Graphalgorithmen elementare A Graphen sind zur Reprsentation von

Graphalgorithmen ( elementare A. ) Graphen sind zur Repräsentation von Problemen vielseitig verwendbar, etwa Städte Verbindungswege Personen Relationen zwischen ihnen Rechner Verbindungen Aktionen zeitliche Abhängigkeiten Grundlegende Konzepte (Whlg. ) Gerichteter Graph (Digraph) G = (V, E) V: Menge von Knoten (vertices) E Í V x V: Menge von (gerichteten) Kanten (edges) wenn v und v' Anfangs- und Endknoten einer Kante sind, so heißen sie adjazent G. Heyer 1 Algorithmen und Datenstrukturen II

Eingangsgrad: indeg(v) = |{v' | (v', v) E}| Ausgangsgrad: outdeg(v) = |{v' | (v, v') E}| G' = (V', E') heißt Teilgraph von G = (V, E), gdw. V' Í V und E' Í E. G' = (V', E') heißt Untergraph von G = (V, E), gdw. V' Í V und E' = {(v, v') E | v, v' V'}. Eine Folge von Knoten (v 0, v 1, . . . , vk) heißt Weg (der Länge k) von v 0 nach vk, wenn gilt: für alle i, 0 i < k, (vi, vi+1) E. Ein Zyklus ist ein Weg von v nach v. Baum: gerichteter Graph, so daß es einen Knoten v gibt mit 1) indeg(v) = 0 und 2) v v impliziertindeg(v') = 1. G heißt ungerichteter Graph wenn gilt (v, v') E impliziert (v', v) E. G. Heyer 2 Algorithmen und Datenstrukturen II

Speicherung von Graphen a) Adjazenzmatrix Speichere Graphen G durch |V| x |V| Matrix AG, wobei Aij = 1 falls (vi, vj) E, 0 sonst. Beispiel: Speicherbedarf: O(|V|2) b) Adjazenzlisten Array A[1. . |V|] von Zeigern. Jeder Zeiger A[ i ] zeigt auf eine verkettete Liste, die alle direkten Nachfolger von vi enthält. Beispiel: Speicherbedarf: O(|V| + |E|) G. Heyer 3 Algorithmen und Datenstrukturen II

Welche Repräsenation geeigneter ist, hängt von dem Problem ab: Frage: Gibt es Kante von a nach b: Matrix Durchsuchen von Knoten in durch Nachbarschaft gegebener Reihenfolge: Listen Breitensuche: Bearbeite einen Knoten, der in n Schritten von u erreichbar ist, erst, wenn alle Knoten, die in n 1 Schritten erreichbar sind, abgearbeitet wurden. Kann einfach verwendet werden zur Berechnung der Länge des kürzesten Wegs von vorgegebenem v 0 zu anderen Knoten Adj(u) bezeichnet direkte Nachbarn von u; Q ist FIFO-Warteschlange. G. Heyer 4 Algorithmen und Datenstrukturen II

Abstände werden in array d gespeichert for (v in V ) d [v] = °; d [v 0] = 0; Q = {v 0}; while (Q {}) u = pop(Q); /*erstes Element aus Q entfernt und an v zugewiesen*/ for (v in Adj(u) ) { if (d [v] == ° ) { d [v] = d [u] + 1; Q = push (v, Q); } } Komplexität: jede Kante und jeder Knoten einmal besucht, deshalb O(|V| + |E|), falls G zusammenhängend |E| > |V| 1, damit Komplexität O(E). G. Heyer 5 Algorithmen und Datenstrukturen II

Tiefensuche: Bearbeite einen Knoten v erst dann, wenn alle seine Söhne bearbeitet sind (außer wenn ein Sohn auf dem Weg zu v liegt) Tiefensuche ( Knoten u ) { farbe [u] = „grau“; while (v in Adj(u)) if (farbe[v] == „weiss“) Tiefensuche(v); farbe[u] = „schwarz“; } weiss: noch nicht besucht grau: besucht, noch nicht abgeschlossen schwarz: abgeschlossen Komplexität O(E) G. Heyer 6 Algorithmen und Datenstrukturen II

Topologisches Sortieren: Eine topologische Sortierung eines gerichteten Graphen ist eine Sortierung der Knoten, d. h. eine bijektive Abbildung ord: V > {1, . . . , |V|}, so daß gilt: (v, v') E impliziert ord(v) < ord(v'). Satz: Ein Graph G ist azyklisch gdw er sich topologisch sortieren läßt. Beweis: <= klar => Induktion über |V|. Induktionsanfang: |V| = 1, keine Kante, bereits topologisch sortiert Induktionsschluß: |V| = n. Da G azyklisch ist, muß es einen Knoten v ohne Vorgänger geben. Setze ord(v) = 1. Durch Entfernen von v erhalten wir einen azyklischen Graphen G' mit |V'| = n 1, für den es nach Induktionsvoraussetzung topologische Sortierung ord' gibt. Die gesuchte topologische Sortierung für G ergibt sich durch ord(v') = ord'(v') + 1, für alle v' v. G. Heyer 7 Algorithmen und Datenstrukturen II

Aus dem Beweis ist rekursiver Algorithmus abzuleiten. Eleganter: Verwendung von Tiefensuche n = |V|; while (v in V) farbe[v] = „weiss“ ; { while ( v in V ) if (farbe[v] == „weiss“ ) Tiefensuche(v); } dabei muss Tiefensuche ergänzt werden um: ord[u] = n; n = n 1; Komplexität wieder O(|V| + |E|) Bemerkung: Algorithmus setzt voraus, daß Graph azyklisch ist. Soll zusätzlich Test auf Azyklizität vorgenommen werden: ergänze while Schleife in Tiefensuche um if (farbe[v] == „grau“ ) { „Abbruch, Graph nicht azyklisch“} G. Heyer 8 Algorithmen und Datenstrukturen II

Transitive Hülle: Warshall Algorithmus Sei G = (V, E) ein Graph. Die (reflexive) transitive Hülle von G ist der Graph G* = (V, E*) mit (u, v) E* gdw es gibt Pfad von u nach v in G (einschließlich Pfade Länge 0). Sei V = {1, . . . , n}. Definiere Boolesche Variable mi, jk wie folgt: mi, jk = 1 wenn es Pfad von i nach j über Knoten aus {1, . . . , k} gibt, 0 sonst. Es gilt offensichtlich mi, j 0 = 1 gdw. (i, j) in E oder i=j. Außerdem: mi, jk = mi, jk 1 v (mi, kk 1 & mk, jk 1) ( i, j ) E* gdw mi, jn = 1. Idee: berechne Matrizen mi, jk für k = 0, 1, . . . n. G. Heyer 9 Algorithmen und Datenstrukturen II

Sei A[i, j] Adjazenzmatrix. Algorithmus berechnet Adjazenzmatrix von G*. for ( k = 1; i = n ; i++) A[k, k] = 1; for ( k = 1; k = n ; k++) { for (i = 1; i = n; i++) { if (A[i, k]) { for (j = 1; j = n; j++) if ( A[k, j] ) A[i, j] = 1; } } } Fehler bei Schöning: Diagonale muß mit 1 vorbelegt sein (reflexive transitive Hülle enthält Kante ( i, i ) auch wenn E ( i, i ) nicht enthält). Komplexität: Offensichtlich Q(n 3) G. Heyer 10 Algorithmen und Datenstrukturen II

Läßt sich einfach modifizieren, um kürzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren zu berechnen. Kanten erhalten Werte > 0, die "Länge, Kosten" der Kante repräsentieren. Werden in Matrix E gespeichert, ° in Matrix bedeutet "keine Kante". E[i, i] mit 0 vorbelegt. for ( k = 1; k = n; k++) { for (i = 1; i = n; i++) { for (j = 1; j = n ; j++ ) { if (E[i, k] + E[k, j] < E[i, j] ) E[i, j] = E[i, k] + E[k, j] ; } } } Algorithmus beruht auf ei, jk = min( ei, jk 1, ei, kk 1 + ek, jk 1) wobei ei, jk = die kürzeste Weglänge von i nach j mit Zwischenknoten aus {1, . . . , k}. G. Heyer 11 Algorithmen und Datenstrukturen II

Beispiel: Kürzeste Wege von einem Knoten (Dijkstra-Algorithmus) gegeben: kanten bewerteter Graph G = (V, E) mit w: E > R+, Kantengewichte In folgendem Algorithmus ist: W: Liste der noch zu behandelnden Knoten F: Liste von Kanten, die auf kürzestem Weg von u zu anderen Knoten liegen l(v): kürzeste bisher gefundene Weglänge von u nach v k(v): optimale zu v führende Kante G. Heyer 12 Algorithmen und Datenstrukturen II

for (v in V ) { if ((u, v) in E ) { l(v) = w((u, v)); k(v) = (u, v) ; } else l(v) = °; W = V; F = {}; l(u) = 0; for (i = 1; i= n ; i++) { (finde einen Knoten v in W mit l(v) minimal; ) W = W {v}; if (v u) F = F + k(v); for (alle Nachfolger v' von v mit v' in W ) if (l(v) + w((v, v')) < l(v') ) { l(v') = l(v) + w((v, v')); k(v') = {v, v'}; } } } G. Heyer 13 Algorithmen und Datenstrukturen II

Beispiel: Kürzeste Wege von einem Knoten w((1, 2)) = 2 w((2, 3)) = 4 w((2, 4)) = 1 w((3, 2)) = 4 w((4, 3)) = 1 alle anderen ° u =1 W = {1, 2, 3, 4}, gestrichen wird in der Reihenfolge 1, 2, 4, 3 F = {(1, 2), (2, 4), (4, 3)} l[1]: °, 0, l[2]: 2 l[3]: °, 6, 4 l[4]: °, 3 G. Heyer k[1]: k[2]: (1, 2) k[3]: (2, 3), (4, 3) k[4]: (2, 4) 14 Algorithmen und Datenstrukturen II

Korrektheitsbeweis: nach i Schleifendurchgängen sind die Längen von i Knoten, die am nächsten an u liegen, korrekt berechnet und diese Knoten sind aus W entfernt. Induktionsanfang: u wird gewählt, l(u) = 0 Induktionsschritt: Nimm an, v wird aus W genommen. Der kürzeste Pfad zu v gehe über Vorgänger v' von v. Da v' näher an u liegt, ist v' nach Induktionsvoraussetzung mit richtiger Länge bereits entfernt. Da der kürzeste Weg zu v die Länge l(v') + w((v', v)) hat und dieser Wert bei Entfernen von v' bereits v zugewiesen wurde, wird v mit der richtigen Länge entfernt. Schleife muß bis n gehen, sonst F unvollständig. Komplexität: O(|V|2) G. Heyer 15 Algorithmen und Datenstrukturen II

Flüsse in Netzen: Ford Fulkerson Anwendungsprobleme: Wieviele Autos können durch ein Straßennetz fahren? Wieviel Abwasser fasst ein Kanalnetz? Wieviel Strom kann durch ein Leitungsnetz fließen? Probleme als Graphen repräsentieren: Def. : Ein (Fluß ) Netzwerk ist ein gerichteter Graph G = (V, E) mit ausgezeichneten Knoten q (Quelle) und s (Senke), sowie einer Kapazitätsfunktion c : E > Z+. Ein (zulässiger) Fluss für das Netzwerk ist eine Funktion f: E > Z, so daß gilt: Kapazitätsbeschränkung: f(e) c(e), für alle e in E. Flußerhaltung: für alle v in V{q, s}: S(v', v) E f((v', v)) = S(v, v') E f((v, v')) Der Wert von f, w(f), ist die Summe der Flußwerte der q verlassenden Kanten: S(q, v) E f((q, v)) G. Heyer 16 Algorithmen und Datenstrukturen II

Gesucht: Fluß mit maximalem Wert Def. : Ein Schnitt (A, B) eines Fluß-Netzwerks ist eine Zerlegung von V in disjunkte Teilmengen A und B, so dass q A und s B. Die Kapazität des Schnitts ist c(A, B) = Su A, v B c((u, v)). Def. : Sei f ein zulässiger Fluß für G = (V, E). Sei E^ = {(v, w) | (v, w) E oder (w, v) E} Wir definieren die Restkapazität einer Kante e = (v, w) E^ wie folgt: rest(e) = c(e) f(e) f((w, v)) falls e E falls (w, v) E Der Restgraph von f (bzgl. G) besteht aus den Kanten e E^, für die rest(e) > 0. Jede Kante e des Restgraphen ist mit rest(e) markiert. G. Heyer 17 Algorithmen und Datenstrukturen II

Jeder gerichtete Pfad von q nach s im Restgraphen heißt zunehmender Weg. Beispiel: Kante (q, v) (q, w) (v, s) (w, s) Kapazität 5 5 2 5 5 Fluß 5 3 2 3 5 w(f) = 8, nicht maximal Restgraph: Kante Restkap (q, w) 2 (w, v) 2 (v, s) 2 G. Heyer 18 Algorithmen und Datenstrukturen II

f kann so abgeändert werden: Kanten aus Restgraph, die in E sind, werden um 2 erhöht, Kanten, deren Umkehrungen in E sind, um 2 erniedrigt. Kante (q, v) (q, w) (v, s) (w, s) Kapazität 5 5 2 5 5 neuer Fluß 5 5 0 5 5 Theorem (Min-Cut-Max-Flow-Theorem): Sei f zulässiger Fluß für G. Folgende Aussagen sind äquivalent: 1) f ist maximaler Fluß in G. 2) Der Restgraph von f enthält keinen zunehmenden Weg. 3) w(f) = c(A, B) für einen Schnitt (A, B) von G. G. Heyer 19 Algorithmen und Datenstrukturen II

Daraus ergibt sich folgender Algorithmus: for (alle e in E ) f(e) = 0; while ( es gibt zunehmenden Weg p im Restgraphen Gf ) { r = min{rest(e) | e liegt in p}; for (alle e = (v, w) auf Pfad p ) if (e in E) f(e)= f(e) + r ; else f((w, v)) = f((w, v)) r; } G. Heyer 20 Algorithmen und Datenstrukturen II

Beispiel: Kante (q, v) (q, w) (v, s) (w, s) Kapazität 5 5 2 4 6 f 0 0 0 f 1 4 0 0 4 0 f 2 4 5 0 4 5 f 3 5 5 1 4 6 1. Pfad: q, v, s 2. Pfad: q, w, s 3. Pfad: q, v, w, s Laufzeit kann erheblich sein, schlimmstenfalls O(|f*| * |E|), wobei f* maximaler Fluß. Günstig ist, jeweils einen kürzesten Pfad (minimale Kantenzahl) von q nach s in Gf zu wählen. Edmonds und Karp haben gezeigt, daß die Komplexität dann O(|V| * |E|2 ) ist. G. Heyer 21 Algorithmen und Datenstrukturen II

Maximales Matching Beispiel: Eine Gruppe von Erwachsenen und eine Gruppe von Kindern besuchen Disneyland. Auf der Achterbahn darf ein Kind jeweils nur in Begleitung eines Erwachsenen fahren. Nur Erwachsene/Kinder, die sich kennen, sollen zusammen fahren. Wieviele Kinder können maximal eine Fahrt mitmachen? Def. : Ein bipartiter Graph ist ein Graph, dessen Knotenmenge V in zwei disjunkte Teilmengen V 1 und V 2 aufgeteilt ist, und dessen Kanten jeweils einen Knoten aus V 1 mit einem aus V 2 verbinden. Ein Matching ist eine Teilmenge der Kanten, so daß jeder Knoten in V in höchstens einer Kante vorkommt. Ein Matching M ist maximal, wenn es kein Matching M' gibt mit |M| < |M'|. Beispiel: Erwachsene bilden V 1, Kinder V 2, Kanten beschreiben, wer wen kennt. G. Heyer 22 Algorithmen und Datenstrukturen II

Maximales Matching kann auf maximalen Fluß zurückgeführt werden: 1) Quelle und Senke hinzufügen. 2) Kanten von V 1 nach V 2 richten. 3) Jeder Knoten in V 1 erhält eingehende Kante von der Quelle. 4) Jeder Knoten in V 2 erhält ausgehende Kante zur Senke. 5) Alle Kanten erhalten Kapazität c(e) = 1. Jetzt kann Ford Fulkerson Algorithmus angewendet werden. G. Heyer 23 Algorithmen und Datenstrukturen II

Aufspannende Bäume: Kruskal Algorithmus Ein weiteres Beispiel, wo Matroide in natürlicher Weise verwendet werden können, stammt aus dem Bereich der Graphentheorie. Sei G = ( V, E ) ein gegebener ungerichteter, zusammenhängender Graph. Einem solchen Graphen kann man ein Matroid zuordnen, das wir Graph Matroid nennen, wie folgt: Die Grundmenge ist die Menge aller Kanten E; und als Teilmengensystem U über E nehmen wir alle solche Kantenmengen, die keinen Kreis enthalten. Dieses Teilmengensystem ist tatsächlich ein Matroid, denn seien A und B zwei zyklenfreie Teilmengen von E mit |A| < |B|. G. Heyer 24 Algorithmen und Datenstrukturen II

Sowohl A als auch B zerlegen die zugrundeliegende Knotenmenge V in disjunkte Knotenbereiche: zwei Knoten gehören zum selben Bereich, wenn sie durch einen Weg in A (bzw. in B) miteinander verbunden sind. Sei V = V 1 V 2 . . . Vk die durch A induzierte Zerlegung. Jede Kante in B verbindet entweder zwei Knoten im selben Bereich Vi oder in zwei verschiedenen Bereichen Vi und Vj. In B können höchstens i (|Vi| - 1 ) = |A| viele Kanten vom ersten Typ vorkommen, da B zyklenfrei ist. Da |B| > |A| , muss es also mindestens eine Kante in B - A geben, die zwei verschiedene Bereiche verbindet. Eine solche Kante kann zu A hinzugefügt werden, ohne das ein Zyklus entsteht. Also haben wir es mit einem Matroid zu tun. G. Heyer 25 Algorithmen und Datenstrukturen II

Nächste Annahme, es sei eine Gewichtsfunktion w : E gegeben, also eine Gewichtung der Kanten des zugrunde liegenden Graphen. Der kanonische Greedy-Algorithmus berechnet eine maximale Menge von Kanten mit maximalem Gewicht ( oder minimalem Gewicht je nachdem, ob wir die Kanten absteigend oder aufsteigend anordnen). Da die Kantenmenge maximal ist, besteht diese nur noch aus einer Zusammenhangs komponente, das heißt, das Ergebnis ist ein sogenannter aufspannender Baum des Graphen G. Also ein zusammenhängender Teilgraph, auf dem alle Knoten vorkommen, und der keinen Zyklus enthält. Dieser Algorithmus (normalerweise in der Variante, dass ein aufspannender Baum mit minimalem Gewicht gefunden wird) heißt auch Kruskal Algorithmus. G. Heyer 26 Algorithmen und Datenstrukturen II

Beispiel: Gegeben sei folgender kanten-bewerteter Graph: 4 5 3 3 2 5 6 8 5 6 2 4 G. Heyer 7 6 27 Algorithmen und Datenstrukturen II

Der Kruskal-Algorithmus wählt nun nach aufsteigenden Kantengewicht Kante für Kante aus solange diese Kante keinen Kreis schließt. Das Ergebnis ist folgender aufspannender Baum mit minimalem Kantengewicht, nämlich 2 + 3 + 4 + 5 = 24 (gestrichelt dargestellt). 4 5 3 3 2 5 6 8 2 4 G. Heyer 7 6 28 Algorithmen und Datenstrukturen II

Sofern man nach absteigendem Kantengewicht die Kanten auswählt, erhält man einen aufspannenden Baum mit maximalem Kantengewicht, nämlich 8 + 7 + 6 + 6 + 5 = 43 (wieder gestrichelt gezeichnet). 4 5 3 3 2 5 6 8 2 4 G. Heyer 7 6 29 Algorithmen und Datenstrukturen II

Kürzeste Wege: Dijkstra Algorithmus Gegeben sei wieder ein kanten-bewerteter Graph, G = (V, E) und w : E + , wobei ein Knoten u V besonders ausgezeichnet ist. Gesucht sind alle kürzesten Wege von u aus zu jedem beliebigem Knoten v V. Der Algorithmus von Dijkstra löst dieses Problem wie folgt: Hierbei ist W eine Liste der noch zu sondierenden Knoten (am Anfang ist W = V , am Ende ist W = 0 ) ; F ist eine Auswahl an Kanten, welche die kürzesten Wege von u aus zu allen anderen Knoten ausmachen; l (v) ist die kürzestmögliche Weglänge von u nach v und k( v ) ist die optimale zu v führende Kante. G. Heyer 30 Algorithmen und Datenstrukturen II

Dijkstra Algorithmus for ( v V ) l (v) = w ( { u, v } ) , { u, v } E, , sonst { W = V ; F = 0 ; l (u) = 0 ; } for ( i = 1 ; i = n 1 ; i++ ) { Finde einen Knoten v W mit l (v) minimal ; W=W {v}; if ( v u ) F = F { k (v) } ; for ( alle Nachbarn v‘ von v W ) { if ( l(v) + w ( { v, v‘ }) < l ( v‘ ) ) { l ( v‘) = l (v) + w ( { v, v‘ }) ; k ( v‘) = { v, v‘ } ; } } } G. Heyer 31 Algorithmen und Datenstrukturen II

Beispielgraph (wie oben) 4 v w 5 3 3 2 u x 5 y 6 5 6 8 z 4 s 6 7 2 t u ist Startknoten G. Heyer 32 Algorithmen und Datenstrukturen II

Vom Startknoten u aus entwickelt der Dijkstra Algorithmus die folgenden (gestrichelten ) Pfade (dies sind die Kanten in F). Hierbei werden die Knoten in folgender Reihenfolge aus W entfernt: u, x, v, w, y, s, z, t. 4 v w 5 3 3 2 u x 5 y 6 8 z G. Heyer 5 6 s 4 33 6 7 2 t Algorithmen und Datenstrukturen II

Diese Pfade bilden wieder einen aufspannenden Baum, der allerdings nicht minimales Gewicht hat; was stattdessen minimiert wird, sind die Wegstrecken von u aus gesehen. Was die Komplexität des Dijkstra Algorithmus bestrifft, so sieht man, dass eine äußere Schleife durchlaufen werden muss; diese liefert den Faktor O(|V|). Im Inneren dieser Schleife ist aber eine weitere, die für das Auffinden des Minimums zuständig ist. ( Komplexität O(|V|)). Das Aufsuchen aller Nachbarn von v kann mit O(|V|) abgeschätzt werden. Daher ist die Komplexität des Dijkstra Algorithmus beschränkt durch O(|V|2). G. Heyer 34 Algorithmen und Datenstrukturen II

Die Korrektheit des Dijkstra Algorithmus‘ kann man sich durch Aufzeigen der entsprechenden Matroid-Struktur klarmachen, und somit auf die Korrektheit des kanonischen Greedy-Algorithmus‘ für Matroide zurückführen. Man wählt dieses Mal als Grundmenge die Menge aller zyklenfreien Pfade vom Startknoten u aus. Das Teilmengensystem U über dieser Grundmenge besteht aus allen solchen Pfadmengen, die auf verschiedene Endknoten führen. Man sieht leicht ein, dass diese Struktur ein Matroid ist, denn wenn A und B Pfadmengen aus U sind mit |A < |B| , dann gibt es in A genau |A| verschiedene Endknoten und in B befindet sich mindestens ein Pfad mit einem weiteren Endknoten, der in A nicht vorkommt. Daher kann A um diesen Pfad erweitert werden. G. Heyer 35 Algorithmen und Datenstrukturen II

Notwendig ist noch eine geeignete Gewichtsfunktion w‘ auf der Grundmenge, also auf den von u ausgehenden Pfaden. Sei p ein solcher Pfad. Dann setzen wir w‘( p ) = w( k ) k liegt auf p Man überzeugt sich leicht, dass der kanonische Greedy Algorithmus für dieses Matroid und diese Gewichtsfunktion w‘ im Ablauf und im erzeugten Ergebnis exakt mit dem Dijkstra. Algorithmus übereinstimmt. Der Dijkstra-Algorithmus ist nur effizienter formuliert; man muss nicht alle zyklenfreien Pfade, die von u ausgehen, erzeugen und nach aufsteigenden w‘-Werten sortieren, wie dies beim kanonischen Greedy Algorithmus vorgesehen ist. G. Heyer 36 Algorithmen und Datenstrukturen II

Im Beispiel oben wählt der kanonische Greedy-Algorithmus der Reihe nach folgende Pfade: Pfad p w‘(p) u 0 u x 2 u v 3 u x w 5 u x y 7 u x s 7 u z 8 u x s t 9 G. Heyer 37 Algorithmen und Datenstrukturen II

Nachbemerkung: Zum Schluss kann man noch anmerken, dass man den Dijkstra-Algorithmus durchaus auch als einen einfachen dynamischen-Programmier-Algorithmus ansehen kann, denn es wird die zunächst leere ( eindimensionale) Tabelle der l-Werte aufgebaut, die kürzesten Weglängen angibt. In jedem Erweiterungsschritt wird auf die bereits berechneten l-Werte zurückgegriffen. Es gilt auch das Bellmannsche Optimierungsprinzip: Die kürzeste Wegstrecke von u nach v erhält man, indem man denjenigen Vorgänger v‘ von v auswählt, der den Wert l (v‘) + w ({ v‘ , v }) minimiert. Dieses Vorgehen entspricht also dem dynamischen Programmier-Paradigma. G. Heyer 38 Algorithmen und Datenstrukturen II