Prelucrarea semnalelor an II Facultatea de Inginerie Electrica

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Prelucrarea semnalelor 2 x 14 = 28 ore curs; 1 x 14 =14 ore laborator; program: miercuri 10 -12 EA 004 laborator: EC 103 consultatii: miercuri 14 -16 EB 129 Examinare scrisa - probleme Nota finala: 0. 5 examen+0. 3 laborator + 0. 2 teme de casa (+ 0. 05 lucrari curs); Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro Titular curs: Prof. dr. ing. Mihaela Albu Laborator: s. l. dr. ing. Felix Adochiei ing. drd. Ana Toma

Prelucrarea semnalelor, Programa cursului: an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 1. Introducere: Repere temporale esenţiale în domeniul prelucrarii semnalelor. Semnale şi sisteme analogice si numerice. Semnale periodice si concentratori de informatie; agregarea datelor. 2. Breviar matematic. Convolutie; Transformate uzuale: Analiza Fourier; Transformate Fourier; Transformata z. 3. Simularea numerică: simularea numerică a sistemelor analogice (teoreme, limitări). Convoluţia semnalelor numerice. 4. Filtre. Clasificare şi implementare: filtre FIR (cu faza liniara); filtre IIR (Butterworth; Bessel; Cebisev; eliptice; transformari in frecventa). Filtre numerice (MA, Windowed-sinc, specializate; metode de proiectare prin transformarea filtrelor analogice in filtre numerice). 5. Procese stochastice. Semnale aleatoare. Elemente de prelucrare Prof. Mihaela Albu numerica a semnalelor aleatoare in sisteme liniare. mihaela. albu@upb. ro

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Integrala de convoluţie Prin definiţie, integrala de convoluţie a două semnale in timp continuu este explicitată de relaţia: Existenţa integralei de convoluţie este asigurată dacă x(t) şi y(t) sunt absolut integrabile pe (- , ), adică: Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro 3/50

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Proprietăţi remarcabile ale integralei de convoluţie: • comutativitatea: • asociativitatea: • distributivitatea: • convoluţia cu semnalul Dirac: • convoluţia cu semnalul treaptă unitate u(t): Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro 4/50

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Proprietăţi remarcabile ale integralei de convoluţie Exemplu: Fie semnalele x 1(t) şi x 2(t) descrise de relaţiile: Si se va obţine: Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro 5/50

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Convolutia in domeniul timp Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Convolutia in frecventa Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Convolutia in frecventa si ferestre Obs: Trunchierea unui semnal de durata infinita este echivalenta cu inmultirea lui cu o fereastra de durata finita. Inmultirea unei sinusoide cu un impuls dreptunghiular determina o sinusoida cu durata finita. Semnalele uzuale sunt de durata finita! Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Semnale trunchiate in domeniul frecventa Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Trunchierea semnalelor cu ferestre de durata finita Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Trunchierea semnalelor cu ferestre de durata finita. Tipuri ferestre Dreptunghiulara Triunghiulara (Bartlett) Blackmann Hamming Hanning … Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Caracterizarea sistemelor Pentru a evalua proprietatile unui sistem a carui descriere completa nu este disponibila, se efectueaza teste de tipul intrare/iesire: se aplica la intrarea sistemului unsemnal x(t) sau x[n] si se masoara semnalul la iesire y(t) , respectiv y[n]. Testul se poate repeta cu diferite semnale de intrare, pina cind din analiza semnalelor de iesire corespunzatoare se decide daca sistemul este: Liniar Invariant in timp Cauzal Stabil Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro 12/50

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Semnale in sisteme liniare si invariante in timp Sistemele in timp continuu care sunt liniare si invariante in timp (SLIT), numite uzual si sisteme LTI [linear and time-invariant] reprezinta o clasa imporanta de sisteme. Pentru descrierea acestor sisteme (cauzale!) se folosesc semnale tipice de intrare/iesire si operatori/tehnici care sa permita o analiza mai simpla a acestor semnale: · raspunsul la impuls si integrala de convolutie, · ecuatii diferentiale (liniare) · caracteristica de frecventa (pentru sisteme stabile) · functia de transfer (in spatiul transformatei Laplace) Caracterizarea SLIT este de mare importanta in realizarea controlului sistemelor (obiectiv: sa se obtina un anumit tip de raspuns la o anumita clasa de semnale de intrare). Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro 13/50

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Semnale in sisteme liniare si invariante in timp Un semnal in timp continuu este o functie de timp x(t), pentru care in plus vom admite ca este definita si are valori reale in orice moment -¥ < t < ¥. Un sistem in timp continuu accepta la intrare un semnal in timp continuu x(t), si va genera la iesire un alt semnal in timp continuu y(t). Un sistem poate fi de aceea reprezentat ca un opeator "S" : y(t) = S [x(t)] Un sistem liniar in timp continuu va avea urmatoarea proprietate: Pentru orice doua semnale de intrare x 1(t), x 2(t), si orice constanta reala a, semnalul de raspuns al sistemului va satisface relatiile: S [ x 1(t) + x 2(t)] = S [x 1(t)] + S [x 2(t)] si S [ a x 1(t) ] = a S [x 1(t) ] Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro 14/50

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Semnale in sisteme liniare si invariante in timp Un sistem invariant in timp are urmatoarea proprietate (invarainta la deplasarea in timp): Daca prin aplicarea la intrarea sistemului a semnalului x(t) se obtine semnalul y(t): y(t) = S [x(t)] atunci, pentru orice constanta reala T, y(t - T) = S [x(t - T)] Exemple de SLIT: Sistemul de amplificare cu o constanta (constant-gain system), y(t) = b x(t) Combinatii liniare ale semnalelor de intrare deplasate in timp : y(t) = 3 x(t) - 2 x(t - 4) + 5 x(t + 6) Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro 15/50

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Semnale in sisteme liniare si invariante in timp Reprezentarea prin integrala de convolutie Un sistem a carui comportare la orice semnal de intrare x(t) poate fi descrisa prin integrala de convolutie: unde h(t) este un semnal specificat, este un SLIT. In plus, orice SLIT poate fi reprezentat prin acest tip de relatie, unde h(t) poarta numele de raspuns la impuls al sistemului. Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro 16/50

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Sisteme in timp continuu https: //www. youtube. com/watch? v=PV 93 ue. Rgi. XE http: //pages. jh. edu/~signals/lecture 1/frames. html Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro 17/50

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Sisteme in timp continuu Exercitii on-line disponibile la: http: //pages. jh. edu/~signals/lecture 1/frames. html x 1(t)=u(t) Sistemul este. . . Liniar Yes No invariant in timp Yes No Cauzal Yes No fara memorie Yes No Stabil Yes No Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro 18/50

Prelucrarea semnalelor, Sisteme in timp continuu an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Exercitii on-line disponibile la: http: //pages. jh. edu/~signals/lecture 1/frames. html x 1(t)=u(t) x 2(t)=exp(-t)*u(t) x 3 (t) = x 1 (t) + x 2 (t) Sistemul este. . . Liniar Yes No invariant in timp Yes No Cauzal Yes No fara memorie Yes No Stabil Yes No Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro 19/50

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Sisteme in timp continuu Exercitii on-line disponibile la: http: //pages. jh. edu/~signals/lecture 1/frames. html x 1(t)=u(t) x 2(t)=sin(t) Sistemul este. . . Liniar Yes No invariant in timp Yes No Cauzal Yes No fara memorie Yes No Stabil Yes No Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro 20/50

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Sisteme in timp discret Semnalele în timp discret, obţinute în urma eşantionării (discretizării periodice) a semnalelor în timp continuu, vor fi prelucrate ca secvenţe de intrare/ieşire în cadrul unor sisteme în timp discret: S este un operator ale cărui particularităţi reflectă proprietăţile specifice sistemului : Liniaritate invarianta in timp stabilitate Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro 25/50

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Operatorul de convoluţie in timp discret: Fie semnalele x[n] şi h[n]. Prin definiţie, produsul de convoluţie y[n] a două semnale in timp discret este explicitat de relaţia: Observatie: operatorul de convolutie in timp discret este comutativ, asociativ, distributiv, ca si cel de convolutie in timp continuu Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro 26/50

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Operatorul de convolutie în timp discret Exemplu: Fie semnalul x[n] aplicat la intrarea unui sistem descris de funcţia pondere h[n]: Se doreste răspunsul sistemului y[n], la semnalul de intrare x[n]: Se va obtine: Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro 27/50

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Proprietăţi ale sistemelor în timp discret Liniaritatea: Un sistem liniar satisface principiul superpoziţiei. Exemple: Sistem liniar: Sistem neliniar: Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro 28/50

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Proprietăţi ale sistemelor în timp discret Invarianţa în timp: Exemple: Aratati ca sistemul descris de: nu satisface proprietatea de invarianta in timp decit pentru M=1 Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro 29/50

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Proprietăţi ale sistemelor în timp discret Cauzalitatea: Cauzalitatea este o proprietate ce presupune existenţa unui semnal de răspuns, neanticipativ, pentru orice secvenţă de intrare în sistemul cauzal. Cu alte cuvinte, semnalul de ieşire la n=n 0 depinde numai de valorile semnalului de intrare la “momentele anterioare” n n 0. Exemple: Sistemul (“linia de întârziere”) descris de: este cauzal pentru n 0 0. Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro 30/50

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Proprietăţi ale sistemelor în timp discret Stabilitatea : Stabilitatea este proprietatea care presupune că la orice semnal cu valori finite (mărginit) corespunde un răspuns cu valori finite (mărginit): BIBO (Bounded Input, Bounded Output): Exemple: Sistemul descris de: este stabil: Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro 31/50

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Proprietăţi ale sistemelor în timp discret Reprezentarea funcţionării sistemelor în timp discret prin operaţia de convoluţie: Pentru sistemul în timp discret considerat liniar (descris de operatorul S, cu proprietăţi de liniaritate), se consideră că se aplică la intrare impulsul unitate întârziat şi se notează răspunsul corespunzător cu hk[n] Pentru un semnal de intrare oarecare x[n] se poate scrie: Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro 32/50

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Proprietăţi ale sistemelor în timp discret Reprezentarea funcţionării sistemelor în timp discret prin operaţia de convoluţie: si deci se obtine : Se observă, însă, faptul că hk[n] depinde de parametrul k, ceea ce implică, teoretic, necesitatea determinării unei infinităţi de valori ale acestei secvenţe (- < k < ). Daca insa sistemul considerat este şi invariant în timp se obţine: Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro 33/50

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Proprietăţi ale sistemelor în timp discret Reprezentarea funcţionării sistemelor în timp discret prin operaţia de convoluţie: si deci se obtine : În cazul particular descris mai sus, cel al sistemelor liniare invariante în timp (SLIT), funcţia h[n] poartă denumirea de funcţie pondere. Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro 34/50

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Proprietăţi ale sistemelor în timp discret Proprietăţi ale funcţiei pondere Funcţia pondere este caracteristică SLIT şi defineşte complet comportarea unui SLIT. În plus, dacă sistemul este stabil şi cauzal, aceste proprietăţi vor determina existenţa unor restricţii particulare ale funcţiei h[n]. Echivalenţa descrierii semnalelor prin intermediul funcţiei pondere h[n] asigură corectitudinea efectuării unui procedeu invers: din proprietăţile unei funcţii pondere h[n] date, se pot deduce caracteristicile sistemului descris de aceasta. Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro 35/50

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Proprietăţi ale sistemelor în timp discret Proprietăţi ale funcţiei pondere. Stabilitatea SLIT: h este o funcţie "absolut sumabilă" Cauzalitatea SLIT: Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro 36/50

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Intrebari / semnalare erori (!). Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro albu@ieee. org