La statistica descrittiva Introduzione Oggetto della statistica studio

La statistica descrittiva Introduzione • Oggetto della statistica: studio dei fenomeni collettivi • Popolazione: insieme degli individui oggetto di una indagine statistica • Unità statistica: ciascun elemento di una popolazione • Campione: sottoinsieme della popolazione ESEMPIO PROIEZIONI DI VOTO (elezioni) Popolazione: tutti gli aventi diritto al voto Campione: solo gli aventi diritto interrogati 1

La statistica descrittiva Introduzione • Carattere: ogni aspetto del fenomeno da individuare • Modalità: ciascuno dei diversi modi con cui un carattere può presentarsi ESEMPIO RELATIVAMENTE AL FENOMENO COLLETTIVO “GIOVANI” Il carattere Titolo di studio si può presentare nelle seguenti modalità: licenza media, qualifica professionale, diploma di scuola media superiore, laurea triennale, laurea specialistica, dottorato. Il carattere Utilizzo del tempo libero si può presentare nelle seguenti modalità: riposo, letture varie, cinema e teatro, discoteche, bar e pub, attività sportive, visite a musei o mostre, ecc. 2

La statistica descrittiva Caratteri qualitativi e quantitativi Qualitativo: le sue modalità non sono espresse da numeri e rappresentano una mutabile statistica. Discreto (numeri naturali): ad esempio il numero di figli. CARATTERE Quantitativo: le sue modalità sono espresse da numeri e rappresentano una variabile statistica. Continuo (intervalli di numeri reali): ad esempio l’altezza o il peso. 3

La statistica descrittiva Le distribuzioni di frequenze • I dati di un’indagine statistica possono essere raccolti in una distribuzione di frequenze (assolute o relative) nella quale ogni modalità xi del carattere è associata a un numero fi, la sua frequenza assoluta, che indica quante volte quel carattere compare. • Frequenza relativa: pi = fi T (T : totale delle osservazioni) In forma percentuale: pi (percentuale) = pi 100% • Rappresentazione della distribuzione di frequenze x Freq. ass. Freq. rel. x 1 f 1 p 1 x 2 f 2 p 2 … … … xn fn pn Dove: x: carattere xi: modalità del carattere fi: frequenze assolute pi: frequenze relative 4

La statistica descrittiva Rappresentazione grafica Una distribuzione di frequenze può essere rappresentata graficamente mediante: • Un diagramma a rettangoli o ortogrammi 5

La statistica descrittiva Rappresentazione grafica • Un diagramma circolare o areogramma: l’ampiezza di ogni settore è proporzionale alla frequenza. 6

La statistica descrittiva Rappresentazione grafica • Un diagramma cartesiano (per dati quantitativi di natura discreta) 7

La statistica descrittiva Rappresentazione grafica • Un istogramma (per dati quantitativi di natura continua) L’altezza dei rettangoli si ottiene dividendo la frequenza per l’ampiezza della relativa classe. 8

La statistica descrittiva Sintesi dei dati Medie ferme: aritmetica, geometrica, armonica Indici di posizione Medie lasche: moda, mediana Sintesi dei dati Scarto quadratico medio o deviazione standard σ Indici di variabilità Varianza σ2 9

La statistica descrittiva Le medie ferme Si dice media aritmetica semplice fra n numeri x 1, x 2, ……. , xn il rapporto M fra la loro somma ed n; n M= x 1 + x 2 + ……. , + xn n x Σ i=1 i = n ESEMPIO Un’azienda ha raccolto i dati relativi al numero di ore di lavoro mensili complessive dei dipendenti. mese 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 N. ore 12360 15865 15940 15758 16075 16124 15635 4520 15942 16214 16120 15658 Calcoliamo il numero medio di ore lavoro mensili. M= 176211 12 = 14684, 25 La media aritmetica può essere calcolata solo per dati di tipo quantitativo. 10

La statistica descrittiva Le medie ferme Se i dati di una variabile statistica si presentano con una certa frequenza per calcolare il valor medio si usa la media ponderata. Una media in cui ogni dato ha un suo peso (rappresentato dalla sua frequenza) si dice ponderata. Se f 1, f 2, …… fn sono le frequenze delle modalità x 1, x 2, …… xn, la media aritmetica M(x) è data dalla formula n M(x) = x 1 f 1 + x 2 f 2 + ……. , + xnf f 1 + f 2 + … f n xf Σ i=1 i i = n f Σ i=1 i 11

La statistica descrittiva Le medie ferme ESEMPIO Num. Dei maschi nelle famiglie x Freq. assoluta f Prodotto x f 0 1 2 3 4 5 6 7 50 120 300 250 190 60 20 10 0 120 600 750 760 300 120 70 TOTALE 1000 2720 Possiamo dire che in media, ogni famiglia ha un numero di maschi pari a: M= 2720 1000 = 2, 72 12

La statistica descrittiva Le medie ferme Nel caso di una distribuzione per classi, il calcolo della media viene fatto sostituendo ciascuna classe con il suo termine centrale, ottenuto calcolando la semisomma dei valori estremi. Altezze Maschi Valori centrali Freq. Prodotti [100 -140) 120 8 120 8 = 960 12 120 15 = 1 800 [140 -160) 150 32 150 32 = 4 800 125 150 125 = 18 750 [160 -170) 165 120 165 120 = 19 800 336 165 336 = 55 440 [170 -175) 172, 5 250 172, 5 250 = 43 125 260 172, 5 260 = 44 850 [175 -180) 177, 5 330 177, 5 330 = 58 575 196 177, 5 196 = 34 790 [180 -190) 185 196 185 196 = 36 260 62 185 62 = 11 470 [190 -200) 195 50 195 50 = 9 750 6 195 6 = 1 170 [200 -210) 205 10 205 10 = 2 050 0 205 0 = 0 [210 -250) 230 4 230 4 = 920 0 230 0 = 0 1000 176 240 1000 168 270 TOTALE Altezza media dei maschi: M = 176 240 = 176, 24 (cm) 1000 Altezza media delle femmine: M = 168 270 = 168, 27 (cm) 1000 13

La statistica descrittiva Le medie ferme Si chiama scarto dalla media la differenza fra il valore osservato e la media stessa. Dati cioè gli n valori x 1, x 2, …… xn, gli scarti dalla loro media M sono i valori x 1 – M, x 2 – M, ……. , xn – M Proprietà della media aritmetica. n • La somma degli scarti della media è sempre nulla: Σ (x i=1 1 – M) = 0 • Se si considerano i quadrati degli scarti, cioè (x 1 – M)2, (x 2 – M)2 …. . , (xn – M)2, la somma dei quadrati degli scarti della media aritmetica è minima (rispetto a una qualunque altra media). 14

La statistica descrittiva Le medie ferme • Media geometrica semplice MG fra n numeri positivi x 1, x 2, …. . , xn: radice n-esima del loro prodotto. MG = √x 1 x 2, …. . , xn ESEMPIO Dati i sei numeri 3, 6, 9, 15, 24, 36 6 MG = √ 3 6 9 15 24 36 ≈ 11, 32 15

La statistica descrittiva Le medie ferme • Nel caso di una media geometrica ponderata: F MG = √(x 1)f 1 (x 2)f 2, …. . , (xn) fn Dove fi: pesi e F = f 1 + f 2 + …. . fn ESEMPIO 30 x f 5 6 8 10 3 9 12 6 TOTALE (F) 30 MG = √ 53 69 812 106 ≈ 7, 32 Nel caso di distribuzioni per classi si trova prima il valore centrale della classe e poi si effettua il calcolo della media ponderata. 16

La statistica descrittiva Le medie ferme • Media quadratica semplice MQ fra n numeri i x 1, x 2, x 3 …. . , xn: radice quadrata della media aritmetica dei quadrati dei dati. MQ = √ x 12 + x 22 +…+ xn 2 = n √ n Σ xi 2 i=1 n ESEMPIO Dati i numeri 3, 5, 7, 9, 12 MQ = √ 32 + 52 + 72 + 92 + 122 ≈ 7, 85 5 17

La statistica descrittiva • Nel caso di una media ponderata: MQ = √ Le medie ferme x 12 f 1 + x 22 f 2 +…. . + xn 2 fn f 1 + f 2 +…… fn Nel caso di distribuzioni per classi si usa il termine centrale di ogni classe. ESEMPIO x f 5 6 8 10 3 9 12 6 TOTALE (F) 30 MQ = √ 52 3 + 62 9 + 82 12 + 102 6 = 30 √ 1767 ≈ 7, 67 30 18

La statistica descrittiva Le medie ferme • Media armonica semplice MA fra due numeri x 1, x 2, …. . , xn: reciproco della media aritmetica dei reciproci dei dati. MA = 1 1 + + …. + x 1 x 2 xn = n 1 1 1 + + …. + x 1 x 2 xn n • Nel caso di una media ponderata: MA = f 1 + f 2 + …. . + fn f 1 f 2 fn + + …. + x 1 x 2 xn 19

La statistica descrittiva Le medie ferme Nel caso di distribuzioni per classi si utilizza il termine centrale. ESEMPIO x f 5 6 8 10 3 9 12 6 TOTALE (F) 30 MA = 30 3 9 12 6 + + + 5 6 8 10 ≈ 7, 14 Tutte le medie finora definite si possono calcolare solo per dati di tipo quantitativo. 20

La statistica descrittiva Le medie lasche Si dice moda (valore modale) di una distribuzione di frequenze, il termine, se esiste, cui corrisponde la massima frequenza nella distribuzione. • Località marine è la moda per i turisti italiani. • Città di interesse storico/artistico è la moda per i turisti stranieri. • Una distribuzione può avere più di un termine modale o può non averne (distribuzione in cui ogni modalità ha la stessa frequenza). 21

La statistica descrittiva Le medie lasche Nel caso in cui una distribuzione sia per classi, si parla di classe modale. • Se le classi della distribuzione hanno tutte uguale ampiezza, allora la classe modale è quella che presenta frequenza più alta. • Se le classi hanno ampiezze diverse si valuta il rapporto tra frequenza e ampiezza della classe. La classe cui corrisponde l’altezza maggiore è la classe modale. 22

La statistica descrittiva Le medie lasche • Mediana Me di una distribuzione è il termine che, disposti i dati in ordine crescente o decrescente, occupa il posto centrale. • Se i termini fra cui calcolare il valore mediano sono n e n è dispari, la mediana è il valore che occupa il posto n+1 2 ; se n è pari, tutti i punti dell’intervallo [x n 2 , x n+1] sono valori mediani; di solito si assume il 2 termine centrale di questo intervallo. ESEMPIO Date le distribuzioni di 7 termini e di 8 termini • 1, 2, 3, 5, 7, 11, 20 Il termine mediano è quello di posto 7+1 2 =4 cioè Me = 5 • 1, 2, 3, 5, 7, 9, 12, 15, 34 Il termine mediano è il termine centrale dell’intervallo [7, 9] cioè Me = 8 23

La statistica descrittiva Le medie lasche Se i valori della distribuzione hanno un loro peso, bisogna calcolare le frequenze cumulate (frequenze relative a una data modalità uguali alla somma delle frequenze di tutte le modalità minori o uguali a esse). ESEMPIO Numero voti Frequenza Freq. cumulate 1 2 3 4 5 2 8 12 6 2 2 10 22 28 30 TOTALE (F) 30 Consideriamo adesso la metà del totale delle frequenze (30 : 2 = 15); poiché n = 30, quindi è pari, il valore mediano è il termine centrale dell’intervallo [x 15, x 16] ed è quindi necessario trovare quali sono questi elementi. continua 24

La statistica descrittiva Le medie lasche Allora, 2 posti sono occupati dalla modalità 1, 8 posti sono occupati dalla modalità 2 (in totale abbiamo 10 posti, cioè il valore della colonna delle frequenze cumulate in corrispondenza della seconda modalità), 12 sono i posti occupati dalla modalità 3 (in totale abbiamo contato 22 posti, cioè abbiamo superato la metà); quindi il quindicesimo e il sedicesimo posto sono occupati entrambi dalla modalità 3. La mediana della distribuzione è quindi il valore centrale dell’intervallo [3, 3], cioè Me = 3. Nel caso in cui n è dispari, la mediana corrisponde all’elemento di posto n+1 2 ; per trovarlo basta cercare nella colonna delle frequenze cumulate il primo numero che è maggiore o uguale di tale valore e leggere l’elemento corrispondente. 25

La statistica descrittiva Le medie lasche Se la distribuzione è per classi bisogna calcolare la frequenza cumulata. ESEMPIO La metà delle osservazioni è 1000 e quindi per arrivare alla mediana dobbiamo contare le prime 1000 persone disposte in ordine crescente di numero di ricoveri subiti; poiché il valore 1000 e il valore 1001 delle frequenze cumulate cadono nella seconda classe, possiamo dire che la classe mediana è la [5 – 9]. Il valore mediano si calcola poi con la formula: A Me = i + (2 N −F ) Freq. Assol. Freq. cumulate [0 -4] 732 [5 -9] 928 1660 [10 -14] 264 1924 [15 -19] 56 1980 [20 -24] 12 1992 [25 -30] 8 2000 TOTALE (F) 2000 f Nel nostro caso: Me = 5 + Ricoveri 5 (1000 − 732) 928 = 6, 44 ≈ 6 N: numero totale osservazioni F: frequenza cumulata fino alla mediana esclusa f: frequenza della classe mediana A: ampiezza della classe mediana i: estremo inferiore della classe mediana 26

La statistica descrittiva Le misure di disperione Per avere informazioni su come i dati di una indagine statistica si distribuiscono attorno ai valori di sintesi e quindi poter confrontare distribuzioni, si studiano gli indici di variabilità. • Campo di variabilità di un insieme di n dati numerici x 1, x 2, …. . xn: differenza tra il valore massimo e il valore minimo degli xi. ESEMPIO Supponiamo che i rilevamenti compiuti su un campione di individui sulla pressione minima sanguigna abbia dato i seguenti risultati: 80 80 85 90 85 60 90 95 95 80 85 115 Il campo di variabilità di questi dati è dato da 115 – 60 = 55; se basassimo le nostre considerazioni solo su questo valore, saremmo portati a dire che in quel gruppo di persone vi è un’alta variabilità fra i dati, mentre in realtà, osservando meglio, si nota che la maggior parte di essi (tranne due) si distribuiscono in un ambito più ristretto compreso fra 80 e 95. Questo è un indice poco sensibile che è grandemente influenzato dai valori esterni. 27

La statistica descrittiva Le misure di dispersione • Scarto quadratico medio o deviazione standard σ: media quadratica degli scarti dalla media aritmetica M. σ= √ n Σ (xi – M)2 i=1 Nel caso di dati semplici n n Σ {(xi – M)2 fi } i=1 n Nel caso di dati ponderati con pesi fi Σ fi i=1 • Varianza (σ)2: quadrato dello scarto quadratico medio. Per il calcolo di σ (e quindi di σ2) si può anche usare la formula: σ = √media dei quadrati degli xi − quadrato della media 28

La statistica descrittiva Le misure di dispersione ESEMPIO Ad otto gruppi di persone è stato chiesto di provare due tipi particolari di shampoo che indicheremo con A e B, e di sceglierne quindi uno. Gli esiti di questa scelta sono riportati nella seguente tabella. A 15 12 10 8 11 18 20 10 B 15 12 24 12 14 2 10 18 Sommando le preferenze accordate ai due prodotti, sia A che B ne hanno totalizzate 104. Mediamente 104 8 = 13 voti da ciascun gruppo continua 29

La statistica descrittiva Le misure di dispersione ESEMPIO Calcoliamo lo scarto quadratico medio della distribuzione di A e di B. Preferenze di A Scarti (Scarti)2 Preferenze di B Scarti (Scarti)2 15 2 4 12 -1 1 10 -3 9 24 11 121 8 -5 25 12 -1 1 11 -2 4 14 1 1 18 5 25 2 -11 121 20 7 49 10 -3 9 18 5 25 TOTALE 126 TOTALE 280 √ σA = 8 Σ (x – 13)2 i=1 i 8 = √ 126 8 = 3, 969 √ σB = 8 Σ (xi – 13)2 i=1 8 = √ 280 8 = 5, 916 Lo shampoo A presenta una minore variabilità rispetto a B. 30