Funzioni Dati due insiemi non vuoti A e

Funzioni Dati due insiemi non vuoti A e B, si chiama applicazione o funzione da A a B una relazione tra i due insiemi che a ogni elemento di A fa corrispondere uno e un solo elemento di B. A B

Esempi di funzione. . . Sia A l’insieme formato da quattro ragazzi: A A= Paolo; Bruno; Carlo; Mario , e B l’insieme costituito da sei signore tra le quali vi Paolo. Carlo. siano le mamme dei ragazzi dell’insieme A: Bruno. B= Anna; Maria; Valentina; Pina; Luisa; Franca. Consideriamo tra gli insiemi A e B la relazione Mario. definita da “…ha per madre…“ e supponiamo che sia: • Paolo Franca • Bruno Maria • Carlo Anna • Mario Franca (Paolo ha per madre Franca) (Bruno ha per madre Maria) (Carlo ha per madre Anna) (Mario ha per madre Franca) Questa relazione stabilisce tra i due insiemi A e B una corrispondenza e, ad ogni elemento del primo insieme corrisponde uno, ed uno solo, elemento del secondo insieme, perciò, la relazione determina un’applicazione o funzione da A verso B. B Anna. Pina. Maria. Luisa. Franca. Valentina.

. . . Esempi di funzione Sia A l’insieme dei numeri naturali pari A= 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16. . . e B l’insieme dei numeri naturali B= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. . La relazione “…è il doppio di…” determina una corrispondenza fra gli insiemi A e B; ad ogni elemento di A corrisponde uno, ed uno solo, elemento di B, perciò, la relazione è un’applicazione o funzione da A a B.

Relazioni che non sono funzioni Perché queste relazioni non sono funzioni? 1 A B L’esempio 1 non è una funzione perché, un elemento di A non ha il corrispondente in B. L’esempio 2 non è una funzione perché, ad un elemento di A corrispondono due elementi di B. 2 A B

Immagine e Controimmagine Per indicare che f è una funzione tra A e B scriviamo: f: A B Se x è un elemento di A, B A il suo corrispondente y di B si indica con f(x) y=f(x) y è l’immagine di x. x è controimmagine di y. x y=f(x) f controimmagine f: x f(x) x A, f(x) B

Dominio e Codominio Una funzione è una corrispondenza univoca tra l’insieme A e l’insieme B cioè, è una legge che ad ogni x A fa corrispondere un unico y B. Codominio L’insieme A è detto dominio Dominio della funzione. L’insieme degli elementi di B che hanno almeno una controimmagine in A è detto insieme delle immagini o codominio della funzione. Il codominio si indica con f(A) A B f(A) x y=f(x) f Esercizi

Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. . . Funzione iniettiva Sia f una funzione definita da un insieme A a un insieme B. Si dice che f è una funzione iniettiva o anche è un’iniezione, se, comunque si scelgano due elementi x 1, x 2 A, si ha x 1 x 2 f(x 1) f(x 2) A B

. . . Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. . . Funzione suriettiva Sia f una funzione definita da un insieme A a un insieme B. Si dice che f è una funzione suriettiva o anche è una suriezione, se il codominio di f coincide con B, cioè se f(A)=B. A B

… Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche Funzione biunivoca Se una funzione f: A B è sia iniettiva che suriettiva si dice che la funzione è biiettiva o una biiezione o una funzione biunivoca. Perciò, la funzione è biunivoca se sono verificate le condizioni: x 1 x 2 f(x 1) f(x 2) f(A)=B A B

Funzione costante Una funzione f: A B si dice costante quando tutti gli elementi del dominio hanno la stessa immagine A B Funzione costante

Funzioni numeriche Se gli insiemi A e B sono numerici, si parla di funzioni numeriche. Generalmente, gli insiemi numerici A e B sono sottoinsiemi dell’insieme R dei numeri reali A R, B R e i loro elementi vengono chiamati variabili. x A, y B

Funzioni matematiche o analitiche e funzioni empiriche Funzioni matematiche o analitiche Le funzioni matematiche sono funzioni numeriche per le quali, a partire da un x del dominio A, l’immagine f(x)=y B si ottiene mediante un numero finito di operazioni matematiche; l’insieme di queste operazioni dà la legge per “costruire” l’immagine y dell’elemento x considerato.

Funzioni empiriche Le funzioni empiriche sono funzioni numeriche e non numeriche per le quali l’immagine di un elemento x non è ottenibile con una legge prefissata, bensì per mezzo di misurazioni sperimentali o di rilevazioni.

Classificazione delle funzioni analitiche Funzioni trascendenti Funzioni algebriche Goniometriche Razionali Irrazionali Logaritmiche Intere Fratte Esponenziali

Insieme di esistenza Quando si considera una funzione, è essenziale specificarne il dominio. Nel caso di funzioni matematiche, il dominio D, se non è indicato, è l’insieme dei valori reali che possono attribuirsi alla variabile indipendente x affinché esista il corrispondente valore reale y. In questo caso, il dominio prende il nome di insieme di esistenza o di definizione della funzione. L’insieme di esistenza è il sottoinsieme più vasto di R che può essere preso come dominio della funzione.

Grafico di una funzione Data una funzione matematica di equazione y=f(x), si dice grafico della funzione l’insieme di tutti e soli i punti del piano cartesiano aventi per ascissa i valori della variabile indipendente x appartenenti al dominio e per ordinata i valori corrispondenti della variabile dipendente y. Un punto appartiene al grafico di una funzione se e solo se le sue coordinate soddisfano l’equazione della funzione.

Funzioni uguali Due funzioni reali f e g si dicono uguali in un dominio comune D quando f(x)=g(x) x D Le funzioni sono uguali. Le funzioni non sono uguali perché non hanno lo stesso dominio.

Funzioni pari e funzioni dispari Funzione pari: Una funzione f di equazione y=f(x) e di dominio D si dice pari se, x D, f(-x)=f(x). Se una funzione y=f(x) è pari, appartengono al suo grafico le coppie di punti di coordinate (x; f(x)) e (-x; f(x)) perciò, il suo grafico risulta simmetrico rispetto all’asse delle ordinate.

Esempio di funzione pari

Funzioni pari e funzioni dispari Funzione dispari: Una funzione f di equazione y=f(x) e di dominio D si dice dispari se, x D, f(-x)=-f(x). Se una funzione è dispari, appartengono al suo grafico le coppie di punti di coordinate (x; f(x)) e (-x; -f(x)) perciò, il suo grafico risulta simmetrico rispetto all’origine degli assi cartesiani.

Esempio di funzione dispari

Funzioni pari e funzioni dispari Consideriamo una funzione del tipo y=P(x) dove P(x) è un polinomio. • La funzione y=P(x) è pari, se e solo se, nel polinomio compaiono solo potenze di x di grado pari. • La funzione y=P(x) è dispari, se e solo se, nel polinomio compaiono solo potenze di x di grado dispari.

Esempio: Funzione né pari né dispari

Definizione di funzione numerica (Dirichlet) Una variabile reale y è funzione di una variabile reale x in un dominio D (D R), se esiste una legge f, di natura qualsiasi, che faccia corrispondere ad un qualsiasi elemento x del dominio, uno e un solo valore di y del codominio. x variabile indipendente y variabile dipendente