Ocena rozkadu na podstawie wykresw kwantylowych Zofia Hanusz

Ocena rozkładu na podstawie wykresów kwantylowych Zofia Hanusz, Joanna Tarasińska Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie

Jednowymiarowe wykresy kwantylowe - niezależne punkty kwantyl z N(0, 1) powinny się układać wzdłuż linii kwantyl z próby rzędu Miarą współliniowości punktów jest statystyka Shapiro-Wilka. Jej małe wartości świadczą o braku współliniowości i powodują odrzucenie hipotezy o normalności rozkładu.

Jeśli próba nie pochodzi z rozkładu normalnego, to punkty Pi układają się przeważnie w krzywą nieliniową a po jej kształcie można czasem odgadnąć takie cechy rozkładu, jak skośność czy rodzaj „ogonów”. Na dalszych rysunkach przedstawiono teoretyczny kształt krzywych, wzdłuż których układają się punkty gdy próba jest generowana z kwantyl z rozkładu o dystrybuancie F kwantyl z rozkładu F określonych rozkładów. Krzywe te opisane są równaniem : kwantyl z N(0, 1)

rozkład jednostajny na (0, 1) n=20 p-value= 0. 0734 n=100 p-value= 0. 0013

rozkład Beta(2, 2) n=20 p-value=0, 1534 n=100 p-value=0, 0169

Rozkład t(1) n=20 p-value = 4, 427 E-05 n=100 p-value = 2, 2 E-16

Rozkład t(5) n=20 p-value = 0, 0592 n=100 p-value = 0, 0066

Rozkład wykładniczy(l=1) n=20 p-value = 0, 00074 n=100 p-value = 3, 21 E-11

Mieszanina ½ z N(0, 1), ½ z N(5, 1) n=20 p-value = 0, 0324 n=100 p-value = 6, 256 E-06

N(0, 1), N(0, 9), Mieszanina ½ z N(0, 1), ½ z N(0, 9) scale contaminated normal (Tukey) n=20 p-value = 0. 1542 Mieszanina n=100 p-value = 6. 758 E-05

dwumianowy (10, 0. 1) n=20 p-value = 0. 001575 n=100 p-value = 3. 994 E-09

Poissona (l=1) n=20 p-value = 0, 0085 n=100 p-value = 4, 344 E-10

Poissona (l=20) n=20 p-value = 0, 737 n=100 p-value = 0, 7532

Dane wielowymiarowe – metoda graficzna Small’a (Small, 1978, Biometrika 65) - iid as. niezależne (Gnanadesikan & Kettenring, 1972, Biometrika 28) powinny ułożyć się wzdłuż prostej c=d kwantyl rozkładu Beta rzędu (Blom, 1958, ”Statistical estimates and transformed Beta-variables” Wiley, New York)

n=10 n=20 p=2 p=4 n=100 Aby znaleźć prawdziwą teoretyczną linię, wokół której układają się punkty w metodzie Smalla generowano 100 000 prób o liczebności n z ustalonego rozkładu. Dla każdej próby znaleziono ciąg c j ( i ) Obliczono średnie Następnie narysowano (czerwoną) linię łączącą punkty

Rozkład t(1)p n=20, p= 2 p-value 4. 796 E-06 n=20, p= 4, p-value = 1. 11 E-16 n=100, p=2, p-value = 0 n=100, p=4, p-value = 0

Rozkład jednostajny(0, 1)p n=20, p=2, p-value = 0. 158 Uwaga! tu słaba moc H-Z a na wykresie Smalla wyraźnie widać nienormalność n=100, p=2, p-value = 0. 0001

n=20, p=2, t(1)p jedn(0, 1)p t(2)p Beta(2, 2)p MPVII(2) MPII(0)

N(0, I) t(2)2 MPVII(2)

Symetryczny czy skośny? n = 20, p = 2 t(1)p t’(1, l=5)p

Mieszanina ½ z N([0, 0], I), ½ z N([5, 0], I) n=20, p=2 p-value = 0. 106 (widać, że kiepsko Small wykrywa) n=100, p=2 p-value = 0. 0004

Rozkład dwumianowy(n=10, q=0, 1)p 100 -elementowa próba p=2, p-value = 6. 668 E-05 p=4, p-value = 4. 430 E-07

Dane wielowymiarowe – wykres kwantylowy Adaptacja pomysłu Roystona (Royston , 1983, „Some techniques for assessity multivariate normality based on Shapiro-Wilk W”, Appl. Statist. 32, 121 -133) dystr. asymp.

Aby znaleźć teoretyczną linię, wokół której układają się punkty na wykresie kwantylowym generowano po 10 000 prób o liczebności n z różnych rozkładów. Dla każdej próby j znaleziono ciąg statystyk porządkowych Narysowano linię łączącą punkty powinny ułożyć się wzdłuż prostej y = x

n=100, p=2 Rozkład t(1)2 Smalla Roystona

n=100, p=2 Rozkład jednost. (0, 1)2 Smalla Roystona

n=100, p=2 Mieszanina ½ z N([0, 0], I), ½ z N([5, 0], I) Smalla Roystona