, 09, 00, 24, 22 ' ' → 00 'A' → 01. . . 'Z' → 26 14, 01, 03, 08, 00, 18, 15, 13 23, 10, 12, 17, 09, 00, 24, 22 14, 01, 03, 08, 00, 18, 15, 13 N, A, C, H, , R, O, M

28 Caesar-Variation: verallgeinerte Addition Codierung: Umwandlung von Zeichen in Zahlen Verschlüsselung: Verarbeitung von Zahlen (e, m) = (9, 30) Entschlüsselung: Verarbeitung von Zahlen (d, m) = (21, 30) Decodierung: Umwandlung von Zahlen in Zeichen ' ' → 00 'A' → 01. . . 'Z' → 26 D, A, , I, S, T, , E, S 04, 01, 00, 09, 19, 20, 05, 19 (04 + 18) % 30 = 22 (01 + 18) % 30 = 19. . . (19 + 18) % 30 = 07 04, 01, 00, 09, 19, 20, 05, 19 (22 + 12) % 30 = 04 (19 + 12) % 30 = 01. . . (07 + 12) % 30 = 19 22, 19, 18, 27, 08, 18, 23, 07 ' ' → 00 'A' → 01. . . 'Z' → 26 04, 01, 00, 09, 19, 20, 05, 19 22, 19, 18, 27, 08, 18, 23, 07 04, 01, 00, 09, 19, 20, 05, 19 D, A, , I, S, T, , E, S

29 Caesar-Variation: größere Blocklänge Codierung: Umwandlung von Zeichen in Zahlen Verschlüsselung: Verarbeitung von Zahlen (e, m) = (112233, 321321) Entschlüsselung: Verarbeitung von Zahlen (d, m) = (209088, 321321) Decodierung: Umwandlung von Zahlen in Zeichen ' ' → 00 'A' → 01. . . 'Z' → 26 (80112 + 112233) % 321321 = 192345 (80112 + 112233) % 321321 = 233733 HAL, LO 80112, 121500 192345, 233733 (192345 + 209088) % 321321 = 192345 (233733 + 209088) % 321321 = 121500 192345, 233733 ' ' → 00 'A' → 01. . . 'Z' → 26 80112, 121500 HAL, LO

30 Verfahren mit modularer Addition Schritt 1: Wahl der Blocklänge und Zerlegung des Textes Die Blocklänge legt die Länge der Texteinheiten fest, die mit Zahlen codiert werden und anschließend verschlüsselt werden. Je größer die Blocklänge, desto mehr Zahlen benötigt man zur Codierung der Texteinheiten. Bei einer Blocklänge 3 wird beispielweise der Text 'CAESAR' wie folgt in Texteinheiten zerlegt: 'CAE', 'SAR' Bei einer Zerlegung eines Textes kann es vorkommen, dass eine Texteinheit übrig bleibt, die nicht mehr die gesamte Blocklänge hat. In diesem Fall füllen wir den Text mit zusätzlichen Zeichen (hier Leerzeichen) auf: 'HAL', 'LO '

31 Verfahren mit modularer Addition Schritt 2: Wahl der Codierung von Zeichenblöcken: Die Codierung ordnet jeder Texteinheit eine natürliche Zahl zu. Die Zuordnung muss eindeutig sein, so dass eine Decodierung möglich ist. ' ' ' -> 0000 ' A' -> 001 ' A' -> 0001 ' B' -> 002 ' B' -> 0002 . . . Codierung des Alphabets: ' Z' -> 026 ' Z' -> 0026 ' ' -> 00 'A ' -> 027 'A ' -> 0100 'A' -> 01 'AA' -> 028 'AA' -> 0101 . . 'Z' -> 26 'ZZ' -> 728 'ZZ' -> 2626

32 Verfahren mit modularer Addition Schritt 3: Wahl des Moduls und der Verschiebezahl Die Modulzahl n ist eine beliebige natürliche Zahl. Sie muss nur so gewählt werden, dass sie größer als die größtmögliche Codezahl einer Texteinheit ist. Die zu wählende Größe hängt demnach von der Blocklänge und der gewählten Codierung ab. Die Verschiebezahl e zum Verschlüsseln (e-ncrypt) ist eine beliebige natürliche Zahl, die kleiner als die Modulzahl n ist. Beide zusammen - Verschiebezahl und Modul - werden zur Verschlüsselung benötigt. Das Zahlenpaar (e, n) bildet den Schlüssel zur Verschlüsselung eines Textes. Dieser Schlüssel wird auch öffentlicher Schlüssel genannt. Schritt 4: Bestimmung des Gegenschlüssels Die Verschiebezahl d zum Entschlüsseln (d-ecrypt) ergibt sich direkt aus e und n: Es muss e+d=m gelten. Also ist d = n - e. Das Zahlenpaar (d, n) bildet den Schlüssel zur Entschlüsselung eines Textes. Dieser Schlüssel wird auch privater Schlüssel genannt.

33 Verfahren mit modularer Addition Schritt 5: Verschlüsselung codierter Texte Zur Verschlüsselung eine Codezahl x benötigt man den öffentlichen Schlüssel (e, m). Die Verschlüsselung erfolgt hier durch modulare Addition: x -> [x + e]%n Schritt 6: Entschlüsselung codierter Texte Zur Entschlüsselung eine Codezahl y benötigt man den privaten Schlüssel (d, n). Die Entschlüsselung erfolgt analog zur Verschlüsselung: y -> [y + d]%n

34 Aufgabe Benutze unsere Standardcodierung mit Blocklänge 2. Wähle einen öffentlichen Schlüssel (wie z. B. (567, 2911)) und verschlüssele eine selbst gewählte Nachricht mit dem oben beschriebenen Verfahren mit modularer Addition (Version 3). Gib die Nachricht an deinen Nachbarn weiter. Teile ihm auch den benutzten öffentlichen Schlüssel mit. Dein Nachbar soll jetzt die Nachricht wieder entschlüsseln.

35 Korrektheit: Die Entschlüsselung macht die Verschlüsselung rückgängig: x → [x + e]%n → [[x + e]%n + d]%n = [x + [e + d]%n]%n = [x]%n = x

36 Prinzip von Kerckhoff Die Sicherheit eines Kryptosystems darf nicht von der Geheimhaltung des Algorithmus abhängen. Die Sicherheit darf sich nur auf die Geheimhaltung des Schlüssels gründen. Vgl. A. Beutelspacher: Kryptologie. Vieweg 1996 Das Prinzip wurde erstmals formuliert im Buch "La cryptographie militaire" von Jean Guillaume Hubert Victor Francois Alexandre Auguste Kerckhoffs van Nieuwenhof (1835 bis 1903).

37 Sicherheit: Das additive Chiffrierverfahren ist nicht sicher, da man aus dem öffentlichen Schlüssel sofort den privaten Schlüssel bestimmen kann.

38 Implementierung Aufgabe 1: Eine Implementierung testen Lade die Datei chiffriersystem. Modulares. Addieren. Aufgabe 1. txt (siehe inf-schule) herunter. Diese Datei enthält eine ganze Reihe von Funktionen, die Teilaufgaben beim Verfahren mit modularer Addition übernehmen. Teste alle Funktionen und beschreibe das Verhalten der Funktionen in Worten. Passende Funktionsaufrufe sind als Docstrings bereits angegeben. Aufgabe 2: Eine Implementierung nutzen Mit Funktionen der Implementierung aus Aufgabe 1 kannst jetzt interaktiv das Verfahren mit modularer Addition durchspielen. Führe selbst weitere Tests durch. Du kannst die Funktionsaufrufe auch in einem kleinen Testprogramm zusammenfassen. >>> block = 2 >>> oeffentlicher. Schluessel = (2102, 3000) >>> privater. Schluessel = (898, 3000) >>> quelltext = 'ASTERIX' >>> quellcode = codieren(quelltext, block) >>> quellcode [119, 2005, 1809, 2400] >>> geheimcode = verschluesseln(quellcode, oeffentlicher. Schluessel) >>> geheimcode [2221, 1107, 911, 1502] >>> entschluesseltercode = verschluesseln(geheimcode, privater. Schluessel) >>> entschluesseltercode [119, 2005, 1809, 2400] >>> entschluesseltertext = decodieren(entschluesseltercode, block) >>> entschluesseltertext 'ASTERIX'

Implementierung 39 Aufgabe 3: Eine Implementierung abändern Die Implementierung aus Aufgabe 1 benutzt zur Codierung das Aneinanderfügen von Codes bei Zeichenblöcken: ' ' -> 0000 ' A' -> 0001 ' B' -> 0002. . . ' Z' -> 0026 'A ' -> 0100 'AA' -> 0101. . . 'ZZ' -> 2626 Ändere die Implementierung so ab, dass der ASCII-Code zur Umwandlung von Zeichen in Zahlen benutzt wird. Bei Zeichenblöcken sollen die Codezahlen durch systematisches Durchzählen ermittelt werden. In Cryp. Tool wird hierzu die Einstellung "b-adisch" gewählt. Experimentiere erst mit Cryp. Tool und passe dann die Implementierung der Codierung geeignet an.

40 Implementierung Aufgabe 4: Eine Implementierung selbst entwickeln Lade die Datei chiffriersystem. Modulares. Addieren. Aufgabe 4. txt (siehe inf-schule) herunter. Diese Datei enthält bereits eine ganze Reihe von Funktionsbeschreibungen, die Teilaufgaben beim Verfahren mit modularer Addition übernehmen können. Ergänze die Implementierung dieser Funktionen und teste die Funktionen wie in Aufgabe 2.

41 Teil 3 Verschlüsseln mit modularer Multiplikation

42 Vorbemerkung Statt modularer Addition verwenden wir hier modulare Multiplikation als Grundlage eines Verschlüsselungsverfahres. Dieses Verfahen kann ebenfalls als Vorstufe zum RSA-Verfahren angesehen werden. Genau wie beim RSAVerfahren hängt die Sicherheit des hier betrachteten Verfahrens davon ab, ob man über schnelle Algorithmen für bestimmte Problemstellungen verfügt.

Multiplikation statt Addition 43 A(lice) B(ob) öffentl. Schlüssel von B(ob) pivat. Schlüssel von B(ob) (e, n) (d, n) "HALLO. . . " Codierung f(x, (e, n)) x 0, x 1, x 2, . . . = Klartext [x+e]%n f*(y, (d, n)) y 0, y 1, y 2, . . . Geheimtext Codierung = x 0, x 1, x 2, . . . [y+d]%n Klartext Entschlüsselungsfunktion Verschlüsselungsfunktion A(lice) B(ob) öffentl. Schlüssel von B(ob) pivat. Schlüssel von B(ob) (e, n) (d, n) "HALLO. . . " Codierung f(x, (e, n)) x 0, x 1, x 2, . . . = Klartext [x*e]%n Verschlüsselungsfunktion f*(y, (d, n)) y 0, y 1, y 2, . . . Geheimtext Codierung = [y*d]%n Entschlüsselungsfunktion x 0, x 1, x 2, . . . Klartext

44 Codierung: Umwandlung von Zeichen in Zahlen Verschlüsselung: Verarbeitung von Zahlen Codierung: Umwandlung von Zeichen in Zahlen Statt Addition. . . ' ' → 00 'A' → 01. . . 'Z' → 26 N, I, X, , L, O, S 14, 09, 24, 00, 12, 15, 19 (14 + 7) % 30 = 21 (09 + 7) % 30 = 16. . . (19 + 7) % 30 = 26 14, 09, 24, 00, 12, 15, 19 (21 + 23) % 30 = 14 (16 + 23) % 30 = 09. . . (26 + 23) % 30 = 19 21, 16, 01, 07, 19, 22, 26 ' ' → 00 'A' → 01. . . 'Z' → 26 14, 09, 24, 00, 12, 15, 19 21, 16, 01, 07, 19, 22, 26 14, 09, 24, 00, 12, 15, 19 N, I, X, , L, O, S

45 . . . benutze Multiplikation! Codierung: Umwandlung von Zeichen in Zahlen Verschlüsselung: Verarbeitung von Zahlen Codierung: Umwandlung von Zeichen in Zahlen ' ' → 00 'A' → 01. . . 'Z' → 26 N, I, X, , L, O, S 14, 09, 24, 00, 12, 15, 19 (14 * 7) % 30 = 08 (09 * 7) % 30 = 03. . . (19 * 7) % 30 = 13 14, 09, 24, 00, 12, 15, 19 (08 * x) % 30 = 14 (03 * x) % 30 = 09. . . (13 * x) % 30 = 19 08, 03, 18, 00, 24, 15, 13 ' ' → 00 'A' → 01. . . 'Z' → 26 14, 09, 24, 00, 12, 15, 19 08, 03, 18, 00, 24, 15, 13 14, 09, 24, 00, 12, 15, 19 N, I, X, , L, O, S

Verfahren und seine Korrektheit 46 Schlüsselerzeugung: A(lice) öffentl. Schlüssel von B(ob) (e, n) B(ob) Wähle n größer als die maximale Codezahl. pivat. Schlüssel von B(ob) Wähle e mit e <n. (d, n) Bestimme d mit [e*d]%n = 1. "HALLO. . . " Codierung f(x, (e, n)) x 0, x 1, x 2, . . . = Klartext [x*e]%n f*(y, (d, n)) = y 0, y 1, y 2, . . . x 0, x 1, x 2, . . . [y*d]%n Geheimtext Verschlüsselungsfunktion Codierung Entschlüsselungsfunktion Korrektheit: Die Entschlüsselung macht die Verschlüsselung rückgängig: x → [x * e]%n → [[x * e]%n * d]%n = [x * [e * d]%n]%n = [x * 1]%n = x Es muss hierzu folgende Schlüsselbedingung erfüllt sein: [e * d]%n = 1 d. h. : d ist modulares Inverses zu e bzgl. n. Klartext

47 Implementierung Aufgabe 1: Eine Implementierung testen Lade die Datei chiffriersystem. Modulares. Multiplizieren. txt (siehe inf-schule) herunter. Diese Datei enthält eine ganze Reihe von Funktionen zur Implementierung des Verfahrens mit modularer Multiplikation. Teste die Implementierung, indem du das Verfahren mit modularer Multiplikation interaktiv durchspielst. Aufgabe 2: Implementierungen analysieren Vergleiche die Implementierungen zum Verfahren mit modularer Addition und zum Verfahren mit modularer Multiplikation. Die Implementierungen unterscheiden sich nur an einer Stelle. Welche Stelle ist das?

Sicherheit 48 Schlüsselerzeugung: A(lice) öffentl. Schlüssel von B(ob) (e, n) Wähle n größer als die maximale Codezahl. Wähle e mit e <n. Bestimme d mit [e*d]%n = 1. B(ob) pivat. Schlüssel von B(ob) (? , n) ? ? ? Codierung ? ? ? Klartext f(x, (e, n)) = [x*e]%n f*(y, (d, n)) y 0, y 1, y 2, . . . Geheimtext Codierung = [y*d]%n ? ? ? Klartext Entschlüsselungsfunktion Verschlüsselungsfunktion Mr(s) X Sicherheit: Die Sicherheit des multiplikativen Chiffrierverfahrens hängt davon ab, ob man zur Zahl e aus dem öffentlichen Schlüssel das modulare Inverse d bzgl. n bestimmen kann.

49 Codierung: Umwandlung von Zeichen in Zahlen Aufgabe ' ' → 00 'A' → 01. . . 'Z' → 26 . , . , . , . Verschlüsselung: öffentlicher Schlüssel (e, m) = (16, 33) Entschlüsselung: 24, 12, 15, 29, 23, 12, 13 privater Schlüssel (d, m) = (. . . , . . . ) Decodierung: Umwandlung von Zahlen in Zeichen ' ' → 00 'A' → 01. . . 'Z' → 26

50 Codierung: Umwandlung von Zeichen in Zahlen Aufgabe ' ' → 00 'A' → 01. . . 'Z' → 26 . . , . . Verschlüsselung: öffentlicher Schlüssel (e, m) = (381, 800) Entschlüsselung: 030, 235, 314, 316, 305, 253, 368 privater Schlüssel (d, m) = (. . . , . . . ) Decodierung: Umwandlung von Zahlen in Zeichen ' ' → 00 'A' → 01. . . 'Z' → 26

51 Bestimmung des modularen Inversen Ein naiver Ansatz besteht darin, der Reihe nach alle Zahlen durchzuprobieren, bis man das gewünschte Ergebnis gefunden hat. Beispiel: e = 16; n = 33 [16*1]%33 = 16; [16*2]%33 = 32; . . . ; [16*31]%33 = 1 Diesen naiven Ansatz kann man auch leicht implementieren: def mod. Inv(e, n): gefunden = False d = 1 while d <= n and not gefunden: if (e * d) % n == 1: gefunden = True else: d = d + 1 if d > n: d = -1 return d

52 Bestimmung des modularen Inversen Aufgabe: Teste den Baustein mod. Inv mit selbst gewählten Beispielen. Überprüfe auch die Richtigkeit der Ergebnisse. Aufgabe: (a) Teste den Baustein mit großen Zahlen. Bestimme hierzu das modulare Inverse von a = 775517959261225265313877628572204089387832653836742449 bzgl. des Moduls n = 100001000010000100001000010000. (b) Bestimme zunächst mit dem Resultat aus (a) das modulare Inverse von b = 49 bzgl. des Moduls n = 100001000010000100001000010000. Bestimme anschließend das gesuchte modulare Inverse mit dem vorgegebenen Baustein. Welches Problem tritt hier auf? Hast du eine Vermutung, warum das Problem auftritt.

53 Bestimmung des modularen Inversen def mod. Inv. Mit. Ausgaben(e, n): gefunden = False d = 1 while d <= n and not gefunden: if d % 10000000 == 0: print("Anzahl der Versuche: ", d) if (e * d) % n == 1: gefunden = True else: d = d + 1 if d > n: d = -1 return d >>> mod. Inv. Mit. Ausgaben(49, 100001000010000100001000010000) Anzahl der Versuche: 10000000 Anzahl der Versuche: 20000000 Anzahl der Versuche: 30000000 für 10 Millionen. . . Überprüfungen benötigt man mehr als 1 Sekunde!

54 Bestimmung des modularen Inversen Beispiel: d = 49 n = 100001000010000100001000010000 mod. Inv(d, n) Um 10 000 (= 107) Zahlen durchzuprobieren, benötigt ein Rechner derzeit mehr als 1 s. Da das erwartete Ergebnis 775517959261225265313877628572204089387832653836742449 eine 54 -stellige Zahl ist, wird der Rechner eine Zeit benötigen, die in der Größenordnung von 1047 s liegt. Dies sind mehr als 1039 Jahre. Bedenkt man, dass das Universum ein Alter von etwa 1010 Jahre hat, dann zeigt sich, wie ungeeignet das naive Vorgehen ist. Für größere Zahlen ist der naive Algorithmus unbrauchbar. Für die gezeigten Zahlen benötigt ein Rechner länger, als das Universum alt ist.

55 Vielfachsummensatz Ein besseres Verfahren zur Bestimmung des modularen Inversen basiert auf folgendem Zusammenhang ("Vielfachsummensatz", "Lemma von Bézout", "Lemma von Bachet"): Für je zwei natürliche Zahlen a und b gibt es ganze Zahlen x und y mit gg. T(a, b)=x*a+y*b. Beispiele: a = 3; b = 4: gg. T(3, 4) = 1 = (-1)*3 + 1*4 a = 6; b = 9: gg. T(6, 9) = 3 = (-1)*6 + 1 * 9 a = 41; b = 192: gg. T(41, 192) = 1 = 89*41 + (-19)*192

56 Erweiterter euklidischer Algorithmus Gegeben: a = 884; b = 320 Gesucht: gg. T(a, b) = x*a + y*b (1) 884 = 2*320 + 244 → 244 = 884 - 2*320 = (1*884 + 0*320) - 2*(1*320 + 0*884) = 1*884 - 2*320 (2) 320 = 1*244 + 76 → 76 = 320 - 1*244 = (0*884 + 1*320) - 1*(1*884 - 2*320)) = 3*320 - 1*884 (3) 244 = 3*76 + 16 → 16 = 244 - 3*76 = (1*884 - 2*320) - 3*(3*320 - 1*884) = 4*884 - 11*320 (4) 76 = 4*16 + 12 → 12 = 76 - 4*16 = (3*320 - 1*884) - 4*(4*884 - 11*320) = 47*320 - 17*884 (5) 16 = 1*12 + 4 → 4 = 16 - 1*12 = (4*884 - 11*320) - 1*(47*320 - 17*884) = 21*884 - 58*320 (6) 12 = 3*4 + 0 Ergebnis: gg. T(884, 320) = 4 = 21*884 + (- 58)*320

57 Aufgabe Bestimme analog die Darstellung für a = 30 und b = 7. Gegeben: a = 30; b = 7 Gesucht: gg. T(a, b) = x*a + y*b

58 Aufgabe Das Struktogramm zeigt, wie der erweiterte euklidische Algorithmus mit Variablen und Kontrollstrukturen beschrieben werden kann. Im Folgenden ist ein Ablaufprotokoll für die Eingaben a = 884 und b = 320 skizziert. Mache dir anhand dieses Ablaufprotokolls die Arbeitsweise des Algorithmus klar. Die unten gezeigten Berechnungsschritte sollten sich im Ablaufprotokoll widerspiegeln. (1) 884 = 2*320 + 244 → 244 = 884 - 2*320 = (1*884 + 0*320) - 2*(1*320 + 0*884) = 1*884 - 2*320 (2) 320 = 1*244 + 76 → 76 = 320 - 1*244 = (0*884 + 1*320) - 1*(1*884 - 2*320)) = 3*320 - 1*884 (3) 244 = 3*76 + 16 → 16 = 244 - 3*76 = (1*884 - 2*320) - 3*(3*320 - 1*884) = 4*884 - 11*320 (4) 76 = 4*16 + 12 → 12 = 76 - 4*16 = (3*320 - 1*884) - 4*(4*884 - 11*320) = 47*320 - 17*884 (5) 16 = 1*12 + 4 → 4 = 16 - 1*12 = (4*884 - 11*320) - 1*(47*320 - 17*884) = 21*884 - 58*320 (6) 12 = 3*4 + 0

59 Erweiterter euklidischer Algorithmus Geg. : a = 884; b = 320; Ges. : gg. T(a, b) = x*a + y*b aalt: 884 = a: 884 amitte: 320 = b: 320 xalt: 1 = 1 xmitte: 0 = 0 yalt: 0 = 0 ymitte: 1 = 1 {aalt: 884 = xalt: 1 * a: 884 + yalt: 0 * b: 320; amitte: 320 = xmitte: 0 * a: 884 + ymitte: 1 * b: 320} (1) 884 = 2*320 + 244 → 244 = 884 - 2*320 = (1*884 + 0*320) - 2*(1*320 + 0*884) = 1*884 - 2*320 q: 2 = aalt: 884 / amitte: 320 aneu: 244 = aalt: 884 % amitte: 320 xneu: 1 = xalt: 1 - xmitte: 0 * q: 2 yneu: -2 = yalt: 0 - ymitte: 1 * q: 2 xalt: 0 = xmitte: 0 xmitte: 1 = xneu: 1 yalt: 1 = ymitte: 1 ymitte: -2 = yneu: -2 aalt: 320 = amitte: 320 amitte: 244 = aneu: 244 {aalt: 320 = xalt: 0 * a: 884 + yalt: 1 * b: 320; amitte: 244 = xmitte: 1 * a: 884 + ymitte: -2 * b: 320}

60 Erweiterter euklidischer Algorithmus {aalt: 320 = xalt: 0 * a: 884 + yalt: 1 * b: 320; amitte: 244 = xmitte: 1 * a: 884 + ymitte: -2 * b: 320} (2) 320 = 1*244 + 76 → 76 = 320 - 1*244 = (0*884 + 1*320) - 1*(1*884 - 2*320)) = 3*320 - 1*884 q: 1 = aalt: 320 / amitte: 244 aneu: 76 = aalt: 320 % amitte: 244 xneu: -1 = xalt: 0 - xmitte: 1 * q: 1 yneu: 3 = yalt: 1 - ymitte: -2 * q: 1 xalt: 1 = xmitte: 1 xmitte: -1 = xneu: -1 yalt: -2 = ymitte: -2 ymitte: 3 = yneu: 3 aalt: 244 = amitte: 244 amitte: 76 = aneu: 76 {aalt: 244 = xalt: 1 * a: 884 + yalt: -2 * b: 320; amitte: 76 = xmitte: -1 * a: 884 + ymitte: 3 * b: 320}

61 Aufgabe Teste die Implementierung des erweiterten Euklidischen Algorithmus. . def erweiterter. Euklidischer. Algorithmus(a, b): aalt = a amitte = b xalt = 1 xmitte = 0 yalt = 0 ymitte = 1 while amitte != 0: q = aalt // amitte aneu = aalt - q * amitte xneu = xalt - xmitte * q yneu = yalt - ymitte * q xalt = xmitte = xneu yalt = ymitte = yneu aalt = amitte = aneu print(amitte, '=', xmitte, '*', a, '+', ymitte, '*', b) return (aalt, xalt, yalt)

62 Bestimmung des modularen Inversen Mit Hilfe der Ausgaben des erweiterten euklidischen Algorithmus lässt sich das modulare Inverse bestimmen: Beispiel 1: Gesucht wird das modulare Inverse von a = 41 bzgl. m = 192. Python liefert: >>> erweiterter. Euklidischer. Algorithmus(41, 192) (1, 89, -19) Umformungen: 1 = 89*41 + (-19)*192 1 - (-19)*192 = 89*41 [1 - (-19)*192]% 192 = [89*41]%192 [1 + 19*192]% 192 = [89*41]%192 1 = [89*41]%192 Ergebnis: b = 89

63 Bestimmung des modularen Inversen Mit Hilfe der Ausgaben des erweiterten euklidischen Algorithmus lässt sich das modulare Inverse bestimmen: Beispiel 2: Gesucht wird das modulare Inverse von a = 17 bzgl. m = 192. Python liefert: >>> erweiterter. Euklidischer. Algorithmus(17, 192) (1, -79, 7) Umformungen: 1 = (-79)*17 + 7*192 1 - 7*192 = (-79)*17 1 - 7*192 + 192*17 = (-79+192)*17 1 + 10*192 = 113*17 [1 + 10*192]%192 = [113*17]%192 1 = [113*17]%192 Ergebnis: b = 113

64 Aufgabe Beispiel 3: Gesucht wird das modulare Inverse von a = 7 bzgl. m = 30. Python liefert: >>> erweiterter. Euklidischer. Algorithmus( Umformungen: Ergebnis: b = , )

65 Bestimmung des modularen Inversen Mit Hilfe der Ausgaben des erweiterten euklidischen Algorithmus lässt sich das modulare Inverse bestimmen: def mod. Inv(a, m): (ggt, x, y) = erweiterter. Euklidischer. Algorithmus(a, m) if ggt > 1: return -1 else: if x < 0: x = x + m return x Teste die Implementierung insbesondere für große Zahlen: d = 49 m = 100001000010000100001000010000 mod. Inv(d, m) Welche Konsequenzen ergeben sich hieraus für die Sicherheit des Chiffrierverfahrens mit modularer Multiplikation?

66 Sicherheit: Das "multiplikative" Chiffrierverfahren ist nicht sicher, da man aus dem öffentlichen Schlüssel mit Hilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus den privaten Schlüssel recht schnell bestimmen kann. Die "Unsicherheit" basiert hier also darauf, dass man ein schnelles Verfahren gefunden hat, um das modulare Inverse einer Zahl zu bestimmen.

67 Teil 4 Verschlüsseln mit modularem Potenzieren

68 Verschlüsseln d. modulares Rechnen modulares Addieren Verschlüsselung mit öffentl. Schlüssel (e, n) x → [x + e]%n Entschlüsselung mit privat. Schlüssel (d, n) y → [y + d]%n modulares Multiplizieren Verschlüsselung mit öffentl. Schlüssel (e, n) x → [x * e]%n Entschlüsselung mit privat. Schlüssel (d, n) y → [y * d]%n modulares Potenzieren Verschlüsselung mit öffentl. Schlüssel (e, n) x → [x ** e]%n Entschlüsselung mit privat. Schlüssel (d, n) y → [z ** d]%n

69 Verschlüsseln d. modulares Potenzieren Codierung: Umwandlung von Zeichen in Zahlen Verschlüsselung: öffentlicher Schlüssel (e, m) = (13, 77) Entschlüsselung: privater Schlüssel (d, m) = (37, 77) Decodierung: Umwandlung von Zahlen in Zeichen ' ' → 00 'A' → 01. . . 'Z' → 26 A, S, T, E, R, I, X 01, 19, 20, 05, 18, 09, 24 (01 ** 13) % 77 = 01 (19 ** 13) % 77 = 61. . . (24 ** 13) % 77 = 52 01, 19, 20, 05, 18, 09, 24 (01 ** 37) % 77 = 01 (61 ** 37) % 77 = 19. . . (52 ** 37) % 77 = 24 01, 61, . . . , 52 ' ' → 00 'A' → 01. . . 'Z' → 26 01, 61, . . . , 52 01, 19, 20, 05, 18, 09, 24 A, S, T, E, R, I, X

70 Implementierung Beim Rechnen mit Potenzen erhält man große Zahlen: >>> 52 ** 37 3105444088679819357273546406651335246066988648897330641813635072 >>> 3105444088679819357273546406651335246066988648897330641813635072 % 77 24 Zum schnellen modularen Potenzieren sollte man daher die folgende Funktion modpot benutzen. def modpot(x, y, m): pot = 1 while y > 0: if y % 2 == 1: pot = (pot * x) % m y = y - 1 else: x = (x * x) % m y = y // 2 return pot

71 Implementierung Aufgabe: (a) Ergänze geeignete Ausgabeanweisungen und versuche, auf diese Weise die Idee des Algorithmus zum schnellen modularen Potenzieren herauszufinden. (b) Der Algorithmus zur modularen Potenzbildung ist eine geringfügige Erweiterung des Algorithmus zum schnellen Potenzieren. Was wird hier ergänzt? Warum führt das zu einem korrekten Ergebnis? Zur Klärung der Korrektheit musst du einen mathematischen Zusammenhang heranziehen. def modpot(x, y, m): pot = 1 while y > 0: if y % 2 == 1: pot = (pot * x) % m y = y - 1 else: x = (x * x) % m y = y // 2 return pot

72 Implementierung Aufgabe: Besorge dir eine Implementierung des Verfahrens mit modularer Multiplikation und ändere diese Implementierung in geeigneter Weise ab. Du kannst dir alternativ hierzu auch die Datei chiffriersystem. Modulare. Potenz. txt (siehe infschule) herunter laden. Diese Datei enthält eine ganze Reihe von Funktionen zur Implementierung des RSA-Verfahrens. Mit den Funktionen der Implementierung kannst jetzt interaktiv das RSA-Verfahren durchspielen. Probiere das mit selbst gewählten Daten aus. Zur Kontrolle: Vergleiche die erzielten Ergebnisse mit denen, die Cryp. Tool (mit passenden Einstellungen) liefert.

73 Erzeugung der Schlüssel

74 Erzeugung der Schlüssel Vorbereitung: Beispiel: Wähle zwei verschiedene Primzahlen p und q. p = 7; q = 11 öffentlicher Schlüssel: Berechne n = p*q. n = 77 Berechne φ(n) = (p-1)*(q-1). φ(n) = 60 Wähle eine Zahl e mit 1 < e < φ(n) , die teilerfremd zu φ(n) ist. z. B. e = 13 Der öffentliche Schlüssel ist (e, n). (13, 77) ("Vernichte p, q, φ(n). ") privater Schlüssel: Berechne d so, dass [e*d]%φ(n) = 1 ist. d = 37 Der private Schlüssel ist (d, n). (37, 77)

Korrektheit des RSA-Verfahren 75 RSA-Schlüsselerzeugung: Wähle zwei verschiedene Primzahlen p und q. A(lice) öffentl. Schlüssel von B(ob) (e, n) Berechne n = p q und (n) = (p-1) (q-1). Wähle e mit 1 < e < (n) und gg. T(e, (n)) = 1. B(ob) pivat. Schlüssel von B(ob) (d, n) Bestimme d mit [c d]% (n) = 1. "HALLO. . . " Codierung "HALLO. . . " f(x, (e, n)) x 0, x 1, x 2, . . . = Klartext [xe]%n RSA-Verschlüsselungsfunktion f*(y, (d, n)) = y 0, y 1, y 2, . . . [yd]%n Geheimtext RSA- Entschlüsselungsfunktion Korrektheit: Die Entschlüsselung macht die Verschlüsselung rückgängig: x → [xe]%n → [([xe]%n)d]%n = [x(e * d)]%n = [x]%n = x Es muss hierzu folgende Schlüsseleigenschaft erfüllt sein: [x(e * d)]%n = x für alle x < n Codierung x 0, x 1, x 2, . . . Klartext

76 Korrektheit des RSA-Verfahren Beh. : [x(e * d)]%n = x für alle x < n Begr. : Schritt 1: Es gilt n = p*q mit zwei verschiedenen Primzahlen p und q. Wir zeigen: [x(e*d)]%p = [x]%p und [x(e*d)]%q = [x]%q für alle Zahlen x < n Es reicht, den Nachweise für eine der beiden Primzahlen p und q zu führen. Der Nachweis für die andere Primzahl verläuft dann völlig analog. Wir betrachten im Folgenden die Primzahl p. Fall 1: p und x sind nicht teilerfremd. Da p eine Primzahl ist, muss in diesem Fall p ein Teiler von x sein. Die Primzahl p muss dann auch ein Teiler der Potenz x(e*d) sein. Es folgt: [x]%p = 0 und [x(e*d)]% p = 0 Also: [x(e*d)]%p = [x]%p Fall 2: p und x sind teilerfremd. Nach dem kleinen Fermatschen Satz git dann: [x(p-1)]%p = 1 Nach der Konstruktion der Schlüssel gilt: [e*d]%φ(n) = 1 Da φ(n) = (p-1)*(q-1), gibt es also eine Zahl a mit e*d = a*(p-1)*(q-1)+1. .

77 Korrektheit des RSA-Verfahren . . . Jetzt können wir folgende Umformungen vornehmen: [x(e*d)]%p = [x(a*(p-1)*(q-1)+1)]%p = [x(a*(p-1)*(q-1))*x]%p = [x(a*(p-1)*(q-1))]%p * [x]%p = [([x(p-1)]%p)(a*(q-1))]%p * [x]%p = [1(a*(q-1))]%p * [x]%p = 1 * [x]%p = [x]%p Damit ist die Behauptung von Schritt 1 gezeigt. Schritt 2: Aus [x(e*d)]%p = [x]%p und [x(e*d)]%q = [x]%q (für alle Zahlen x < n) können wir jetzt (mit dem Satz über modulare Gleichheit bzgl. Primzahlen) schließen: [x(e*d)]%(p*q) = [x]%(p*q) Wegen n = p*q und x < n gilt dann: [x(e*d)]%n = x

Sicherheit 78 RSA-Schlüsselerzeugung: Wähle zwei verschiedene Primzahlen p und q. A(lice) öffentl. Schlüssel von B(ob) (e, n) Berechne n = p q und (n) = (p-1) (q-1). Wähle e mit 1 < e < (n) und gg. T(e, (n)) = 1. B(ob) pivat. Schlüssel von B(ob) (? , n) Bestimme d mit [c d]% (n) = 1. ? ? ? Codierung ? ? ? Klartext f(x, (e, n)) = [xe]%n ? ? ? f*(y, (d, n)) y 0, y 1, y 2, . . . Geheimtext Codierung = [yd]%n ? ? ? Klartext RSA- Entschlüsselungsfunktion RSA-Verschlüsselungsfunktion Mr(s) X Sicherheit: Die Sicherheit des RSA-Verfahrens hängt davon ab, ob man aus dem öffentlichen Schlüssel (e, n) den privaten Schlüssel (d, n) (effizient) bestimmen kann.

79 Codierung: Umwandlung von Zeichen in Zahlen Aufgabe ' ' → 00 'A' → 01. . . 'Z' → 26 Verschlüsselung: öffentlicher Schlüssel (e, m) = (19, 65) 48, 9, 60, 38, 60, 0, 58, 47, 31, 60, 59, 60, 0, 1, 31, 59, 0, 58, 1, 38, 9, 60, 14 Entschlüsselung: privater Schlüssel (d, m) = (. . . , . . . ) Decodierung: Umwandlung von Zahlen in Zeichen ' ' → 00 'A' → 01. . . 'Z' → 26

Aufgabe 80 öffentlicher Schlüssel (e, m) = (1432765433173537777777, 1914269284601333234385791628203) privater Schlüssel (d, m) = (. . . , . . . ) Codierung: Umwandlung von Zahlen in Zeichen ' ' → 00 'A' → 01. . . 'Z' → 26 0703995545688427802027825362902, 0076119838972138298619729763565

Angriff auf das RSA-Verfahren 81 RSA-Schlüsselerzeugung: Wähle zwei verschiedene Primzahlen p und q. A(lice) öffentl. Schlüssel von B(ob) (e, n) Berechne n = p q und (n) = (p-1) (q-1). Wähle e mit 1 < e < (n) und gg. T(e, (n)) = 1. B(ob) pivat. Schlüssel von B(ob) (? , n) Bestimme d mit [c d]% (n) = 1. ? ? ? Codierung ? ? ? Klartext ? ? ? f(x, (e, n)) = [xe]%n f*(y, (d, n)) = y 0, y 1, y 2, . . . [yd]%n Geheimtext RSA-Verschlüsselungsfunktion Codierung ? ? ? Klartext RSA- Entschlüsselungsfunktion Beispiel (Aufgabe): n = 65 -> p = 5 und q = 13 Aus den beiden Primzahlen p und q kann Mr(s). X die Zahl φ(n) = (p-1) * (q-1) berechnen. Beispiel (Aufgabe 1): p = 5 und q = 13 -> φ(n) = 48 Mr(s). X weiß zudem, dass die Zahl d modulares Inverses von e bzgl. φ(n) ist. Mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus kann Mr(s). X diese Zahl d bestimmen. Beispiel (Aufgabe 1): e = 19 und φ(n) = 48: [19*d]%48 = 1 -> d = 43 Mr(s). X kennt jetzt den privaten Schlüssel und kann den Geheimtext entschlüsseln.

Sicherheit RSA-Verfahren 82 RSA-Schlüsselerzeugung: Wähle zwei verschiedene Primzahlen p und q. A(lice) öffentl. Schlüssel von B(ob) (e, n) Berechne n = p q und (n) = (p-1) (q-1). Wähle e mit 1 < e < (n) und gg. T(e, (n)) = 1. B(ob) pivat. Schlüssel von B(ob) (? , n) Bestimme d mit [c d]% (n) = 1. ? ? ? Codierung ? ? ? Klartext f(x, (e, n)) = [xe]%n RSA-Verschlüsselungsfunktion ? ? ? f*(y, (d, n)) y 0, y 1, y 2, . . . Geheimtext Codierung = [yd]%n ? ? ? Klartext RSA- Entschlüsselungsfunktion Sicherheit: Die Sicherheit des RSA-Verfahrens hängt davon ab, ob man die Zahl n in vertretbarer Zeit in ihre Primfaktoren p und q zerlegen kann. Bis heute gibt es keine schnellen Algorithmen, um eine Zahl in ihre Primfaktoren zu zerlegen. Das RSA-Verfahren ist bei groß gewählten Primzahlen recht sicher, da man aus dem öffentlichen Schlüssel den privaten Schlüssel bisher nicht in angemessener Zeit bestimmen kann.

83 Teil 5 Primzahlalgorithmen

84 Primzahltest Zur Durchführung des RSA-Verfahrens benötigt man große Primzahlen. Man wählt heute Primzahlen, die mit mindestens 512 Bit dargestellt werden. Das sind Zahlen in der Größenordnung 2512, also Zahlen mit mehr als 150 Dezimalstellen. Zur Bestimmung großer Primzahlen geht man wie folgt vor. Man erzeugt eine Zufallszahl im gewünschten Größenbereich und testet, ob es sich um eine Primzahl handelt. Hierzu benötigt man geeignete Primzahltests. Da es sehr viele Primzahlen im gewünschten Bereich gibt, muss man nicht in der Regel allzu viele Zahlen testen.

85 Primzahlen sind natürliche Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar sind. Beispiele: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, . . .

86 Primzahltest Aufgabe: Aus der Primzahleigenschaft ergibt sich direkt einfacher Algorithmus, mit dem man bei einer natürlichen Zahl n überprüfen kann, ob es sich um eine Primzahl handelt. (a) Formuliere den Algorithmus in Struktogrammform. (b) Implementiere und teste den Algorithmus. (c) Entwickle Möglichkeiten zur Verbesserungen des einfachen Algorithmus.

87 Ein einfaches Testverfahren def primzahl(n): if n <= 2: if n < 2: prim = False else: prim = True else: if n % 2 == 0: faktorgefunden = True else: faktorgefunden = False t = 3 while t*t <= n and not faktorgefunden: if n % t == 0: faktorgefunden = True else: t = t + 2 prim = not faktorgefunden return prim

88 Ein einfaches Testverfahren primzahlen = [ 11, 1009, 10007, 100003, 10000019, 100000007, 10000000019, 1000000000039, 100000037, 100000031, 1000000037, 1000000061, 100000000000000003, 100000000051, 100000000039, 1000000000117, . . . ] def primzahl(n): . . . from time import * for p in primzahlen: t 1 = clock() ergebnis = primzahl(p) t 2 = clock() t = t 2 - t 1 print("Primzahl: ", p, "Rechenzeit: ", t)

89 >>> Primzahl: Primzahl: Primzahl: Primzahl: Primzahl: . . . Laufzeitverhalten 11 Rechenzeit: 5. 86666741164 e-06 101 Rechenzeit: 8. 3809534452 e-06 1009 Rechenzeit: 1. 50857162014 e-05 10007 Rechenzeit: 3. 54793695847 e-05 100003 Rechenzeit: 0. 000101968266917 1000003 Rechenzeit: 0. 000324342898329 10000019 Rechenzeit: 0. 00104817791088 100000007 Rechenzeit: 0. 00332500359683 100007 Rechenzeit: 0. 0105655886432 1000019 Rechenzeit: 0. 0407208178693 1000003 Rechenzeit: 0. 140259725747 10000039 Rechenzeit: 0. 447675891768 100000037 Rechenzeit: 1. 41919042783 100000031 Rechenzeit: 4. 55093566361 1000000037 Rechenzeit: 14. 3208156344 1000000061 Rechenzeit: 45. 2250185429 1000000003 Rechenzeit: 144. 197546336 Aufgabe: Schätze ab, wie lange eine Überprüfung einer 150 -stelligen Primzahl in etwa dauert.

90 Probabilistische Testverfahren In der Praxis benutzt man heute oft sogenannte probabilistische Testverfahren, da sie sehr effizient arbeiten. Probabilistischen Testverfahren funktionieren nach dem folgenden Prinzip: Bei Übergabe einer natürlichen Zahl n erhält man als Rückgabe entweder "n ist keine Primzahl" oder "n ist wahrscheinlich eine Primzahl". Diese Testverfahren liefern also keine absolute Gewissheit, wenn sie das Ergebnis "n ist wahrscheinlich eine Primzahl" produzieren. Die übergebene Zahl n kann mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit auch keine Primzahl sein. Allerdings ist diese Wahrscheinlichkeit sehr gering, so dass man die Unsicherheit oft in Kauf nimmt. Eines dieser probabilistischer Testverfahren ist das Miller-Rabin-Verfahren, das im Folgenden getestet werden soll. Beachte, dass die Wiederholungszahl 20 (s. u. ) die Fehlerwahrscheinlichkeit beeinflusst. Setzt man diese Wiederholungszahl auf einen größeren Wert, so nimmt die Fehlerwahrscheinlichkeit ab.

91 Miller-Rabin-Test import random def miller_rabin_pass(a, n): d = n - 1 s = 0 while d % 2 == 0: d = d >> 1 s = s + 1 a_to_power = pow(a, d, n) if a_to_power == 1: return True for i in range(s-1): if a_to_power == n - 1: return True a_to_power = (a_to_power * a_to_power) % n return a_to_power == n - 1 def miller_rabin_test(n): for repeat in range(20): a = 0 while a == 0: a = random. randrange(n) if not miller_rabin_pass(a, n): return False return True

92 >>> Primzahl: Primzahl: Primzahl: Primzahl: Primzahl: Primzahl: Primzahl: Primzahl: Laufzeitverhalten 11 Rechenzeit: 0. 000118730173807 101 Rechenzeit: 0. 000144990494602 1009 Rechenzeit: 0. 000217904789575 10007 Rechenzeit: 0. 000181866689761 100003 Rechenzeit: 0. 000280761940414 1000003 Rechenzeit: 0. 00031400638908 10000019 Rechenzeit: 0. 000371276237622 100000007 Rechenzeit: 0. 000415974655997 100007 Rechenzeit: 0. 000454527041845 1000019 Rechenzeit: 0. 000569346104044 1000003 Rechenzeit: 0. 000617117538682 10000039 Rechenzeit: 0. 000658184210563 100000037 Rechenzeit: 0. 000720482631172 100000031 Rechenzeit: 0. 000901511225589 1000000037 Rechenzeit: 0. 000982527108892 1000000061 Rechenzeit: 0. 00114316204993 1000000003 Rechenzeit: 0. 00111746045936 10000000003 Rechenzeit: 0. 0011973588822 100000000051 Rechenzeit: 0. 00138956208121 100000000039 Rechenzeit: 0. 00151862876427 1000000000117 Rechenzeit: 0. 00166445735422 1000000000009 Rechenzeit: 0. 00163987322411 10000000000117 Rechenzeit: 0. 0019804192991 10000000000007 Rechenzeit: 0. 0020670224847 100000000000013 Rechenzeit: 0. 00199578438042 100000000000067 Rechenzeit: 0. 00229358759284 1000000000000103 Rechenzeit: 0. 00245701618502 10000000000000331 Rechenzeit: 0. 00275649558813 10000000000000319 Rechenzeit: 0. 003038374989

93 Primfaktorzerlegung 260 2 * 5 * 13 Eine der wichtigsten Eigenschaften von Primzahlen ist, dass sie als Bausteine der natürlichen Zahlen angesehen werden können. Satz: Jede natürliche Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben. Diese Darstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig. Beispiel: 260 = 2*2*5*13 = 22*5*13 Man nennt die Primzahlen, die in einer Produktdarstellung einer gegebenen Zahl vorkommen, auch Primfaktoren der Zahl. Das Faktorisierungsproblem besteht darin, eine vorgegebene Zahl in ein Produkt aus Primfaktoren zu zerlegen.

94 Aufgabe (a) Bei kleineren Zahlen kann man eine Primfaktorzerlegung oft direkt angeben. Bestimme eine Primfaktorzerlegung von n = 48 und n = 100. (b) Bei größeren Zahlen sollte man systematisch vorgehen, um die Primfaktoren zu bestimmen. Bestimme eine Primfaktorzerlegung von n = 221 und n = 585. (c) Entwickle zunächst einen Algorithmus zur Primfaktorzerlegung. Beschreibe in einem ersten Schritt in Worten das Verfahren, das du zur Primfaktorzerlegung von Zahlen benutzt. Beschreibe das Verfahren anschließend mit einem Struktogramm. Entwickle dann ein Programm zur Primfaktordarstellung. Hinweis: In Python bietet es sich an, eine Funktion primfaktoren(n) zu erstellen, die Liste der Primfaktoren zurückgibt.

95 Ein einfaches Faktorisierungsverfahren ALGORITHMUS primfaktoren(n): # Übergabe: n = 51 initialisiere die Liste faktoren: faktoren = [] # Initialisierung initialisiere die Hilfsvariable z: z = n faktoren = [] {faktoren -> []} SOLANGE z > 1: z=n {z -> 51} bestimme den kleinsten Primfaktor p von z mit Probedivisionen # Probedivisionen füge p in die Liste faktoren ein z % 3 -> 0 z = z // p Rückgabe: faktoren z % 2 -> 1 # Aktualisierung p=z {p -> 3} faktoren = faktoren + [p] {faktoren -> [3]} z = z // p {z -> 17} # Probedivisionen Aufgabe: Bestimme mit (einer geeigneten Implementierung) der Funktion primfaktoren(n) die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen 484639526894037745950720 und 565765434324543216797351. Was stellst du fest? Stelle eine Vermutung auf, warum es hier zu einem unterschiedlichen Laufzeitverhalten kommt. z % 2 -> 1 z % 3 -> 2 z % 4 -> 1 z % 5 -> 2 # Aktualisierung p=z {p -> 17} faktoren = faktoren + [p] {faktoren -> [3, 17]} z = z // p # Rückgabe: [3, 17] {z -> 1}

Laufzeitmessungen 96 from faktorisierung import primfaktoren testzahlen = [ from time import * 11, testzahlen = [. . . ] 101, for z in testzahlen: 1009, t 1 = clock() 10007, ergebnis = primfaktoren(z) 100003, t 2 = clock() 1000003, t = t 2 - t 1 10000019, print("Zahl: ", z) 100000007, print("Primfaktoren: ", ergebnis) 100007, print("Rechenzeit: ", t) 1000019, print() 1000003, Hinweis: Um Gesetzmäßigkeiten herauszufinden, sollte man systematisch vorgehen. Aufgabe: Führe die Messungen durch. Kannst du anhand der Zahlen erste Zusammenhänge erkennen? Kannst du Prognosen erstellen, wie lange man wohl bis zum nächsten Ergebnis warten muss? 10000039, 100000037, 100000031, 1000000037, 1000000061, 100000000000000003, 100000000051, 100000000039, . . . ]

97 Zusammenhänge und Prognosen Gesetzmäßigkeit: Wenn man die Anzahl der Stellen der Ausgangszahl um 2 erhöht, dann erhöht sich die Laufzeit um den Faktor 10. Jede zusätzliche Stelle bei der Ausgangszahl führt also dazu, dass die Laufzeit mit dem Faktor √ 10 multipliziert wird. . Es handelt sich hier um ein exponentielles Wachstumsverhalten, das man mathematisch mit einer Exponentialfunktion beschreiben kann: Wenn k die Anzahl der Stellen der Ausgangszahl angibt, dann erhält man eine Laufzeit vom Typ L(k) = c*(√ 10)k mit einer Konstanten c. Primfaktoren: [100000037] Prognose: Wenn die Zahl 100 Stellen haben soll, also 88 Stellen mehr als eine 12 -stellige Zahl, so benötigt man nach der gefundenen Gesetzmäßigkeit 1044 -mal so lange wie bei der 12 -stelligen Zahl - also etwa 1044 Sekunden. Zahl: 10000039 Primfaktoren: [10000039] Rechenzeit: 0. 906267137304 Zahl: 100000037 Rechenzeit: 2. 88270213114 Zahl: 100000031 Primfaktoren: [100000031] Rechenzeit: 9. 1279123464 1000000037 Primfaktoren: [1000000037] Rechenzeit: 28. 5701070946 Zahl: 1000000061 Primfaktoren: [1000000061] Rechenzeit: 91. 2736900919. . .

98 Fazit Algorithmen spielen bei der Entwicklung von Chiffriersystemen eine große Rolle. Im Fall des RSA-Verfahrens benötigt man einerseits gute Algorithmen, um das Verfahren überhaupt effizient durchführen zu können (z. B. schnell ein modulares Inverses bestimmen; schnell eine modulare Potenz bestimmen). Andererseits ist das Verfahren so angelegt, dass bestimmte Operation mit den bisher bekannten Algorithmen mit vertretbarem Rechenaufwand nicht durchgeführt werden können.

99 Literaturhinweise Folgende Materialien wurden hier benutzt: H. Witten, R. -H. Schulz: RSA & Co. in der Schule, Teil 1. LOG IN 140 S. 45 ff H. Witten, R. -H. Schulz: RSA & Co. in der Schule, Teil 2. LOG IN 143 S. 50 ff K. Merkert: http: //www. hsg-kl. de/faecher/inf/krypto/rsa/index. php http: //www. cryptool. org/download/RSA-Flash-de/player. html