PITAGORINA TEOREMA Autori Jelena Vienti Aleksandar Kosti Potsetimo

PITAGORINA TEOREMA Autori: Jelena Vićentić Aleksandar Kostić

Potsetimo se Najduža stranica pravouglog trougla je naspram pravog ugla i naziva se hipotenuza. Stranice naspram oštrih uglova su katete. a C Kateta B Hip ote c nu za Kateta b A

Nastanak Pitagorine teoreme Pitagorina teorema je jedna od najpoznatijih teorema danas. Pripisuje se Pitagori, mada je on bio taj koji ju je dokazao, dok su za nju pre Pitagore znali i Vavilonci, Egipćani i Indijci. Kada bi se gradili hramovi ili piramide, trebalo je konstruisati prav ugao, onda je to rađeno pomoću “egipatskog trougla” - trougla čije su stranice 3, 4 i 5. Na taj način je još u to vreme uvedena veza između figure i broja.

Definicija Pitagorine teoreme Kvadrat dužine hipotenuze bilo kog pravouglog trougla jednak je zbiru kvadrata dužina njegovih kateta. Naš čuveni književnik Branislav Nušić je ovu vrlo strogu teoremu u svojoj knjizi “Autobiografija” ublažio stihovima: “ Kvadrat nad hipotenuzom, to zna svako dete, jednaka je zbiru kvadrata nad obe katete!”

Dokaz Pitagorine teoreme (prvi način) Posmatrajte animaciju i obratite pažnju na trouglove koji se kreću. Verovatno ćete morati pogledati animaciju više puta da bi shvatili sta se dešava. Ljubičasti trougao je veoma bitan. postaje

Dokaz Pitagorine teoreme (drugi način) • Uzmite olovku i makaze, zatim posmatrajte animaciju. • Nacrtajte pravougli trougao, ostavljajući dovoljno mesta sa strana. • Nacrtajte kvadrat nad hipotenuzom. • Nacrtajte isti kvadrat s druge strane hipotenuze. • Nacrtajte linije kao što je prikazano na animaciji, ovako: • Isecite po linijama. • Složite dobijene oblike tako da možeš da dokažeš da najveći kvadrat ima istu površinu kao druga dva zajedno.

Primer 1: Izračunaj dužinu hipotenuze c ako su date dužine kateta a=5 cm i b=12 cm. Rešenje: Ako su zadate katete tog pravouglog trougla onda hipotenuzu možemo dobiti iz jednačine: a 2+b 2=c 2 52+122=c 2 25+144=c 2 169=c 2 c=√ 169 c=13 cm

Primer 2: Izračunaj dužinu nepoznate katete ako su date dužina katete b=2√ 2 cm i dužina hipotenuze c=2√ 7 cm. Rešenje: Ako je zadata jedna kateta i hipotenuza pravouglog trougla, drugu katetu dobijamo iz jednačine: a 2+b 2=c 2 a 2+(2√ 2)2=(2√ 7)2 a 2+4∙ 2=4∙ 7 a 2+8=28 a 2=28 -8 a 2=20 a=√ 4∙ 5 a=√ 4√ 5 a=2 √ 5 cm

Zadatak 1: Izračunaj obim i površinu pravouglog trougla ako je dužina jedne katete a=16 cm i hipotenuza c=2 dm. Izaberi rešenje: O=56 cm P=192 cm 2 O=60 cm P=190 cm 2 O=54 cm P=196 cm 2 Klikni ovde ako ne možeš da dođeš do rešenja

TAČNO REŠENJE

NETAČNO REŠENJE

Rešenje zadatka 1: a 2+b 2=c 2 162+b 2=202 256+b 2=400 -256 b 2=144 b=√ 144 b=12 cm O=2 a+2 b O=2∙ 16+2∙ 12 O=32+24 O=56 cm P=a∙b P=16∙ 12 P=192 cm

Zadatak 2: Merdevine dužine 2, 5 m oslonjene su vrhom na vertikalni zid. Ako je rastojanje njihovog podnožja od zida 70 cm, do koje visine zida doseže vrh merdevina? Izaberi rešenje: 3 metra 2, 7 metara 2, 4 metra Klikni ovde ako ne možeš da dođeš do rešenja

TAČNO REŠENJE

NETAČNO REŠENJE

Rešenje zadatka 2: c=2, 5 m=250 cm a=70 cm a 2+b 2=c 2 702+b 2=2502 4900+b 2=62500 -4900 b 2=57600 b=√ 57600 b=240 cm

Zadatak 3: Fabrički dimnjak baca senku dugu 240 m. Ako je rastojanje od vrha dimnjaka do vrha senke 260 m, kolika je visina dimnjaka? Izaberi rešenje: 100 metara 95 metara 104 metra Klikni ovde ako ne možeš da dođeš do rešenja

TAČNO REŠENJE

NETAČNO REŠENJE

Rešenje zadatka 3: a 2+b 2=c 2 2402+b 2=2602 57600+b 2=67600 -57600 b 2=10000 b=√ 10000 b=100 m

Najbolje smo ostavili za kraj. . .

Domaći zadatak: 1. Izračunaj obim pravouglog trougla ako je data dužina jedne njegove katete i njegova površina: a) a=6 cm, P=24 cm 2; b) a=1 cm, P=√ 6 cm 2. 2. Vrh bandere čija je dužina 12 m je žicom pričvršćen za zemlju, na rastojanju 5 m od podnožja bandere. Izračunaj dužinu žice.

HVALA NA PAŽNJI!!!