Introduccin Las personas piensan que las matemticas son

Introducción Las personas piensan que las matemáticas son solo importantes para el trabajo o para el colegio. Pero están equivocadas, ya que las matemáticas sirven para la vida diaria. En este ABP, dirigido por nuestro profesor Harold Ayala Coronado, hemos aprendido diferentes cosas acerca de los polinomios. Esperemos que con este trabajo, ustedes puedan aprender todo lo que nos han enseñado.

Menú n n n n Polinomios R. por Te en pedimos favor primero Grados de unquemonomio. leas y luego Grados deresuelvas un polinomio. los Polinomios ejercicios. especiales. Operaciones con Polinomios. Ejercicios y problemas desarrollados. Ejercicios propuestos. Citas Bibliográficas.

Polinomios en R Un polinomio es una expresión algebraica formada solamente por la suma de términos de la forma , donde "a" es cualquiera y "n" no es un número entero no negativo. El polinomio en R, tiene diferentes clases: 1. Monomio: Cuando un polinomio tiene un sólo término. 2. Binomio: Cuando un polinomio tiene dos términos. 3. Trinomio: Cuando un polinomio tiene tres términos. Cuando los polinomios tiene más de tres términos, no reciben ningún nombre.

Ejemplos de polinomios en R Monomios 3 x A continuación, Binomios Trinomios presentaremos algunos 7 xejemplos – 4 de polinomios. n 2 + 3 n + 2 25 3 a + 5 b 3 x 4 – 3 x + 5 x 2 -9 x 2 y 3 n 2 – 3 n 4 xy + 9 xy 2 – 11 xy

Grados de un Monomio Grado relativo: Se refiere a una de las variables del monomio, y es el exponte de dicha variable. Ejemplo: 4 a 3 b 2 n En este caso tenemos dos letras, entonces tendremos dos grados relativos, uno con respecto a la letra a y otro con respecto a la letra b. En ambos casos el grado relativo no será otra cosa que el exponente que afecta a cada letra. La parte numérica no tiene ninguna importancia. GR(a) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3) GR(b) = 2 (el Grado Relativo con respecto a la letra b es 2)

X 5 y 3 z En este caso debemos recordar que la letra sin exponente llevara un 1: x 5 y 3 y 1 GR(x) = 5 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 5) GR(y) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3) GR(z) = 1 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 1 )

Grado absoluto: Se refiere a la suma de los exponentes de las variables. 4 a 3 b 2 En este caso sumaremos el exponente de la letra a con el exponente de la letra b: GA = 3 +2 = 5 (el Grado Absoluto es 5) X 5 y 3 y 1 Recordamos que el exponente de la letra y es 1: X 5 y 3 z GA = 5 +3 +1 = 9 (el Grado Absoluto es 9)

Grados de un Polinomio Grado relativo: Se refiere a una de las variables de la expresión, y es el mayor exponente de ella en la expresión. 4 a³b² +5 a 5 b En este primer ejemplo tenemos un binomio. Nosotros ya sabemos que tendremos tantos grados relativos como letras tenga la expresión algebraica. Entonces tendremos dos grados relativos. 4 a³b² +5 a 5 b 1 Antes de seguir trabajando completo los exponentes que "no se ven" n

4 a 3 b 2 +5 a 5 b 1 Estamos viendo que para el caso de la letra a, tenemos el exponente 3 y el exponente 5. Nosotros tomaremos como Grado Relativo con respecto a la letra a al mayor de estos exponentes (en este caso 5) GR(a) = 5 (Grado Relativo con respecto a la letra a es 5) 4 a 3 b 2 +5 a 5 b 1 Para la letra b hacemos lo mismo, es decir, comparamos los exponentes que afectan a dicha letra (en este caso los exponentes son 2 y 1) y tomamos el mayor como Grado Relativo (en este caso 2). GR(b) = 2 (Grado Relativo con respecto a la letra b es 2)

n Grado absoluto: Es el mayor grado absoluto de uno de sus términos. 4 a 3 b 2 +5 a 5 b Este ejemplo es un binomio. Sabemos que tendremos un solo Grado Absoluto. 4 a 3 b 2 +5 a 5 b 1 Completo los exponentes que "no se ven" con 1. 4 a 3 b 2 +5 a 5 b 1 Trabajo independientemente cada termino y sumo los exponentes, en el primer termino tengo los exponentes 3 y 2, mismos que sumados dan 5.

4 a 3 b 2 +5 a 5 b 1 Trabajo ahora con el segundo termino, ahí están los exponentes 5 y 1, mismos que sumados dan 6. 4 a 3 b 2 +5 a 5 b 1 Me quedare como Grado Absoluto con la suma que de un resultado mayor, en este caso entre el 5 y el 6, me quedare con el 6. GA = 6 (el Grado Absoluto es 6)

Polinomios Especiales Hola!! Les presentaremos las clases de polinomios especiales

Clases de Polinomios Especiales n Polinomios completos: cuando una letra tiene todos los exponentes consecutivos, desde la más alta hasta la más baja. Ejemplo:

n Polinomios ordenados: los exponentes de las variables de todos los términos están ordenadas ya sea ascendentemente o descendentemente. Ejemplo:

n Polinomios homogéneos: son aquellos en que los grados de cada ternito son iguales. Ejemplo:

n Polinomios idénticamente nulos: son aquellos en que su coeficiente son 0. Ejemplos:

Operaciones con Polinomios n Adición de polinomios. n Sustracción de Polinomios. n Multiplicación de polinomios. n Productos Notables e Identidades de Legendre Las personas piensan que las operaciones con polinomios son difíciles, pero es lo más fácil. A continuación le mostraremos las operaciones con polinomios.

Adición de Polinomios n Dos polinomios se suman agrupando los términos de uno y otro y simplificando los monomios semejantes (del mismo grado). Para realizar en la práctica la suma de dos polinomios se sitúan uno sobre otro haciendo coincidir en la misma columna los términos de igual grado, con lo que la simplificación de términos semejantes es automática. Pero puede hacerse más fácil la operación reuniendo los términos de igual grado y sumarlos o restarlos según su signo. Ejemplo: P(x) = 3 x 4 – 5 x 2 + 7 x con Q(x) = x 3 + 2 x 2 – 11 x + 3 se procede así: P(x) + Q(x) = (3 x 4 – 5 x 2 + 7 x) + (x 3 + 2 x 2 – 11 x + 3) = 3 x 4 + x 3 + x 2 (2– 5) + x (7 – 11) + 3 = P(x) + Q(x) = 3 x 4 + x 3 – 3 x 2 – 4 x + 3

Sustracción de polinomios n Para restar solo se cambian los signos del segundo término y luego se tiene que sumar. 4 x 4 - 2 x 3 + 3 x 2 - 2 x + 5 +--- - 5 x 3 --- x 2 +2 x ___________ 4 x 4 + 3 x 3 + 2 x 2 + -----5 La sustracción de polinomios es fácil, se hace lo mismo que en la adición, solo que se cambian los signos del segundo polinomio.

Multiplicación de polinomios n Para multiplicar dos polinomios se deben multiplicar todos los monomios de unos por todos los del otro y sumar los resultados. ("Atención especial al producto de potencias de la misma base") Si uno de los dos polinomios es un monomio, la operación es simple. En el caso en que ambos polinomios consten de varios términos, se puede indicar la multiplicación de forma semejante a como se hace con número de varias cifras, cuidando de situar debajo de cada monomio los que sean semejantes.

n En la siguiente imagen se puede ver el producto de dos polinomios de varios términos.

Productos Notables e Identidades de Legendre Los productos notables y las identidades de Legendre te ayudan a resolver ejercicios de polinomios por simple inspección. Los productos notables son: Binomio de Suma al Cuadrado ( a + b )² = a² + 2 ab + b² Binomio Diferencia al Cuadrado ( a - b )² = a² - 2 ab + b² Diferencia de Cuadrados ( a + b ) ( a - b ) = a² - b²

Binomio Suma al Cubo ( a + b )³ = a³ + 3 a²b + 3 ab² + b³ = a³ + b³ + 3 ab (a + b) Binomio Diferencia al Cubo ( a - b )³ = a³ - 3 a²b + 3 ab² - b³ Suma de dos Cubos a³ + b³ = ( a + b ) ( a² – ab + b²) Diferencia de Cubos a³ - b³ = ( a - b ) ( a² + ab + b²) �Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio ( a + b + c)² = a² + b² + c² + 2 ab + 2 bc + 2 ac = a² + b² + c² + 2 ( ab + bc + ac)

Trinomio Suma al Cubo ( a + b + c)³ = a³ + b³ + c + 3(a + b). (b +c). (a + c) Producto de dos binomios que tienen un término común ( x + a)(x + b) = x 2 + ( a + b) x + ab

Identidades de Legendre ( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a 2 2 b 2 = 2(a 2 + b 2) ( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab

Ejemplos de grado Relativo y Absoluto de un Monomio Ejemplo de Grado Relativo de un Monomio: 4 a 3 b 2 n n GR(a) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3) GR(b) = 2 (el Grado Relativo con respecto a la letra b es 2) Ejemplo de Grado Absoluto de un Monomio: n n 4 a 3 b 2 ----->GA = 3 +2 = 5 (el Grado Absoluto es 5) x 5 y 3 z ------> GA = 5 +3 +1 = 9 (el Grado Absoluto es 9)

Ejercicios de Polinomios Ejemplo de simplificar polinomios. (-3 x 3+2 y 2) + (-8 x 2+9 xy) -3 x 3+(2 y 2 + -8 x 2)+9 xy -3 x 3 - -6 x 2+ 9 xy Simplifica (6 y 2 - 3 y - 1) - (7 y 2 - y) 6 y 2 - 3 y - 1 = 6 y 2 + -3 y + -1 -(7 y 2 - y) _ + -7 y 2 + y_____ -y 2 - 2 y – 1 Cabe resaltar, que aquí, el resultado se da en forma ordenada descendente.

Ejercicios de Polinomios P(x) = 5 x + 11 y Q(x) = x 3 + 2 x 2 + 4. hallar P(x). Q(x) = (5 x + 11) (x 3 + 2 x 2 + 4) 4 x 4 + 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x + 5 ) + ( 5 x 3 + x 2 + 2 x ) P(x). Q(x) = 5 x 4 + 10 x 3 + 20 x + 11 x 3 + 22 x 2 + 44 (sumamos) 4 x 4 +2 x 3 + 3 x 2 +2 x + 5 x 3 +x 2 + 2 x P(x). Q(x) = 5 x 4 + (10 + 11) x 3 + 22 x 2 4 x 4 + (2 x 3 + 5 x 3) +(3 x 2 + x 2 ) + (2 x + + 20 x + 44 2 x ) + 5 P(x). Q(x) = 5 x 4 + 21 x 3 + 22 x 2 + 20 x + 44 Cabe resaltar que la multiplicación de polinomios, cumple las propiedades conmutativa y asociativa. 4 x 4 + 7 x 6 + 4 x 2 + 4 x + 5

Reglas de Productos Notables 1. Binomio de Suma al Cuadrado ( a + b )2 = a 2 + 2 ab + b 2 5. Binomio Diferencia al Cubo ( a - b )3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 ab 2 b 3 2. Binomio Diferencia al Cuadrado ( a - b )2 = a 2 - 2 ab + b 2 6. Suma de dos Cubos a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 – ab + b 2) 3. Diferencia de Cuadrados ( a + b ) ( a - b ) = a 2 - b 2 7. Diferencia de Cubos a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + ab + b 2) 4. Binomio Suma al Cubo ( a + b )3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3 = a 3 + b 3 + 3 ab (a + b)

8. Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio ( a + b + c)² = a² + b² + c² + 2 ab + 2 bc + 2 ac = a² + b² + c² + 2( ab + bc + ac) 9. Trinomio Suma al Cubo ( a + b + c)³ = a³ + b³ + c + 3(a + b). (b +c). (a + c) 10. Identidades de Legendre ( a + b)² + ( a – b)² = 2 a² 2 b² = 2(a² + b²)( a + b)² + ( a – b)² = 4 ab 11. Producto de dos binomios que tienen un término común ( x + a)(x + b) = x² + ( a + b) x + ab Todos estos productos notables, son los más conocidos, no son los únicos. Todos los productos notables, como su mismo nombre lo indica, son aplicables, solamente en la multiplicación.

Productos Notables Recordar que: n n n (a + b)² = a² + 2 ab + b² (a - b)² = a² - 2 ab + b² (a + b)(a - b) = a² - b² EJEMPLOS: 1 ) ( x + y )² = x² + 2 xy + y² 2 ) ( n - p )² = n² - 2 np + p² 3 ) ( 2 a + 3 b )( 2 a - 3 b ) = ( 2 a )² - ( 3 b )² = 4ª² - 9 b²

Ejercicios Resueltos 1. - ( p + q )² = 2. - ( k - m )² = A ) 2 p + 2 q B ) p² + q² C ) p² + 2 pq + q² D ) p + q² E ) p² + q Rpta: p² + 2 pq + q ² A ) k² - m² B ) k² + 2 km + m² C ) k² + 2 km - m² D ) k² - 2 km + m² E ) k² - 2 km - m² Rpta: D ) k 2 - 2 km + m 2

Ejercicios 5. - ( 3 c + 2 n )² = 6. ( 2 t - r )² = A ) 9 c + 4 n B ) 3 c² + 2 n↓ 3 C ) 9 c² + 4 n² D ) 9 c² + 6 cn + 4 n² E ) 9 c² + 12 cn + 4 n² A ) 2 t² - r 2 B ) 4 t² + 4 tr + r² C ) 4 t² + 4 tr - r² D ) 4 t² - 4 tr + r² E ) 4 t² - 4 tr - r² Rpta: 9 c 2 + 12 cn + 4 n² Rpta: 4 t² - 4 tr + r²

Ejercicios 7. - ( 5 x + 4 y )( 5 x - 4 y ) = A ) 5 x² - 4 y² B ) 25 x² - 16 y² C ) 25 x² + 16 y² D ) 25 x - 16 y E ) 10 x Rpta: 25 x² - 16 y ²

Ejercicios Resueltos de Productos Notables 1. (a + b ) ( c + d ) = a c + a d + b c + b d 2. ( a + b ) ( a + c ) = a 2 + ( b + c ) a + b c 3. ( a + b )² = a 2 + 2 a b + b 2 4. ( a – b )² = a 2 – 2 a b + b 2 5. ( a + b ) ( a – b ) = a 2 – b 2 6. ( a + b )³ = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 7. ( a – b )³ = a 3 – 3 a 2 b + 3 a b 2 – b 3 8. ( a + b + c )² = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( a b + a c + b c ) 9. ( a + b – c )² = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( a b – a c – b c ) 10. ( a + b ) ( a 2 – a b + b 2 ) = a 3 + b 3 11. ( a – b ) ( a 2 + a b + b 2 ) = a 3 – b 3 12. ( a 2 + a b + b 2 ) ( a 2 – a b + b 2 ) = a 4 + a 2 b 2 + b 4

Ejercicios propuestos Halla el grado absoluto. n 1. – 2 x²y³ El grado absoluto es 7. El grado absoluto es – 2. El grado absoluto es 5.

n La respuesta correcta es 5. Tenías que sumar los grado de las variables. 3+2=5

n Hallar el grado absoluto. x 4+ y + 2 xy³ El grado absoluto es 2. El grado absoluto es 5. El grado absoluto es 4. El grado absoluto es 1.

n n El grado absoluto es 4. Se calcula indicando el mayor grado absoluto de uno de sus términos.

n Resuelve: n (8 y + 6 x) - (34 y - 10 x) 16 x - 26 y 17 x-16 y 42 x+42 y N. A

n Resolver: 7. (w + z)(w - z) w²+2 wz+z² w² - z² (w+z)²

Cada pregunta vale 10 puntos, son 7 preguntas, es decir, hay 70 puntos en total.

Citas Bibliográficas A continuación les presentaremos las Web de la información adquirida.

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6. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: http: //platea. pntic. mec. es/~ascatala/polinomios. htm#prodnot 7. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: http: //html. rincondelvago. com/polinomios_2. html 8. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: http: //platea. pntic. mec. es/~ascatala/polinomios. htm#prodnot 9. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: http: //www. comenius. usach. cl/webmat 2/conceptos/desarrolloconcepto/produc tos_notables_desarrollo. htm 10. Leoncio Santos Cuervo. Polinomios (1). Definición y ejemplos (ref: 18 de julio 2005 http: //www. cnice. mecd. es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinom 1. htm #polino 11. Anónimo. Polinomios. Conocimientos previos (ref: 18 de julio 2005)http: //platea. pntic. mec. es/~ascatala/polinomios. htm

12. Anónimo. Polinomios (ref: 18 de julio 2005)http: //ciencias. bc. inter. edu/ntoro/polinw. htm 13. Anónimo. Polinomios (ref: 18 de julio 2005)http: //www. librosvivos. net/noticias. asp? idud=1223&id_libro=1022&id_m arca=1002&est=2, 0, 2 14. Introducción al álgebra. Polinomios Completo. Consultada 18/07/05. http: //www 20. brinkster. com/fmartinez/algebra 1. htm#pcomplet 15. Polinomio heterogneo. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: http: //www. upes. edu. sv/curso 16. Polinomio Identico. Consultada el 18/07/05. Disponible en lasiguiente Web: C: WINDOWSArchivos temporales de InternetContent. IE 532 O 7 FXWD258, 3, POLINOMIOS 17. Introducción al álgebra. Grado Relativo y Absoluto de un monomio. Consultada 18/07/05. http: //www 20. brinkster. com/fmartinez/algebra 1. htm

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