Informatica industriala Cursul 9 Prelucrarea digitala a semnalelor

Informatica industriala Cursul 9 Prelucrarea digitala a semnalelor

Procesarea semnalelor n Obiective: n extragerea din semnal a unor componente considerate relevante pentru problema studiată (ex. : filtrare), n transformarea semnalului pe baza unei anumite reguli (amplificare/atenuare, întârziere, etc. ). n Domenii: n Analiza semnalelor - domeniul care se ocupă de descompunerea semnalelor complexe în semnale elementare n n Un semnal complex se descrie ca o suma (ponderata) de semnale simple; (ponderea=amplitudinea semnalului simplu) Sinteza semnalelor - generarea unor semnale complexe, cu anumite proprietăţi date, care se obţin prin combinarea unor semnale elementare. n Ex: modulatoare, multiplexare, generatoare de semnal, etc.

Semnale n Def. : semnal - o mărime fizică purtătoare a unei informaţii n Clasificare: n Din punct de vedere al predictibilităţii, semnalele pot fi: n n n Din punct de vedere al evoluţiei în timp semnalele pot fi: n n n deterministe, dacă evoluţia lor este previzibilă şi se pot descrie prin funcţii de timp (ex. : x(t) = A sin(ωt+φ)) aleatoare, dacă au o evoluţie imprevizibilă sau mult prea complexă pentru a putea fi exprimată printr-o expresie matematică (ex. : zgomot) continue, dacă sunt descrise prin funcţii continue de timp discrete, dacă au valori definite doar la anumite momente de timp Din punct de vedere al amplitudinii semnalele pot fi : n n continue, dacă domeniul de variaţie al amplitudinii este un interval continuu cuantizate, dacă amplitudinea poate lua un număr finit de valori

Semnale n Semnale analogice - semnalele continue în timp şi ca domeniu de valori n Se studiaza in teoria clasica a semnalelor (integrale/derivate continue, transformata Fourier, Laplace, etc. ) n Semnale digitale – semnale discrete din punct de vedere al evoluţiei în timp şi cuantizate ca domeniu de valori sunt denumite n Se studiaza prin teoria semnalelor digitale sau discrete (sume integrale, transformata in Z, etc. ) timp amplitudine Continuu Discret x(n. T) x(t) Continuu t t x(n. T) x(t) Cuantizat t t

Sisteme liniare n Sisteme descrise prin ecuatii integro-diferentiale liniare n Sisteme la care este valabil principiul suprapunerii efectelor: n Efectul unui semnal complex asupra unui sistem este egal cu suma efectelor produse de semnalele simple ce compun semnalul complex n Efectul produs de un sistem liniar asupra unui semnal complex de intrare este egal cu suma efectelor produse asupra componentelor semnalului n Sisteme reale: n n n Neliniare in ansamblu Linearizabile pe portiuni Cauze de neliniaritate: n n n Efect de saturatie (la valori prea mari) Legea de variatie a sistemului este neliniara prin natura fenomenelor incorporate Transformari de stare (ex: fierbere, rupere, etc. )

Exemple de semnale (in domeniul continuu) n Semnal sinusoidal x(t) = A sin(ωt+φ) = A sin (2πf*t + φ) = A sin (2π/T * t + φ) unde: A – amplitudinea semnalului ω – pulsaţia φ – faza iniţială a semnalului f – frecvenţa semnalului x(t) T – perioada A t – timpul φ t

Exemple de semnale n Semnal de tip treaptă unitară 0 pentru t < 0 σ(t) = σ(t) 1 pentru t > 0 t n Semnal rampă 0, pentru t <0 Vsat x(t) = tg α = a a*t, pentru t ≥ 0 α

Exemple de semnale n Semnal de tip impuls aperiodic 0 pentru t < 0 π(t) = 1 pentru 0 < t < Δt 0 pentru t > Δt t Δt N x(t) = Σ ak π(t-k. T) a 1 k=0 Δt = T a 2 a 3 a 0 t T

Exemple de semnale Impulsuri periodice 1, pentru t є (k. T, k. T+ Δt), k = 0, x(t) = 0, în rest n ∞ Δt t T n Semnal de tip Dirac 0 pentru t < 0 δ(t) = lim 1/ Δt pentru 0 ≤ t ≤ Δt Δt 0 0 pentru t > Δt 1/ Δt Δt Un semnal discret se exprimă ca o sumă ponderată de impulsuri Dirac. : N x(t) = Σ ak δ(t-k. T) k=0

Semnale in domeniul discret n Semnal discretizat in timp: secventa de valori ale semnalului la momente k. T (T- perioada de esantionare a semnalului) n Exemple: a. Semnal sinusoidal discret x(k. T) = A sin(ω*k. T+φ) b. Semnal treaptă unitară în domeniul discret 0, pentru k < 0 σ(k. T) = 1, pentru k ≥ 0 c. Impuls Dirac discret 1, pentru k = 0 δ(k. T) = 0, pentru k ≠ 0

Analiza semnalelor n Aproximarea semnalelor Un anumit semnal x(t) se poate descompune într-un număr finit sau infinit de funcţii elementare n N x(t) = Σ an* fn(t) n=0 unde: an – ponderea funcţiei fn (valoare constantă) fn(t) – set predefinit de funcţii elementare N – numărul maxim de funcţii elementare necesare pentru exprimarea funcţiei x(t)

Set ortogonal de semnale elementare (simple) n Relatia de ortogonalitate intre functii (semnale) elementare t 0+T ∫ fm(t)*fn(t) dt= t 0 unde: C 2 dacă m = n 0 dacă n ≠ m fm şi fn - două funcţii elementare C – norma (mărimea) funcţiei elementare T – intervalul de ortogonalitate t 0 – momentul considerat pentru calcul Un set de funcţii elementare este ortogonal dacă se respectă proprietatea de ortogonalitate pentru oricare două perechi de funcţii

Aproximarea unui semnal x(t) prin functii elementare ortogonale n Un set de funcţii elementare este ortogonal dacă se respectă proprietatea de ortogonalitate pentru oricare două perechi de funcţii t 0+T N ∫ x(t)*fm(t) dt = ∫ (Σ an* fn(t))*fm(t) dt = n=0 t 0 t 0+T = Σ an ( ∫ fn(t)*fm(t)dt) = am* C 2 , n=0 t 0 N am = 1/C 2 t 0+T ∫ x(t)*fm(t) dt t 0 de unde rezultă

Componenta spectrala a unui semnal complex n a 0, a 1, … an – amplitudinile componentelor spectrale semnalului a 1 a 0 a 2 a 3 a 4 a 5 n

Transformata Fourier discretă n Set ortogonal de semnale trigonometrice: n 1/√ 2 , cos(n ωt), sin(n ωt), n = 0. . N, ω=2π/T n Se verifică relaţiile de ortogonalitate: t 0+T ∫ cos (m ωt)*cos (n ωt) dt = t 0+T ∫ cos (m ωt)*sin (n ωt) dt = 0 t 0 T/2, pentru n = m 0, pentru n ≠ m

Analiza Fourier a unui semnal n exprimarea semnalului ca o sumă ponderată de semnale sinusoidale de forma: ∞ ∞ x(t) = C 0 + Σ Cn cos(n ωt) + Σ Sn sin(n ωt) n=1 t 0+T Cn = 2/T ∫ x(t)*cos (n ωt) dt t 0+T Sn = 2/T ∫ x(t)*sin (n ωt) dt t 0+T C 0 =√ 2/T ∫ x(t) dt t 0 n=1

Transformata Fourier discretă a unui semnal periodic x(t), de perioadă T n forma trigonometrică a transformatei Fourier discrete ∞ ∞ F(t) = C 0 + Σ Cn cos(n ωt) + Σ Sn sin(n ωt) n=1 F(t)=x(t) F(t) t t x(t) - semnal periodic x(t) – semnal aperiodic

Forma armonică a transformatei Fourier discrete n Perechile de termeni Sn sin(n ωt) şi Cn cos (n ωt) se pot exprima printr-o singură funcţie de forma An cos (n ωt + φn) unde: n An 2 = Cn 2 +Sn 2 - reprezintă pătratul amplitudinii armonicii de rang n, iar n φn = - arctg Sn/Cn - reprezintă defazajul armonicii de rang n ∞ F(t) = A 0 + Σ An cos(n ωt + φn) n=1 unde: cos(ωt + φ1) – este componenta fundamentală de frecvenţă f cos(nωt + φn) – este armonica de rang n şi frecvenţă n*f φn – este faza (unghiul de defazaj) al armonicii n An – amplitudinea armonicii de rang n

Forma complexă a transformatei Fourier discrete n În expresia de mai sus, cos(n ωt + φn) se poate considera ca parte reală a numărului complex e j(n ωt + φn) (de reamintit forma trigonometrică a unui număr complex e j = cos +jsin ). Astfel termenul n din sumă devine: An cos(n ωt + φn) = Re [An e j(n ωt + φn)] = Re [Anc e j(n ωt) ] unde: Anc = An * e j(φn) – este amplitudinea complexă a armonicii n ∞ F(t) = A 0 + Re Σ Anc e j(n ωt) n=1 +∞ F(t) = 1/2 Σ Anc ej(n ωt) -∞

Exemple de transformate Fourier pentru semnale simple n pentru semnal constant: A x(t) = A ωt - transformata Fourier are numai componenta constantă C 0 = A, Cn=0, Sn=0, pt, n=1. . ∞ n pentru semnal sinusoidal: A x(t) = A sin (ω0 t) ωt - transformata Fourier are numai componenta fundamentală de pulsaţie ω0 t C 0 = 0, Cn=0, S 1=A, Sn=0, pt, n=2. . ∞ 0 ωt

Exemple de transformate Fourier pentru semnale simple n semnal dreptunghiular: A pentru t [2 k. T, (2 k+1)T) x(t) = -A pentru t [ (2 k+1)T, (2 k+2)T) +∞ x(t) = 2 A/ Σ 1/(2 k+1) * sin((2 k+1) ωt) k=0 - transformata Fourier conţine un număr infinit de funcţii sinus; amplitudinea sinusurilor scade asimptotic la 0, în raport cu pulsaţia Sn S 2 k+1 =2 A/(2 k+1) C 0 = 0, Cn=0, S 2 k+1=2 A/(2 k+1) - O aproximare buna a semnalului dreptunghiular se poate face cu primele 3 componente spectrale ω 2ω 3ω 4ω 5ω ω

Transformata Fourier pentru semnale aperiodice (de tip impuls) n Impuls – semnal aperiodic de durata limitata Exemple de semnale de tip impuls: n semnal dreptunghiular singular n impuls Dirac singular n o semiperioadă a unui semnal sinusoidal n Perioada semnalului “T” tinde la infinit n Pulsatia ω tinde la 0 => distanta dintre componentele spectrale este infinitezimal de mica n In transformata Fourier coeficientii Anc devin o funcţie continuă de variabilă jω n Integrala care calculeaza coeficientii=>transformata Fourier continua: n ∞ X(jω) = ∫ x(t) * e- jωt dt -∞ n Transformata Fourier inversă permite generarea (reconstruirea) unui semnal pe baza distribuţiei sale spectrale ∞ x(t) = 1/2π ∫ X(jω) * e- jωt dω -∞

Proprietatile Transformatei Fourier n Teorema întârzierii F(x(t-t 0)) = e-jωt 0 X(jω) n Teorema derivării F( dx(t)/dt) ) = jω X(jω) n Teorema integrării F(∫ x(t)dt) ) = 1/jω * X(jω) n Teorema convoluţiei Convoluţia a două funcţii x(t) şi y(t) se defineşte în felul următor: ∞ x(t)○y(t) = ∫ x(τ)*y(t - τ) dτ -∞ Convoluţia se utilizează frecvent pentru evaluarea efectului produs de un sistem liniar asupra unui semnal complex. ∞ F [ (∫ x(τ)*y(t - τ) dτ ] = X(jω) *Y(jω) -∞