Prelucrarea semnalelor an II Facultatea de Inginerie Electrica

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Prelucrarea semnalelor 2 x 14 = 28 ore curs; 1 x 14 =14 ore laborator; program: miercuri 10 -12 EA 004 laborator: EC 103 consultatii: miercuri 14 -16 EB 129 Examinare scrisa - probleme Nota finala: 0. 5 examen+0. 3 laborator + 0. 2 teme de casa (+ 0. 05 lucrari curs); Titular curs: Prof. dr. ing. Mihaela Albu Laborator: s. l. dr. ing. Felix Adochiei ing. drd. Ana Toma Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro

Prelucrarea semnalelor, Programa cursului: an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 1. Introducere: Repere temporale esenţiale în domeniul prelucrarii semnalelor. Semnale şi sisteme analogice si numerice. Semnale periodice si concentratori de informatie; agregarea datelor. 2. Breviar matematic. Convolutie; Transformate uzuale: Analiza Fourier; Transformate Fourier; Transformata z. 3. Simularea numerică. Convoluţia semnalelor numerice. Puterea si energia unui semnal. Definitii. 4. Filtre. Clasificare şi implementare: filtre FIR (cu faza liniara); filtre IIR (Butterworth; Bessel; Cebisev; eliptice; transformari in frecventa). Filtre numerice (MA, Windowed-sinc, specializate; metode de proiectare prin transformarea filtrelor analogice in filtre numerice). 5. Procese stochastice. Semnale aleatoare. Elemente de prelucrare numerica a semnalelor aleatoare in sisteme liniare. Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Filtre numerice. Descriere Reprezentarea sistemelor discrete prin ecuaţii cu diferenţe Sistemele liniare în timp discret (si deci unele filtre numerice!) pot fi reprezentate prin ecuaţii cu diferenţe finite cu coeficienţi constanţi, de tipul: Analiza sistemelor liniare se poate face în mai multe moduri şi spaţii, pentru o întreagă clasă de sisteme; cu toate acestea, pentru anumite cazuri (precum, de exemplu, cel al SLIT), foarte utilă se dovedeşte a fi analizarea sistemelor (studierea comportării acestora), în spaţiul transformatelor Fourier. O analiza comoda: in spatiul transformatei z Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro 3/50

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Filtre numerice. Descriere Un argument esenţial în favoarea studierii comportării SLIT în spaţiul transformatelor Fourier este acela că ecuaţiile liniare cu diferenţe care le descriu devin ecuaţii algebrice de variabilă : Funcţia H( ) a unui SLIT este o fracţie raţională în ej , cu coeficienţi constanţi, (ca o consecinţă a caracterului liniar al ecuaţiei liniare cu coeficienţi constanţi, ce descrie comportarea sistemului numeric). Indiferent ordinul de funcţiei H( ) ea , poatre fi descompusă în produs de funcţii elementare, ceea ce corespunde conectării în cascadă a unor sisteme elementare. Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro 4/50

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Filtre numerice. Descriere Funcţia ce descrie sistemul global fiind: se poate demonstra că funcţiile elementare Hk( ) pot descrie: ·sisteme de ordinul I (corespunzătoare soluţiilor reale ecuaţiei cu diferenţe) ·sisteme de ordinul II (corespunzătoare solutiilor pereche, complex conjugate, ale ecuaţiei cu diferenţe). Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro 5/50

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Sisteme numerice. Descriere FIR O abordare mai comoda a sistemelor (si filtrelor!) in timp discret: cu ajutorul transformatei z care va fi aplicata ca metoda de tranzitie intre definirea sistemului in timp discret (functia pondere h[n]) si studiul comportarii acestuia in frecventa (normalizata f/fs) fara a face apel la TFTD sau DFT. Exemplu: Filtrele FIR (de ordin N) sunt descrise de o ecuatie cu diferente nerecursiva: unde coeficientii hk sunt elementele raspunsului la impuls h[n], de durata finita: N elemente diferite de zero! Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro 6/50

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Clasificarea filtrelor Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Filtre tip medie alunecatoare Media alunecatoare (moving average) este cea mai utilizata filtrare in DSP. Aceasta filtrare este simpla optimala pentru aplicatiile de reducere a zgomotului aleator concomitent cu un raspuns la impuls cu front abrupt (a sharp step response). un filtru esential pentru semnalele cu variatie in timp cel mai prost filtru pentru separarea frecventelor (analiza in frecventa a semnalelor) forma generala: filtrul Savitzky-Golay - coeficientii filtrului se obtin printr-o aproximare prin metoda celor mai mici patrate; aplicarea este descrisa matricial: Ax=y; Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Filtre tip medie alunecatoare. Implementare prin convolutie Ex. : un filtru de lungime M=5 aplicat unui semnal x[n], pentru determinarea y[10]: Ca alternativa, semnalul de intrare poate fi dispus simetric in jurul esantionului semnalului de iesire mediat (M trebuie sa fie impar!): Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Filtre tip medie alunecatoare. Implementare prin convolutie Reducerea zgomotului vs. Raspunsul la semnal treapta Filtrul medie alunecatoare este optimal pentru reducerea zgomotului alb pastrind in acelasi timp un raspuns la semnal treapta abrupt. Reducerea zgomotului este proportionala cu radical din lungimea filtrului: Exemplu: filtru cu M=100 reduce zgomotul de aproximativ 10 ori. Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Filtre tip medie alunecatoare. Implementare prin convolutie Pe masura ce creste nr. de puncte de mediere (M, lungimea filtrului), nivelul zgomotului in semnalul la iesire se reduce dar se pierde frontul abrupt din semnal. Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Filtre tip medie alunecatoare. Implementare prin convolutie Raspunsul in frecventa normalizata -(f=0. . . 0. 5) • Tranzitia este foarte lenta, iar atenuarea in banda de oprire este foarte mica. Filtrul nu poate separa benzile de frecventa! • Filtrul medie alunecatoare este excelent pentru netezirea semnalului (in domeniul timp!) dar foarte slab ca filtru trece-jos (in domeniul frecventa!) Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Filtre multiple - medie alunecatoare • Doua filtrari succesive sunt echivalente cu utilizarea unui filtru cu raspunsul la impuls triunghiular (convolutia unui raspuns la impuls dreptunghiular cu el insusi) • Dupa 4 sau mai multe filtrari succesive, raspunsul la impuls se apropie de un semnal tip Gauss (Teorema Limitei Centrale). Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Filtre multiple - medie alunecatoare • filtrarea succesiva cu filtru medie alunecatoare determina un raspuns la semnal treapta in forma de “s”; • filtrul original medie alunecatoare: raspuns la semnal treapta liniar! Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Filtre multiple - medie alunecatoare • Au o atenuare in banda de oprire mult mai buna! • Raspunsul la impuls se subtiaza spre capete. • Raspunsul la semnal treapta este o curba cu variatie lina si nu liniar cu tranzitii bruste ca la filtrul original. • Raspunsul in frecventa al filtrelor cu raspuns la impuls de tip Gauss sau Blackman. • Au atenuare mai buna in banda de oprire, ceea ce e un avantaj in cazul aplicatiilor ce necesita performanta si in timp si in frecventa. • Dezavantaj: se utilizeaza procedeul de convolutie, un algoritm extrem de lent. Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Implementarea prin recursivitate un avantaj esential al filtrarii de tip mediere alunecatoare: poate fi implementata printr-un algoritm foarte rapid! Ex. : filtrare cu M=7, implementare clasica: Implementare mai eficienta: Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Implementarea prin recursivitate x[n] este semnalul de intrare; y[n] este semnalul de iesire; M, nr. impar: nr. de puncte prin care este implementata medierea. Inaintea utilizarii acestei ecuatii, primul punct din y[n], adica y[1] se calculeaza cu formula standard! Obs. : Filtrul de mediere implementat recursiv este diferit de filtrele recursive clasice!! Acestea au de cele mai multe ori un raspuns infinit la impuls (IIR), compus din semnale sinusoidale si exponentiale. Raspunsul la impuls al medierii este un impuls dreptunghiular!(FIR). Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Probleme 1. Fie y[n]=0. 5(x[n] + x[n-1]) + y[n-1], n 0 a) găsiţi H(z) a sistemului descris de ecuaţia de recursivitate de mai sus; b) determinaţi răspunsul la impuls al sistemului, h[n] 2. Fie sistemul IIR descris de: y[n] = a 1 y[n-1] + a 2 y[n-2] + a 1 y[n-1] + x[n], n 0 a) găsiţi H(z) a sistemului descris de ecuaţia de recursivitate de mai sus; b) determinaţi condiţiile pe care trebuie să le satisfacă a 1 şi a 2 pentru ca sistemul să fie stabil. 3. Fie filtrul MA de lungime L=3. Calculaţi banda de 6 d. B dacã frecvenţa de eşantionare este 42 k. Hz. Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro 18/50

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Aplicatii propuse 4. Pentru filtrul descris de ecuaţia: sã se gãseascã funcţia de transfer, zerourile şi caracteristica de amplitudine. 5. Fie un filtru descris de ecuaţia de recursivitate : Sã se determine H(z); Sã se determine dacã filtrul este stabil. 6. Demonstraţi cã în caracteristica de amplitudine a ferestrei dreptunghiulare de lungime L=2 N+1 valoarea corespunzãtoare frecvenţei nule este 2 N+1; Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro 19/50

Prelucrarea semnalelor, an II - Facultatea de Inginerie Electrica U. P. B. 2019 -2020 Intrebari / semnalare erori (!). Prof. Mihaela Albu mihaela. albu@upb. ro albu@ieee. org