Lgica Proposicional Deduo Natural Conseqncia lgica n Definio

Lógica Proposicional Dedução Natural

Conseqüência lógica n Definição informal: n n Uma fórmula é uma conseqüência lógica de um conjunto de fórmulas se sempre que estas forem verdadeiras aquela também seja verdadeira. Definição formal: n Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses b, H é conseqüência lógica de b num sistema de dedução, se existir uma prova de H a partir de b

Notação de Conseqüência Lógica e Teorema n n Dada uma fórmula H, se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses b={H 1, H 2, . . . Hn}, diz-se que: n b├ H ou n {H 1, H 2, . . . Hn}├ H Uma fórmula H é um teorema se existe uma prova de H que não usa hipóteses n ├ H

Cálculo Proposicional n n Cálculo = Lógica + Sistema de Prova (ou dedução) Um sistema de prova serve para analisar e raciocinar sobre argumentos de uma lógica, de maneira a prová-los válidos ou inválidos.

Sistema de dedução natural n n n Alfabeto da Lógica Proposicional Conjunto de fórmulas da Lógica Proposicional Conjunto de regras de dedução (ou regras de inferência)

Regras de inferência de dedução natural n Servem para inserção e retirada de conectivos lógicos, criando derivações n n n Regras de Introdução Regras de Eliminação Chama-se dedução natural por estar próxima da maneira como nós raciocinamos quando queremos (informalmente) provar um argumento.

Regras de inferência conjunção n Introdução da conjunção (^I): n n H H^G G -> derivação Eliminação da conjunção (^E): n H^G H G

Prova n n Dados H uma fórmula e b um conjunto de fórmulas (hipóteses) Uma prova de H a partir de b é uma derivação onde n n As regras de inferência são aplicadas tendo como premissas fórmulas de b A última fórmula da derivação é H

Exemplo de prova n n n P ^ Q, R |- Q ^ R P^Q (Premissa) Q (^E) R (Premissa) Q^R (^I) Exercícios: n n n (P^Q) ^ R, S^T |- Q^S P^Q |- Q^P (P^Q) ^ R |- P ^ (Q^R)

Regras da Dedução Natural implicação n Eliminação da implicação - modus ponens ( E) n n H H G G Introdução da implicação ( I) n [H] (hipótese eliminada) | G. H G

Exemplo de eliminação da implicação n n P^Q, (P (Q R)) ├ (Q R) P^Q P (^E) P (Q R) (premissa) (Q R) ( E)

Exemplo de introdução da implicação n n n ├ (P ((P Q) Q) Supor os antecedentes Eles não poderão ser usados depois [(P Q)] (hipóteses) Q ( E) (P Q) Q) ( I) (P ((P Q) Q) ( I) n [P]

Exercício ├ (P (Q P)) n ├ (P (Q R)) ((P^Q) R)) n

Exercícios n n n 1. { P^Q, ( P^Q) (R^ P)} |- R^ P 2. {P (Q R), P Q, P} |- R 3. {P (P Q), P} |- Q

Regras da Dedução Natural - disjunção n Introdução da disjunção (v. I) n n H Hv. G G. Hv. G Eliminação da disjunção (v. E) [H] D 1 E n Hv. G E [G] (hipóteses) D 2 E

Exemplo de Eliminação da disjunção n {Pv. Q, Q, P} |- false n [P] Pv. Q. P (prem. ) [Q] Q (prem. ) false

Regras da Dedução Natural - negação n n n De uma derivação de uma contradição (false) a partir de uma hipótese H, pode-se descartar a hipótese e inferir H e vice-versa [H] ( I) | false H [ H] | false H Exercícios: H H e H H ( E ou RAA) reductio ad absurdum

Exercício n n Mostre que o seguintes argumento é válido: Se este argumento for incorreto e válido, então nem todas as suas premissas são verdadeiras. Todas as suas premissas são verdadeiras. Ele é válido. Portanto ele é correto.

Solução n Identificando as Sentenças: n n P: as premissas deste argumento são verdadeiras. S: este argumento é correto. V: este argumento é válido. Formalizando: {( S ^ V) P, P, V} ├ S

Exercício n Deus não existe. Pois, se Deus existisse a vida teria significado. Mas a vida não tem significado. Prove isso!

Quando tudo o mais falhar n n n EFQ: ex falso quodlibet ou regra da contradição Podemos estar loucos, então qualquer literal é aceitável! false H

Prova de EFQ {P, P} ├ Q n Q. P P (prem. ) false Q ( E) n

Exemplo n Prove o Silogismo Disjuntivo, usando EFQ: {P v Q, P} ├ Q

Lógicas clássicas n n Lógica minimal: {^v } x {IE} Lógica intuicionista = Lógica minimal U EFQ

Exercícios n n n { P (Q R), P, Q} |= R { P Q, P} |= Q {P (Q ^ R), P} |= P ^ Q {(P ^ Q) (R ^ S), P, Q} |= S { A B, C (Dv. E), D C, A E} |= (C B) {Cv(B A), A R, (B R) S} |= ( C S)