Lgica Proposicional Semntica Semntica n n Existe uma

Lógica Proposicional Semântica

Semântica n n Existe uma diferença entre os objetos e seu significado Existe um mundo sintático e um mundo semântico n n n Sintático – símbolos do alfabeto e fórmulas (consideradas apenas como concatenções de símbolos) Semântico – significado dos símbolos e fórmulas Em Lógica, semântica é a associação entre um objeto sintático e seu significado, de forma a, num nível de representação, garantir inferências

[Gaiarsa]

Semântica n P (símbolo sintático) representa “Está chovendo” n Q representa “A rua está molhada” n Quando a fórmula (P^Q ) é Verdadeira?

Interpretação n n Depende das condições climáticas e se a rua é coberta, ou seja, depende da interpretação de P e Q I[P]=T ou I[P]=F (e também I[Q]) A fórmula (P^Q ) é Verdadeira, quando I[P]=T e I[Q]= T Se I[P]=T ou I[Q]=F então, como ^ é interpretado como a conjunção da interpretação dos fatos P e Q, I[P^Q]=F

Interpretação n n Função binária – só possui em sua imagem 2 elementos Uma Interpretação I, em Lógica Proposicional, é uma função binária t; l que: n n O domínio de I é o conjunto de fórmulas proposicionais A imagem é o conjunto {T, F} O valor da interpretação I, tendo como argumentos os símbolos de verdade true e false, é dado por I[true]=T e I[false]=F Dado um símbolo proposicional P, I[P] pertence a {T, F}

Interpretação de fórmulas n Dado uma fórmula E e uma interpretação I, então o significado de E (I[E]) é dado pelas seguintes regras: n n n Se E=P, onde P é um símbolo proposicional, I[E]=I[P] Se E=true, então I[E]=I[true] =T, e se E=false, então I[E]=I[false]=F Se H é uma fórmula e E= H, então n n I[E]=I[ H]=T se I[H]=F e I[E]=I[ H]=F se I[H]=T

Interpretação de fórmulas (cont. ) n Se H e G são fórmulas, e E=(Hv. G), então n n n Se H e G são fórmulas, e E=(H^G), então n n n I[E]=I[H^G]=T se I[H]=T e I[G]=T e I[E]=I[H^G]=F se I[H]=F e/ou I[G]=F Se H e G são fórmulas, e E=(H G), então n n n I[E]=I[Hv. G]=T se I[H]=T e/ou I[G]=T e I[E]=I[Hv. G]=F se I[H]=F e I[G]=F I[E]=I[H G]=T se I[H]=F e/ou I[G]=T e I[E]=I[H G]=F se I[H]=T e I[G]=F Se H e G são fórmulas, e E=(H G), então n I[E]=I[H G]=T se I[H]=I[G] n I[E]=I[H G]=F se I[H] =I[G]

Tabelas-verdade n Tabelas verdade associada a conectivos n Tabelas verdade associada a fórmulas n n Como fazer para obter a tabela verdade associada à fórmula H=(( P)v. Q) (Q^P)? Colunas intermediárias: P, Q, P, Pv. Q e Q^P

Semântica da implicação n Olhando a tabela verdade de H G n n n H G --------T T F F F I[H G]=T se I[H]=T e I[G]=T I[H G]=F se I[H]=T e I[G]=F I[H G]=T se I[H]=F, independente de G Se está chovendo, então a rua está molhada. n (P (P v Q))

Causalidade e Implicação n Não há relação entre causalidade e implicação n n Q = “o sol é redondo” P = “Maluf é honesto” n n n I[P Q]=T, sem relação de causalidade, pois I[Q]=T R = “é possível 2 objetos ocuparem o mesmo lugar no espaço” S = “a lua é redonda” n I[R S]=T

Interpretação de uma fórmula n n Se temos a fórmula H=(( P)v( Q)) R e a interpretação I[P]=T, I[Q]=F, I[R]=T, I[S]=T Qual a interpretação de H ? n Fazer tabela verdade (de uma linha )

Interpretação de uma fórmula (cont. ) n Se E = =(( P)^Q) (Rv. P) e H=(false P) e as interpretações I e J n n n I[P]=T, I[Q]=F, I[R]=T, I[P 1]=F J[P]=F, J[Q]=T, J[R]=F I[H]=? J[H]=? I[P true]=? J[P true]=?

Propriedades semânticas básicas n n n Uma fórmula H é uma tautologia (ou é válida) se e somente se para toda interpretação I, I[H]=T H é factível ou satisfazível se e somente se existe uma interpretação I tal que I[H]=T H é contraditória se e somente se para toda interpretação I, I[H]=F

Propriedades semânticas básicas (cont. ) n n n Dadas 2 fórmulas H e G, H G se e somente se para toda interpretação I, se I[H]=T então I[G]=T Dadas H e G, H G se e somente se para toda interpretação I, I[H]=I[G] Dados H e uma interpretação I, I satisfaz H se e somente se I[H]=T

Propriedades semânticas básicas (cont. ) n Um conjunto de fórmulas b={H 1, H 2, . . . Hn} é satisfazível se e somente se existe uma interpretação I tal que I[H 1]= I[H 2]=. . . = I[Hn]= T n n I satisfaz o conjunto de fórmulas b, ou I[b]=T Toda I satisfaz o conjunto de fórmulas vazio

Exemplo de Tautologia n A fórmula H=Pv P é uma tautologia, pois toda I[H]=T DI[Pv P]=T D I[P]=T e/ou I[P]=F (D aqui quer dizer “o mesmo que, equivale a”) n Como I é uma função binária com imagem {T, F}, então I[P]=T e/ou I[P]=F é verdade e I[H]=T. n

Exemplo de Satisfatibilidade n n A fórmula H=(Pv. Q) é satisfazível, pois há interpretações que a interpretam como verdadeira. H é tautologia? Por quê?

Exemplo de Contradição n n A fórmula H=(P^ P) é contraditória Suponham (por absurdo) que exista I[H]=T n n I[H]=T D I[P^ P]=T D I[P]=T e I[P]=F Como I é uma função binária, ocorre apenas um dos valores, i. e. I[P]=T ou I[P]=F. Então I[P]=T e I[P]=F é falsa, e portanto I[H]=T também é falsa.

Exercícios n n Quais das fórmulas abaixo são válidas, satisfazíveis ou contraditórias? H 1=P 1^P 2^Q Q H 2=P 1^P 2^Q Q H 3=(Pv P) (Q^ Q)

Implicação n n n Se E=((P^Q)VQ) e H=(P^Q) e G=(P Q) n n n E G? E H? H G? H E? G H?

Exercício n n Prove que se temos as fórmulas proposicionais H=(P^Q) e G=P, então H G Se H=F, G=?

Equivalência n n n Exemplo (Lei de Morgan) H=( P^ Q) e G= (Pv. Q) Temos que demonstrar que, para toda interpretação I, I[H]=I[G] Casos I[H]=T e I[H]=F

( P^ Q) (Pv. Q) ? Caso I[H]=T D I[ P^ Q]=T D I[ P]=T e I[ Q]=T D I[P]=F e I[Q]=F D I[Pv. Q]=F D I[ (Pv. Q)]=T D I[G]=T D I[H]=I[G] n n Caso I[H]=F Exercício ou Olhar tabelas verdade das 2 fórmulas

Exemplos de Satisfatibilidade e Insatisfatibilidade n Qual(is) conjunto(s) são (in)satisfazíveis: n n H 1=P, H 2= P e H 3=Q E=(P Q), H=(Q R) e G=(R P)

Relações entre as Propriedades Semânticas n Validade e factibilidade n n H é válida D H é contraditória H é válida a H é satisfazível (a quer dizer “se … então…”) n H não é satisfazível D H é contraditória

Relações entre as Propriedades Semânticas (cont. ) n Dadas 2 fórmulas H e G, n H implica G D (H G) é tautologia n H equivale a G D (H G) é tautologia n n Provar que (H G) e (G H) Transitividade da equivalência n E H e H G a E G

Relações entre as Propriedades Semânticas (cont. ) n Satisfabilidade e factibilidade n n Seja {H 1, H 2, . . . Hn} um conjunto de fórmulas {H 1, H 2, . . . Hn} é satisfatível D {H 1^H 2^. . . ^Hn} é satisfatível

Equivalências n n D aqui quer dizer “o mesmo que, equivale a” e a quer dizer “se … então …” Cuidado: Há uma diferença entre eles: n H equivale a G D {H é tautologia D G é tautologia}? (1) n H equivale a G a {H é tautologia D G é tautologia}? (2)

Equivalência e Validade H equivale a G D {H é tautologia D G é tautologia} (1) é dividida em 2 implicações: n H equivale a G a {H é tautologia D G é tautologia} (2) e n {H é tautologia D G é tautologia} a H equivale a G (3) n

Contra-exemplo de Equivalência e Validade n {H é tautologia D G é tautologia} a equivale a G (3) n n H=P e G=Q, que não são equivalentes n “H equivale a G” é falsa No entanto, o antecedente é verdadeiro n H e G não são tautologias (Falso D Falso) a Falso Verdadeiro a Falso, o que é falso H

Proposição 1 – Equivalência e Validade n H equivale a G a n Passos: {H é tautologia D G n prop 2, é tautologia} (2) prop 2 aprop 1 [1] n prop 3, prop 3 aprop 2 [2] n Prova do tipo n Portanto, prop 3, [3] prop 3 aprop 2 e prop 3 aprop 2, prop 2 aprop 1

Proposição 2 – Implicação e Validade n n H equivale a G a {H é tautologia a. G é tautologia}(4) Porque isso equivale a G equivale a H a {G é tautologia a. H é tautologia} (5) Portanto, H equivale a G a {H é tautologia D G é tautologia} (2) E prop 2 aprop 1

Implicação e Validade (cont. ) n n Se {H é tautologia a. G é tautologia}(4) e {G é tautologia a. H é tautologia} (5) então {H é tautologia D G é tautologia} (2) E portanto, H equivale a G a {H é tautologia D G é tautologia} (2)

Lema (implicação) n (A (B C)) equivale a ((A^B) C) n n Olhar tabelas verdade H equivale a G a {H é tautologia a. G é tautologia}(4) é exatamente deste tipo! Portanto, (4) equivale a {{H implica G} e {H é tautologia}} a {G é tautologia} prop 3 aprop 2

Proposição 3 – Implicação e Validade Dadas 2 fórmulas H e G, então {{H implica G} e {H é tautologia}} a{G é tautologia} n Supondo {H implica G} e {H é tautologia} n Para {G é tautologia} ser verdade, então {G é tautologia} D toda I[G]=T n

Proposição 3 – Implicação e Validade (cont. ) {G é tautologia} D toda I[G]=T n Mas se {H é tautologia}, toda I[H]=T n Como {H implica G}, então toda I[G]=T n {G é tautologia} n prop 3 aprop 2 aprop 1